суперсимметряи_пособие

этой связи полезно напомнить теорему Колмана и Мандулы [14], согласно которой1 в рамках локальной квантовой теории поля наиболее широкая группа симметрий S-матрицы имеет структуру прямого произведения группы Пуан-

каре, полупростой компактной группы Ли и U(1)-факторов. Иными словами,

генераторы пространственных и внутренних симметрий коммутируют, и в рамках локальной квантовой теории поля невозможно реализовать нетривиальное расширение группы Пуанкаре.

Приведенный выше пример показывает, что если среди генераторов симметрии допустить наличие фермионных операторов, подчиненных антикоммутационным соотношениям, то открывается новая интересная возможность расширить алгебру Ли группы Пуанкаре, которая не была учтена теоремой Колмана-Мандулы. Возникающая алгебраическая структура известна по названием супералгебры или Z2-градуированной алгебры.

Напомним, что линейное пространство V над полем K называется алгеброй

Ли, если в нем задана операция умножения [ ; ] (скобка Ли), которая сопоставляет паре элементов третий и удовлетворяет следующим свойствам:

В частности, любая ассоциативная алгебра может быть наделена структурой алгебры Ли. Достаточно задать произведение элементов в виде коммутатора:

Линейное пространство V называется Z2-градуированным, если оно является прямой суммой двух подпространств

Как следствие определения, Z2 = 1.

Наличие оператора Z2-градуировки позволяет ввести понятие четности

Отметим, что с самого начала можно было действовать и в обратном порядке. Формально определить четность вектора формулой (2.7) и затем задать оператор градуировки в виде:

Z(v) = (¡1)·(v)v: (2.8)

1Теорема Колмана-Мандулы доказывается при следующих предположениях: для любого m > 0 имеется только конечное число одночастичных состояний с массой меньше, чем m; àì-

плитуды рассеяния являются аналитическими функциями в физической области; операторы симметрии имеют хорошо определенное интегральное представление.

21

В качестве простейшего примера рассмотрим квантово-механическую систему, единственная степень свободы которой описывается оператором a, подчи-

ненным антикоммутационному соотношению:

Представление операторов a è a+ зададим матрицами (a ¢ a = 0, a+ ¢ a+ = 0):

Z2-градуированное линейное пространство называется супералгеброй, если в нем задана (билинейная) операция умножения [ ; g (суперскобка Ли), удовлетворяющая свойствам:

[a; bg = ¡(¡1)·(a)·(b)[b; ag;

·([a; bg) = ·(a) + ·(b) (mod 2);

(¡1)·(a)·(c)[a; [b; cgg + (¡1)·(b)·(a)[b; [c; agg + (¡1)·(c)·(b)[c; [a; bgg = 0(2: .13)

Отметим, что, если Z2-градуированное линейное пространство V является ассоциативной алгеброй, умножение в которой обладает свойствами:

то на таком пространстве без труда можно задать структуру супералгебры. Действительно, несложно убедиться, что скобка:

удовлетворяет всем свойствам суперскобки Ли.

Если рассматриваемое линейное пространство является конечномерным, то, обозначая базисные элементы в подпространствах V 0 è V 1 çà en, n = 1; : : : ; p, è

e®, ® = 1; : : : ; q, приходим к следующим соотношениям:

константами супералгебры.

22

ãäå A; B; C; D являются блоками размеров (p £ p), (p £ q), (q £ p), è (q £ q). Z2-градуировку зададим в виде:

Нетрудно проверить, что в данном случае выполнены соотношения (2.14). Суперскобку Ли зададим в виде

где в правую часть последнего соотношения входят обычные коммутаторы и антикоммутаторы матриц.

Задача 2.2. Для предыдущего примера постройте оператор Z2 градуировки (2.6) в явном виде.

Задача 2.3. Рассмотрим множество дифференциальных форм на произвольном гладком многообразии. Можно ли задать структуру супералгебры на множестве дифференциальных форм?

Если в исходном Z2-градуированном линейном пространстве формально заменить числа из поля K суперчислами, то о результирующем пространстве

говорят как о грассмановой оболочке супералгебры. Если Z2-градуированное

линейное пространство имеет структуру супервекторного пространства, то результирующая супералгебра называется супералгеброй Березина.

В заключение необходимо сделать важное замечание. Из соотношений (2.16) вытекает, что подпространство V 0 является алгеброй Ли, которая характеризу-

ется структурными константами fnmk. Каждому элементу из подпространства V 0 сопоставим линейный оператор F, действующий в подпространстве V 1 ïî

Используя тождество Якоби, вовлекающее элементы (en; em; e®), находим:

Таким образом, подпространство V 1 реализует представление алгебры Ли V 0.

2.2 Теорема Хаага-Лопушанского-Сониуса.

Как было показано в предыдущем параграфе, алгебра Ли группы Пуанкаре допускает нетривиальное расширение нечетными генераторами. В данном разделе мы рассмотрим теорему Хаага-Лопушанского-Сониуса, устанавливающую структуру максимально широкой группы симметрий S-матрицы в рамках

локальной квантовой теории поля.

