суперсимметряи_пособие

èëè

Отметим, что в рамках развиваемого подхода суперполе AB является ком-

плексным. Представляется естественным наложить дополнительные условия вещественности, которые позволяют уменьшить число независимых компонентных полей. В качестве таковых выберем соотношения:

где символом "+" обозначено эрмитово сопряжение. Следствием принятого со-

Указанные условия вещественности будут использованы ниже в подразделе 3.6.6 при решении уравнений связи суперсимметричной калибровочной теории.

3.6.3 Тождества Бьянки.

Поскольку ковариантная производная тензорного поля приводит к новому тензорному полю, необходимо выяснить геометрический смысл объектов типа DF , DDF и т.д. Однако несложное вычисление показывает, что соответствую-

ãäå DN калибровочно ковариантная производная тензора кривизны, определенная соотношением (3.138):

DN FCB = @N FCB + (¡1)²N (²C+²B)FCBAN ¡ AN FCB;

DLFCB = eLN DN FCB = DLFCB + (¡1)²L(²C+²B)FCBAL ¡ ALFCB;(3.140)

è TLCK компоненты тензора кручения плоского суперпространства (см. формулы (3.120) и (3.121)).

61

где квадратные скобки обозначают градуированную (анти)симметризацию индексов:

Подстановка тензора кривизны в уравнения (3.143) (3.152) дает, как тому и следует быть, тождества. Однако, если подчинить тензор кривизны каким либо дополнительным ограничениям, соотношения (3.143) (3.152) представляют собой дальнейшие ограничения на форму тензора кривизны. Наложение дополнительных ограничений и последующее решение тождеств Бьянки являются ключевыми моментами при формулировке калибровочных теорий в геометри- ческом подходе. В следующих двух подразделах мы обсудим эти вопросы более детально.

3.6.4 Связи.

Как уже отмечалось ранее, в рамках геометрического подхода основным объектом является 1 форма связности. Несложно заметить, что данное су-

перполе содержит существенно больше компонентных полей, нежели необходимо для формулировки суперсимметричной калибровочной теории. Калибровочный произвол, выраженный преобразованиями (3.128), не позволяет удалить все избыточные степени свободы. В итоге приходим к необходимости наложения дополнительных ограничений, именуемых связями. Очевидно, что накладываемые связи должны быть суперсимметричными (т.е. соответствующие

62

ограничения должны вовлекать только касательные индексы) и калибровочно инвариантными. Поскольку связность не является ковариантным объектом относительно калибровочной группы, связи необходимо накладывать на тензор кривизны.

В суперсимметричных теориях связи разделяют на кинематические и динамические. Кинематические связи позволяют алгебраически выразить часть переменных через остальные переменные и не приводят к дифференциальным уравнениям в xn подпространстве. Динамические связи определяют зависи-

мость полей от xn и представляют собой часть уравнений движения теории.

Самодуальная и антисамодуальная части тензора напряженности удовлетворяют уравнениям:

в справедливости которых легко убедиться, используя тождество (²1234 = 1):

63

Соотношения (3.160) известны как связи, сохраняющие представление. Ограни- чения (3.161) называют конвенциальными связями. Обсудим данные уравнения более подробно.

Для построения полной суперсимметричной теории Янга-Миллса, помимо калибровочного поля, нам необходим набор киральных суперполей материи. Однако, если предположить, что суперполе материи преобразуется по фундаментальному представлению калибровочной группы, условие киральности суперполя ¹ i

D®© (z) = 0 оказывается несогласованным с законом преобразования

В рамках данных определений и с учетом соотношения (3.164) связи (3.160) можно трактовать как условия интегрируемости уравнений (3.162) и (3.163):

В отличие от связей, сохраняющих представление, конвенциальные связи не имеют прозрачной геометрической интерпретации. Технически ограничения (3.161) означают, что векторная компонента калибровочного поля не является независимой и выражается через спинорные компоненты:

Кроме того, из соотношения (3.164) следует, что векторная компонента полной калибровочно ковариантной производной Dn выражается через антикоммута-

¹

тор спинорных компонент D® è D®.

64

3.6.5 Решение тождеств Бьянки.

В предположении, что выполнены связи (3.160) и (3.161), рассмотрим решение тождеств Бьянки.

Уравнения (3.149) и (3.150) тривиально выполнены и не накладывают каких либо дополнительных ограничений на форму тензора кривизны.

Формула (3.151) после наложения связей принимает более простой вид:

Таким образом, ¹ ¯_ является ковариантно антикиральным суперполем.

