Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

суперсимметряи_пособие

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
565.05 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А. В. Галажинский

ВВЕДЕНИЕ В СУПЕРСИММЕТРИЮ

Учебное пособие

Издательство ТПУ Томск 2008

ÓÄÊ 53 Ç-15

Ç-15 Галажинский А. В.

Введение в суперсимметрию: учебное пособие / А. В. Галажинский. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2008. 73 с.

Настоящее пособие представляет собой изложение основ теории суперсимметрии. Оно содержит теоретический материал, который дополнен задачами для самостоятельного решения по каждому разделу. Предлагаемое пособие может быть полезно магистрантам и аспирантам, специализирующимся в области теоретической и математической физики.

Пособие предназначено для магистрантов и аспирантов физических специальностей.

ÓÄÊ 53

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Рецензенты

Доктор физико-математических наук, профессор Томского государственного педагогического университета, г. Томск

Лавров П.М.

Доктор физико-математических наук, профессор Томского государственного университета, г. Томск

Шаповалов А.В.

°c А.В. Галажинский, 2008

°c Томский политехнический университет, 2008 °c Оформление. Издательство ТПУ, 2008

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Элементы суперматематики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1

Алгебра Грассмана. Суперчисла.

7

1.2

Суперматрицы. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Суперпространство. Элементы анализа на суперпространствах. . .

13

 

1.3.1 Суперполя в суперпространстве. . . . . . . . . . . . . . . . .

13

 

1.3.2 Дифференцирование в суперпространстве. . . . . . . . . . .

14

 

1.3.3 Интегрирование в суперпространстве. . . . . . . . . . . . .

16

2 Супералгебра Пуанкаре.

 

 

20

2.1

Понятие супералгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Теорема Хаага-Лопушанского-Сониуса. . . . . . . . . . . . . . . . .

23

 

2.2.1 Алгебраическая структура генераторов симметрии S-ìàò-

 

 

 

ðèöû. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

 

2.2.2

Четный сектор супералгебры.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

27

 

2.2.3

Нечетный сектор супералгебры. . .

. . . . . . . . . . . . . .

27

2.3

Конструкция фактор-пространства. Супер-

 

 

 

пространство R4j4. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Неприводимые унитарные представления

 

 

 

N = 1 супералгебры Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

 

2.4.1

Операторы Казимира супералгебры Пуанкаре. . . . . . . .

35

 

2.4.2

Неприводимые унитарные массивные представления N =

 

 

 

1 супералгебры Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

 

2.4.3

Неприводимые унитарные безмассовые представления N =

 

 

 

1 супералгебры Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3Теория поля в суперпространстве.

3.1Ковариантные производные. Киральные суперполя. . . . . . . .

3.2Вариационный принцип в суперполевом подходе. . . . . . . . . .

3.3Переход к компонентным полям в суперполевом действии. Суперсимметрия в компонентах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4Суперсимметрия вне и на массовой оболочке. . . . . . . . . . . .

3.5Суперсимметричная теория Янга Миллса. . . . . . . . . . . . . .

3.5.1Векторный мультиплет в компонентах. . . . . . . . . . . .

3.5.2Векторный мультиплет в суперполях. Калибровка Весса Зумино. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.3Абелева суперсимметричная теория Янга Миллса. . . . .

41

. 41

. 44

. 46

. 47

. 49

. 49

. 51

. 54

3

3.5.4Неабелева суперсимметричная теория Янга Миллса. . . . . 55

3.6Геометрическая формулировка калибровочных теорий. . . . . . . . 57

3.6.1Дифференциальные формы на суперпространстве. . . . . . 57

3.6.2Связность и кривизна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6.3Тождества Бьянки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6.4Связи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6.5Решение тождеств Бьянки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6.6Явное решение связей. Калибровочные преобразования. . . 66 Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Библиография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4

Введение.

Одной из наиболее важных проблем, стоящих перед современной физикой, является выяснение внутренней структуры материи. Классификация известных элементарных частиц опирается на понятие симметрии. Принцип симметрии позволяет систематизировать известные явления, а нередко и предсказать новые. Все четыре типа фундаментальных взаимодействий (сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное) описываются законами, вытекающими из единого принципа калибровочной симметрии (см., например, монографию [1]).

