суперсимметряи_пособие

Заметим, что поскольку Z[IJ] коммутируют со всеми элементами супералгеб-

ры, они образуют центр. По этой причине их также называют центральными зарядами в супералгебре. Единственное ограничение на вид центральных зарядов следует из формул (2.76) и (2.80) и имеет вид:

Задача 2.4. Проверьте, что оставшиеся тождества Якоби не накладывают дополнительные ограничения на вид супералгебры.

Подытоживая проделанные рассуждения, приведем максимально широкую супералгебру, которая допустима в качестве симметрий релятивистской S ìàò-

рицы (выписываем только ненулевые (анти)коммутаторы):

где эрмитовы матрицы bi реализуют представление алгебры Ли fTig и централь- ные заряды Z[IJ] удовлетворяют ограничению (2.81). Структурные соотноше-

ния (2.82) определяют N расширенную супералгебру Пуанкаре с центральными

зарядами.

В заключение заметим, что наличие в супералгебре Пуанкаре центральных зарядов возможно только при N > 1.

2.3 Конструкция фактор-пространства. Суперпространство R4j4.

В данном разделе мы рассмотрим универсальный метод, позволяющий по заданной (супер)алгебре, имеющей структуру полупрямой суммы3, построить координатное пространство, в котором действуют преобразования соответствующей (супер)группы Ли.

Рассмотрим произвольную алгебру Ли L, которая является полупрямой суммой подалгебр L0 è L1 с генераторами Tn, n = 1; : : : ; m, è T®, ® = 1; : : : ; n

3Говорят, что алгебра Ли L имеет структуру полупрямой суммы, если L = L0 © L1 è

[L0; L0] ½ L0, [L1; L1] ½ L1, [L0; L1] ½ L1.

32

Используя формулу Бейкера Кемпбелла Хаусдорфа:

Действительно, умножая правую часть формулы (2.84) на оператор 1 = e¡xnTn ¢ exnTn и принимая во внимание соотношение (2.85), приходим к равенству (2.86),

Подгруппу, образованную элементами вида exnTn , обозначим символом G0.

Рассмотрим далее фактор пространство G=G0, элементами которого явля- ются классы эквивалентности:

В силу формулы (2.86)®произвольная: точка фактор пространства параметризуется набором чисел x

è G=G0 изоморфно линейному пространству Cn, если исходная алгебра явля- ется комплексной, и пространству Rn, если исходная алгебра является веще-

ственной. 0

Нетрудно проверить далее, что левые сдвиги на группе g ! g = ag, индуцируют действие группы в пространстве G=G0:

ãäå '®(x; a) некоторая функция, зависящая от групповых параметров a, явный

вид которой определяется спецификой данной группы.

Поскольку точки фактор пространства находятся во взаимно однозначном соответствии с точками пространства Rn (ëèáî Cn), íà G=G0 можно обычным

образом ввести поля, реализующие представление группы, и строить инвариантные лагранжианы.

В качестве примера рассмотрим супергруппы Пуанкаре имеет вид:

Соответственно фактор пространство параметризуется набором суперчисел zM

n® ¹

=(x ; µ ; µ®):

и изоморфно суперпространству R4j4. Рассматривая далее преобразование (2.90), умножая элемент g справа на оператор 1 = e¡2i !nmMnm e2i !nmMnm и удерживая

члены, линейные по параметрам (a; !; ²; ²¹) (инфинитезимальное преобразование), находим

33

В показателе экспоненты без труда идентифицируем преобразование Лоренца:

Задача 2.5. Доказать формулу (2.93).

Задача 2.6. Покажите, что генераторы инфинитезимальных преобразований (2.94) (2.96), которые реализуют представление N = 1 супералгебры Пуанкаре,

имеют вид:

где фермионные производные выбраны левыми.

В заключение данного раздела, пользуясь тривиальными равенствами:

приведем компонентное разложение произвольного комплексного скалярного суперполя в суперпространстве R4j4:

Таким образом, компонентный состав произвольного суперполя включает в себя представления группы Пуанкаре как целых, так и полуцелых спинов. Принято говорить, что последние образуют супермультиплет. Важно подчеркнуть, что число бозонных компонент суперполя всегда равно числу фермионных компонент.

34

2.4 Неприводимые унитарные представления N = 1 супералгебры Пуанкаре.