W

Аналогичным образом из уравнений (3.170) и (3.147) следует, что суперполе W ¯ является ковариантно киральным:

Рассмотрим далее тождества, вовлекающие компоненту Fab. Из уравнения

Симметризуя и антисимметризуя правую часть данного равенства по паре свободных векторных индексов, фиксируем форму тензора Fca:

Задача 3.21. Проверьте, что подстановка тензора Fca, определенного форму-

65

Итак, в присутствии связей (3.160) и (3.161) все компоненты тензора кривизны выражаются через ковариантно киральное суперполе W ° и комплексно

сопряженное к нему ковариантно антикиральное суперполе ¹ °, которые свя-

W

3.6.6Явное решение связей. Калибровочные преобразования.

Выявив общие алгебраические следствия уравнений (3.160), (3.161), обсудим их собственную структуру более подробно.

Как уже отмечалось в подразделе 3.6.2, калибровочно ковариантная производная полей материи задается выражением:

Иными словами, оператор калибровочно ковариантной производной, действующий на поле с одним нижним индексом, имеет вид:

ãäå - комплексное суперполе, принимающее значения в алгебре Ли калибро-

В свою очередь, условие вещественности (3.136) определяет потенциал A®ij:

Aa выражается через спинорные

компоненты (см. равенство (3.166)), окончательно приходим к заключению, что в рамках геометрического подхода центральным объектом является суперполе

-.

ãäå § вещественное скалярное суперполе, убедитесь, что явная подстановка по-

тенциалов (3.180) и (3.181) в уравнения (3.135) приводит к равенствам F®¯ = 0, F®¯_ = 0. Чем плохо условие вещественности вида (A®)+ = A® ?

66

Обсудим группу калибровочных преобразований, действующую на суперполе -. Принимая во внимание закон преобразования калибровочно ковариантной

производной (3.129), можно записать следующее равенство:

где киральное суперполе

группы.

Таким образом, в рамках геометрического подхода полная калибровочная группа, действующая на суперполе -, включает в себя K , è ¤ преобразования.

Заметим далее, что калибровочный произвол, связанный с вещественным параметром K, может быть использован для удаления мнимой части суперполя

В итоге мы воспроизвели основное соотношение, определяющее калибровоч- ное поле, которое было получено нами ранее в подразделе 3.5.4. Заметим, что вещественное суперполе V , определенное соотношением (3.187), инвариантно

относительно K преобразований и преобразуется по закону (3.188) при любом выборе калибровочного параметра K.

¹

Несложно далее установить, что суперполя W°, W°, возникающие при реше-

нии тождеств Бьянки в рамках геометрического подхода, связаны с калибровоч- ными напряженностями, введенными в подразделе 3.5.4. Наиболее просто это соответствие можно проследить в абелевом случае. Действительно, компоненты 1 формы связности, соответствующие абелевым преобразованиям, имеют вид:

и подставляя равенства (3.189) в выражение для компонент тензора напряженности Fa® (см. формулы (3.134)), находим:

67

Сравнивая данный результат с формулой (3.170), имеем:

что в точности воспроизводит препотенциалы, введенные ранее в подразделе 3.5.2.

Задача 3.23. Доказать соотношение (3.191).

Задача 3.24. Установить явный вид препотенциалов W ® в случае неабелевой калибровочной группы.

Подводя итоги нашего рассмотрения, мы убедились, что геометрический подход позволяет воспроизвести результаты прямого суперполевого построения, проделанного в подразделах 3.5.2, 3.5.3, 3.5.4. Следует подчеркнуть, что при анализе суперсимметричных калибровочных теорий в высших размерностях, а также при построении различных моделей супергравитации геометри- ческий подход является наиболее эффективным.

68

Заключительные замечания

Как уже отмечалось во введении, основная цель данного курса состояла в том, чтобы на элементарном уровне ознакомить студентов, специализирующихся в области теоретической физики, с основными идеями и базовыми методами теории суперсимметрии. Вместе с тем, из-за ограниченности объема целый ряд важных вопросов не вош¼л в настоящий курс. В частности, не были рассмотрены теории с расширенной суперсимметрий и различные модели супергравитации. Для изучения теорий супергравитации читателю рекомендуется обратиться к монографии [9]. Обсуждение современных приложений теории расширенной суперсимметрии может быть найдено, например, в обзоре [17].

69

Приложение

являются тензорными операциями, а свертки:

(A:6)

70