Суперсимметрия, которой посвящен данный вводный курс лекций, является симметрией нового типа. В отличие от других симметрий, она связывает между собой частицы с разным значением спина. Преобразование такого типа впервые было предложено в работах советских физиков Гольфанда и Лихтмана [2] и Волкова и Акулова [3]. По настоящему бурное развитие данной области, которое продолжается и по настоящий день, началось с работ Весса и Зумино [4],[5].

Детальное изучение класса суперсимметричных теорий привело к обнаружению ряда впечатляющих особенностей. Так, например, для любой суперсимметричной квантовой теории среднее значение оператора энергии в произвольном состоянии положительно определено, а квантовый спектр содержит равное число бозонных и фермионных состояний. Для широкого класса суперсимметрич- ных моделей наблюдается смягчение ультрафиолетовых расходимостей благодаря сокращениям между собой бозонных и фермионных вкладов. Более того, известны нетривиальные суперсимметричные модели, которые конечны во всех порядках теории возмущений (см., например, работу [6]).

Рассмотрение локальной версии преобразований суперсимметрии, которое приводит к различным теориям супергравитации, позволяет достичь некоторого прогресса при анализе хорошо известной проблемы построения квантовой теории гравитационного поля (см., например, обзорную работу [7]). Суперсимметричная версия теории гравитации оказывается перенормируемой в однопетлевом приближении [8].

Открытие преобразований суперсимметрии в значительной мере стимулировало развитие теории струн. Как хорошо известно, теория струн предлагает один из наиболее перспективных подходов к построению квантовой теории гравитации и проблеме унификации известных фундаментальных взаимодействий. В частности, включение суперсимметрии в струнную схему позволяет удалить из квантового спектра струны нежелательное тахионное состояние и понизить критическую размерность с d = 26 äî d = 10.

Хотя основные принципы и положения суперсимметрии к настоящему моменту полностью сформулированы, прикладным аспектам и, в частности, по-

5

строению новых суперсимметричных моделей посвящено целое направление современной квантовой теории поля. По этой причине знакомство с базовыми понятиями суперсимметрии является необходимым элементом образования студента, специализирующегося в области теоретической физики и квантовой теории поля.

Настоящий курс лекций посвящен элементарному введению в теорию суперсимметрии. В первой главе изложены элементы алгебры и анализа с антикоммутирующими переменными, которые составляют математическую основу данного предмета. Вторая глава курса посвящена алгебре преобразований N = 1

суперсимметрии и построению ее неприводимых унитарных представлений. В третьей главе рассматриваются базовые суперсимметричные модели, в частности, модель Весса Зумино и суперсимметричная калибровочная теория.

Пособие содержит более сорока задач, решение которых поможет студенту приобрести необходимые технические навыки и овладеть излагаемым материалом.

Необходимо отметить, что теории суперсимметрии посвящена обширная литература, к которой интересующийся студент может обратиться для дальнейшего изучении предмета. Наиболее полное и современное изложение N = 1 ñó-

персимметрии и супергравитации может быть найдено в блестящей монографии [9]. Полезными источниками являются также монографии [10] и [11]. Строгое изложение разделов математики, на которых базируется теория суперсимметрии, может быть найдено в монографиях [12], [13].

6

Глава 1 Элементы суперматематики.

Как отмечалось во введении, любая суперсимметричная теория с необходимостью вовлекает фермионные поля. Строгое математическое описание фермионов апеллирует к понятию алгебры Грассмана. В данной главе изложены основные сведения по алгебре и анализу с антикоммутирующими переменными, которые обеспечивают математическую базу для нашего изложения в последующих главах.

1.1 Алгебра Грассмана. Суперчисла.

Напомним, что алгеброй называется линейное пространство V над числовым полем K, в котором задана операция умножения элементов a ¢ b 2 V , 8 a; b 2 V , удовлетворяющая следующим аксиомам:

a ¢ (®b + ¯c) = ®a ¢ b + ¯a ¢ c;

(1.1)

(®b + ¯c) ¢ a = ®b ¢ a + ¯c ¢ a

для любых a; b; c 2 V è ®; ¯ 2 K . Если числовое поле K является полем ве-

щественных или комплексных чисел, говорят о вещественной или комплексной алгебре.

Алгебра называется коммутативной, если a ¢ b = b ¢ a, 8 a; b 2 V . Для ассоциативной алгебры выполнено соотношение (b¢c) = (a¢b)¢c, 8 a; b; c 2 V .