23

2.2.1Алгебраическая структура генераторов симметрии S-матрицы.

Напомним формальное определение S-матрицы, известное из курса кванто-

вой теории поля. Для этого в уравнении Шредингера, в котором явно выделен потенциал взаимодействия:

ãäå VD = e~i tH0 VSe¡~i tH0 -потенциал взаимодействия в картине Дирака. Вводя в рассмотрение оператор эволюции (в картине Дирака):

последнее уравнение в формуле (2.23) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением:

i Z t

S(t; t0) = 1 ¡ ~ t0 dt1VD(t1)S(t1; t0); (2.25)

где предполагается, что взаимодействие включается и выключается адиабати- чески. Постулируется, что при t0 ! ¡1 состояние j ª1(t0)iD описывают систе-

ìó n невзаимодействующих частиц. Аналогичным образом конечное состояние

j ª2(t)iD ïðè t ! 1

Обсудим симметрии S-матрицы. В рамках классической теории поля глобальным преобразованиям симметрии отвечают сохраняющиеся заряды qi (òåî-

рема Н¼тер). Подавляющее большинство преобразований симметрии, представляющих физический интерес, имеют структуру группы Ли.

При переходе к квантовой теории постулируется принцип инвариантности, согласно которому вероятность квантового перехода j ª1i !j ª2i инвариантна

относительно преобразования симметрии:

24

Как следствие, векторы состояния системы образуют унитарное представление группы симметрий классической теории:

Такими преобразованием является, например, обращение времени. Для простоты в данном разделе мы обсуждаем только унитарные операторы. Детальное обсуждение антиунитарных преобразований может быть найдено в монографии

[1]. На языке S-матрицы соотношение (2.29) означает следующее:

ãäå G-некоторый эрмитов оператор и ®-вещественные групповые параметры, приходим к определению оператора симметрии S-матрицы:

Как следствие данного определения, множество операторов симметрии теории образуют линейное пространство.

Напомним, что начальное и конечное состояния, входящие в выражение для S-матрицы, отвечают системе свободных частиц (прямое произведение одноча-

стичных состояний). Одним из фундаментальных допущений0 квантовой механики является положение о том, что векторы j ªi è j ª i = (1+i®G) j ªi описы-

вают одно и то же состояние, регистрируемое двумя различными наблюдателями, находящимися в системах отсчета, связанных преобразованием U = 1+i®G.

Здесь gij(p; k)-ÿäðî (c-числовая функция), полностью определяющее оператор

индексом i обозначены другие квантовые числа, характеризующие частицы. Для дальнейшего удобно ввести обозначение G = a+ ? g ? a.

Важно подчеркнуть, что при рассмотрении суперсимметричных теорий действие оператора G на состояние в общем случае меняет число бозонов и ферми-

онов в данном состоянии, оставляя неизменным лишь полное число частиц. В этом состоит фундаментальное отличие от ситуации, рассмотренной Колманом и Мандулой в работе [14].

25

Для теории, содержащей как бозонные, так и фермионные поля, имеем

ai(p) ´ (bi(p); fi(p)) è

[bi(p); bj(k)] = 0;

ffi(p); fj(k)g = 0; ffi+(p); fj+(k)g = 0; ffi(p); fj+(k)g = ±ij±(3)(p ¡ k):

(2.36) Таким образом, любой оператор симметрии представим в виде прямой суммы:

è (gbb; gff ; gfb; gbf ) некоторые ядра. Оператор B называют четным оператором симметрии, а оператор F называют нечетным оператором симметрии.

Итак, множество операторов симметрии S-матрицы имеет структуру Z2-ãðà-

дуированного линейного пространства.

В качестве следующего шага рассмотрим перестановочное соотношения двух четных операторов. Элементарное вычисление дает:

[B1; B2] = B3;

g3 bb = (g1 bb ? g2 bb) ¡ (g2 bb ? g1 bb); g3 ff = (g1 ff ? g2 ff ) ¡ (g2 ff ? g1 ff );

(2.39)

где введено обозначение (g1 bb ? g2 bb)(p; k) = R d3q g1 bb(p; q)g2 bb(q; k).

Аналогичным образом для коммутатора четного и нечетного операторов находим:

[F1; B2] = F3;

в то время как антикоммутатор двух нечетных операторов имеет вид:

fF1; F2g = B3;

Подытоживая проделанные вычисления, приходим к важному заключению о том, что относительно суперскобки Ли:

26

ãäå »n вещественные или комплексные числа и en базис в алгебре Ли. Фор-

мально обобщая данную конструкцию на случай супералгебры, совокупность элементов:

(2.44)

ãäå »n 2 Rc, »® 2 Ra, à (en; e®) базис в супералгебре, назовем супергруппой Ли. В силу формулы Бейкера Кемпбелла Хаусдорфа:

данное определение корректно.

2.2.2 Четный сектор супералгебры.