Говорят, что задана алгебра с единицей, если в V найдется элемент e такой,

÷òî e ¢ a = a ¢ e = a, 8 a 2 V .

i

, i =

Пусть V -ассоциативная алгебра с единицей. Подмножество элементов »

1; 2; : : : назовем образующими алгебры V , если любой элемент a 2 V

представим

в виде полинома:

 

 

a = ® ¢ e + ci1 »i1 + ci1i2 »i1 ¢ »i2 + ci1i2i3 »i1 ¢ »i2 ¢ »i3 + : : : ;

(1.2)

ãäå ci1i2:::-числа из поля K. В предыдущей формуле по повторяющимся индексам ведется суммирование. Данное соглашение мы будем использовать и далее в тексте настоящих лекций.

Предполагается, что образующие являются линейно независимыми элементами линейного пространства V .

7

принято называть

Алгеброй Грассмана называется ассоциативная алгебра с единицей, образу-

ющие которой удовлетворяют соотношению:

 

»i ¢ »j + »j ¢ »i = 0;

i; j = 1; : : : ; N:

(1.3)

В частности, для двух повторяющихся значений индекса имеем:

 

»i ¢ »i = 0:

(1.4)

В силу последнего соотношения разложение любого элемента в алгебре Грассмана по образующим заведомо обрывается на конечном шаге (в дальнейшем мы не выписываем явно единичный элемент алгебры):

a = ® +

N

1

ci1:::ik »i1

: : : »ik ;

(1.5)

 

 

k!

 

 

X

k=1

ãäå ci1:::ik -комплексные числа.

Таким образом, алгебра Грассмана является конечномернымi i линейным пространством, базис в котором образован элементами fe; » 1 : : : » k g, ãäå i1 < i2 <

: : : < ik è k = 1; : : : ; N. В дальнейшем для обозначения конечномерной алгебры Грассмана будем использовать символ ¤N .

Задача 1.1. Доказать, что dim ¤N = 2N .

При изучении суперсимметричных теорий основной интерес представляет бесконечномерная алгебра Грассмана ¤1, элементы которой называют супер-

числами. Данная алгебра генерируется бесконечным набором образующих »i, i = 1; 2; : : :, удовлетворяющих прежнему соотношению:

»i ¢ »j + »j ¢ »i = 0:

(1.6)

Очевидно, что любое суперчисло представимо в виде суммы

 

z = zB + zS;

(1.7)

ãäå zB-обычное комплексное число и zS = P1 1 ci :::i »i1 : : : »ik . Коэффициенты

k=1 k! 1 k

ci1:::ik антисимметричны по каждой паре индексов, и предполагается, что только конечное число из них отлично от нуля. Объекты zB è zS

телом и духом суперчисла z.

Другое важное разложение произвольного суперчисла z получается при группировке членов, содержащих четные и нечетные степени по образующим:

z = zc + za;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

zc = zB +

Xk

1

 

 

 

ci1:::i2k »i1

: : : »i2k ;

 

 

=1

(2k)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

za =

Xk

 

 

 

 

ci1:::i2k+1 »i1 : : : »i2k+1

:

(1.8)

(2k + 1)!

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величину zc принято называть четной частью суперчисла z или c-числом. Множество четных суперчисел обозначим символом Cc. В свою очередь, величина

8

также называют чистыми суперчис-

za известна как нечетная часть суперчисла z или a-число. Множество нечетных

суперчисел обозначим символом Ca.

Нетрудно видеть, что четные суперчисла коммутируют между собой и с нечетными суперчислами, а два нечетных суперчисла антикоммутируют между собой. По этой причине суперчисла zc è za

ëàìè.

Указанное различие между чистыми суперчислами удобно характеризовать понятием грассмановой четности суперчисла z, которую обозначим символом

²(z):

½

1;

z 2 Ca:

(1.9)

 

 

²(z) =

0;

z 2 Cc

 

В частности, для двух чистых суперчисел имеем:

²(z ¢ !) = ²(z) + ²(!)

(mod 2);

z ¢ ! = (¡1)²(z)²(!)! ¢ z:

(1.10)

Норма на множестве суперчисел задается посредством соотношения:

 

 

1

1Xk

 

 

kzk2

= jzBj2

Xk

:::ik j2;

(1.11)

+

jci1

=1 i ;:::;i

ãäå j®j-модуль обычного комплексного числа.