Если рассмотреть подмножество четных операторов симметрии релятивистской S-матрицы, мы окажемся в рамках ситуации, проанализированной Кол-

маном и Мандулой [14]. Таким образом, в бозонном секторе супералгебра содержит генераторы алгебры Ли группы Пуанкаре:

которые находятся в прямой сумме с генераторами алгебры Ли некоторой полупростой компактной группы Ли:

Кроме того, в алгебре допустимо появление генераторов U(1)-преобразований.

Последние являются абелевыми и не играют существенной роли в нашем дальнейшем рассмотрении.

2.2.3 Нечетный сектор супералгебры.

Напомним, что нечетная часть произвольной супералгебры с необходимостью реализует линейное представление алгебры Ли, которая описывает четную часть (см. формулу (2.21)). Как следствие, в случае супералгебры Пуанкаре нечетные генераторы реализуют конечномерное спинорное представление группы Лоренца полуцелого спина (спиральности) Q®1:::®n¯_1:::¯_k , ãäå (n + k)-нечетное число.

В дальнейшем нас будут интересовать только унитарные представления супералгебры. Поэтому естественно допустить, что наряду с оператором Q®1:::®n¯_1:::¯_k в супералгебру входит эрмитово сопряженный оператор ¹

Q¯1:::¯k®1:::®n . Кроме то-

го, будем считать, что метрика в пространстве квантовых состояний положительно определена. В рамках высказанных предположений справедлива следующая лемма.

I ¹I

Лемма 2.1. Нечетная часть супералгебры исчерпывается элементами Q® è Q®,

ãäå I = 1; : : : ; N.

27

Доказательство. Генераторы (Ti; Mab; Pa), задающие четную часть супералгебры, реализуют следующие представления группы Лоренца:

С одной стороны, антикоммутатор двух нечетных операторов должен давать четный оператор в алгебре. С другой стороны, для спинорных представлений группы Лоренца справедлива формула:

Итак, нечетный опер1àтор в супералгебре реализует спинорное представление группы Лоренца типа (2 ; 0).

Отметим, что в общем случае в алгебру может входить некоторый набор операторов указанной структуры. Будем отмечать различные операторы из такого набора индексом I = 1; : : : ; N. В зависимости от того сколько значений

принимает индекс I говорят о N = 1 суперсимметрии, N = 2 суперсимметрии и т.д.

I ¹I

Следствие 2.1. Поскольку Q® è Q® являются спинорами группы Лоренца, коммутационные соотношения нечетных генераторов с генераторами Mab имеют

ãäå cIJ некоторая числовая матрица. Рассматривая соотношение, эрмитово сопряженное2 к (2.52), заключаем, что cIJ эрмитова матрица, cIJ = c¹JI . Унитар- ным преобразованием она может быть приведена к диагональному виду:

2Для числовых коэффициентов c è ¾ необходимо брать обычное комплексное сопряжение. Поскольку ¾ несет спинорные индексы и для последних комплексное сопряжение подразу-

мевает перестановку индексов местами, комплексное сопряжение ¾ матриц эквивалентно их эрмитову сопряжению.

28

ãäå ¸L (вещественные) собственные значения матрицы cIJ . В правой части по- следнего соотношения отсутствует суммирование по индексу L.

Переопределяя нечетный оператор в алгебре QI ! UI J QJ , далее находим:

Рассмотрим среднее этого операторного соотношения по произвольному состоянию j ªi. Положим в результирующем равенстве I = J и вычислим след

возникающей матрицы (tr (¾nPn) = 2P 0). Вследствие положительной опреде-

Из физических соображений представляется естественным потребовать, чтобы среднее значение оператора энергии в произвольном состоянии j ªi áûëî

ãäå X è Z являются числовыми матрицами. Симметризуя данное соотношение по индексам ®; ¯, находим, что X симметричная матрица. Аналогичным образом сворачивая последнюю формулу с тензором ²®¯, можно показать, что матрица Z антисимметрична.

29

Лемма 2.3. Генераторы трансляций и супертрансляций коммутируют:

Доказательство. Принимая во внимание соотношение (12 ; 0) - (12 ; 12 ) = (1; 12 ) © (0; 12 ) и тот факт, что четная часть супералгебры не содержит представления типа (1; 12 ), приходим к выражению:

Здесь dIJ произвольная числовая матрица. Рассматривая далее тождество Яко-

и сворачивая результирующее выражение с тензором ²®¯, заключаем, что мат- ðèöà d является симметричной:

þò.Таким образом, трансляции и супертрансляции действительно коммутиру-

Следствие 2.4(.IJПрименяя): доказанную лемму к формуле (2.60), фиксируем вид матрицы X

В свою очередь, последнее соотношение упрощает антикоммутатор (2.57).

Как уже отмечалось ранее, нечетные генераторы в супералгебре реализует линейное представление алгебры Ли, образованной четными генераторами.

I ¹I

Выпишем явно формулы для коммутаторов [Q®; Ti] è [Q®; Ti].

Вследствие тензорного соотношения (12 ; 0) - (0; 0) = (12 ; 0), имеем равенство:

ãäå bIJi некоторая числовая матрица. Анализируя далее тождество Якоби:

30