В качестве последнего шага определим операцию комплексного сопряжения на множестве суперчисел. Для образующих в алгебре Грассмана положим:

(»i)¤ = »i;

(»i ¢ »j)¤ = (»j)¤ ¢ (»i)¤;

(®»i)¤ = ®¤(»i)¤;

(1.12)

ãäå ®-обычное комплексное число. В частности, для произвольного суперчисла имеем:

 

1

1

 

 

 

 

 

 

z¤ = z¤

Xk

 

c¤

»ik : : : »i1

 

 

+

 

=

 

B

=1

k! i1:::ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

= zB¤ +

Xk

 

 

 

 

 

 

 

(¡1)k(1)=2 k!ci¤1:::ik »i1 : : : »ik :

(1.13)

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

Суперчисло назовем вещественным, если z¤ = z, мнимым, если z¤ = ¡z, и комплексным, если не выполнено ни одно из двух предыдущих условий.

Задача 1.2. Доказать, что следствием выбранного определения являются соотношения:

(®z)¤ = ®¤z¤; (z + !)¤ = z¤ + !¤; (z!)¤ = !¤z¤;

(1.14)

ãäå ®-комплексное число и z, !-произвольные суперчисла.

9

1.2 Суперматрицы.

Из нашего рассмотрения в предыдущем параграфе вытекает, что основная особенность при работе с суперчислами состоит в том, что необходимо принимать в расчет грассманову четность чистого суперчисла. Умножение произвольного выражения на одно и то же суперчисло слева и справа приводит к разным результатам.

Используя указанную особенность суперчисел, можно ввести понятие супервекторного пространства (детальное изложение теории супервекторных пространств может быть найдено в монографиях [13], [9]). Характерная черта последнего состоит в том, что умножение на суперчисла справа и слева в аксиомах супервекторного пространства заданы как отдельные операции. Кроме того, операция комплексного сопряжения в супервекторном пространстве удовлетворяет следующей аксиоме:

(

¡!)

¤

= (¡!)

¤®¤; ®

2 ¤1

 

(1.15)

 

®X

X

 

:

 

По аналогии с суперчислами можно ввести понятие грассмановой четно-

сти супервектора. В частности, чистый базис в конечномерном супервекторном

пространстве состоит из элементов:

 

 

 

 

®)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!M = (n

 

 

 

 

(1.16)

 

 

 

 

 

 

e

 

 

e

;

 

e

 

 

;

 

n

ãäå

n = 1; : : : ; p

,

® = 1; : : : ; q

, причем

²(¡!n) = 0

è

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

e

коммутирует с любым

 

 

 

 

²(¡!®) = 1

 

¡!®

антикоммутирует с a-числами. В об-

чистым суперчислом, а

e

 

, è

 

e

щем случае произвольный супервектор ¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двумя различными способами:

 

 

 

X можно разложить по чистому базису

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(L)

¡!

M =

¡!

M

(R)

 

(1.17)

 

 

 

 

X

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

XM

e

 

 

 

 

e

 

 

XM

Для дальнейшего рассмотрения удобно принять обозначение

 

 

 

 

 

 

²(¡!M ) =

 

 

M

 

 

 

 

 

(1.18)

 

 

 

 

 

 

e

 

 

²

 

:

 

 

 

Понятие суперматрицы естественным образом возникает при рассмотрении линейных преобразований супервекторного пространства. Левое линейное преобразование в супервекторном пространстве зададим оператором вида:

 

 

 

 

(¡!) =

= e M F

 

N X

N

;

(1.19)

 

 

 

F

X

X

0

 

¡!

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå F M

 

2

¤ . Аналогичным образом определим правое линейное преобразо-

 

N

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ¤1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вание (GN

 

¡!

 

=

 

 

 

¡!M

 

 

 

 

 

(¡!)G =

0

XN G

N

:

(1.20)

 

 

 

X

X

 

 

 

M e

 

Матрицы F N M è GM N , элементами которых являются суперчисла, называ-

ют суперматрицами. Произвольная суперматрица состоит из четырех блоков:

F N M = µ

C®m

D®¯

;

GM N = µ

C¯n

D¯®

:

(1.21)

 

Anm

Bn¯

 

 

Amn

Bm®

 

 

По аналогии с суперчислами различают c-суперматрицы и a-суперматрицы. C-суперматрицы характеризуется условиями A; D 2 Cc, C; B 2 Ca. Их основная

10