Суперсимметричные теории с необходимостью вовлекают набор полей или одночастичных квантовых состояний, которые реализуют то или иное представление супералгебры Пуанкаре. Используя метод индуцированных представлений, в данном разделе мы опишем структуру унитарных неприводимых представлений N = 1 супералгебры Пуанкаре.

2.4.1 Операторы Казимира супералгебры Пуанкаре.

В качестве первого шага полезно построить операторы Казимира супералгебры Пуанкаре. Поскольку эти операторы коммутируют со всеми генераторами супералгебры, их собственные значения могут быть использованы для классификации неприводимых представлений.

Принимая во внимание коммутационные соотношения (2.82), без труда убеждаемся, что первый оператор Казимира алгебры Ли группы Пуанкаре:

где использовано тождество ²nmkl¾kl = ¡2i¾nm и выбрано обозначение ²0123 = ¡1. Простая модификация вектора Паули Любанского:

35

Поскольку последняя не коммутирует с генераторами Лоренца, необходимо построить скалярное выражение Z[nPm]Z[nP m].

Итак, второй оператор Казимира супералгебры Пуанкаре имеет вид:

Оператор C2 называют оператором суперспина.

Задача 2.7. Доказать соотношения

2.4.2Неприводимые унитарные массивные представления N = 1 супералгебры Пуанкаре.

Напомним, как проводится построение унитарных неприводимых массивных представлений подалгебры Пуанкаре. В пространстве одночастичных состояний квантово механической системы выбираются состояния с определенным значе- нием 4 импульса qn:

Предполагается, что система таких векторов полна и, согласно принципу суперпозиции, произвольное состояние системы является элементом пространства:

M

H = Vq: (2.113)

q

В общем случае H реализует приводимое представление подалгебры Пуанкаре.

поскольку P nPn является оператором Казимира, который в неприводимом пред-

ставлении кратен единичному. Поверхность (2.114) определяет двуполостный гиперболоид. Из физических соображений в дальнейшем мы рассматриваем только верхнюю половину гиперболоида, которая отвечает положительным зна- чениям энергии q0 = E > 0.

Как нетрудно установить (см., например, могографию [1]), в произвольном представлении алгебры Ли группы Пуанкаре для операторов представления выполнены соотношения:

U(¤; a)¤nmP mU¡1(¤; a) = P n ) P n(U(¤; a) j qi) = (¤nmqm)U(¤; a) j qi:

(2.115) Таким образом, операторы представления подгруппы Лоренца действуют в

пространстве состояний следующим образом:

36

и, оставляя поверхность (2.114) инвариантной, переводят H в себя. Поскольку для произвольных точек qn è pn, лежащих на гиперболоиде, существует связы-

вающее их преобразование Лоренца, L(p)q = p, используя состояние j qi¾, ãäå индекс ¾ обозначает спиновую поляризацию, можно построить состояние:

Последнее описывает частицу с 4 импульсом p и тем же значением спиновой поляризации ¾. Символом N(p) обозначен нормировочный коэффициент.

Остановимся подробнее на структуре подпространства Vq. Из физических соображений вытекает, что два состояния с одинаковым значением 4 импульса

могут отличаться спиновыми поляризациями. Для того чтобы наглядно продемонстрировать этот факт, рассмотрим преобразования из группы Лоренца, которые связывают два состояния из Vq:

Vq инвариантным. Совокупность таких преоб-

разований образует подгруппу, называемую подгруппой стабильности. Несложно видеть, что соотношение q0n = qn эквивалентно уравнению:

ãäå nl произвольный вектор. Таким образом, подгруппа стабильности генери-

руется вектором Паули Любанского (2.105), который удовлетворяет соотношениям:

(2.120)

ãäå i = 1; 2; 3, ²123 = 1, и операторы Si удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли so(3) ' su(2):

В частности, неприводимое представление строится посредством действия на вектор старшего веса (см., например, монографию [15]):

S3 j si = s j si; S+ j si = 0; (2.125)

37

операторами S¡, имеет размерность 2s+1, ãäå s = 0; 12 ; 1; 32 ; : : : и характеризуется соотношением:

SiSi = 2S¡S+ + S3(S3 + 1) = s(s + 1)1 =) W nWn = m2s(s + 1)1: (2.126)

Здесь SiSi оператор Казимира алгебры Ли su(2).

Итак, в общем случае подпространство Vq имеет размерность (2s + 1) и реализует неприводимое представление алгебры Ли su(2).

Полезно отметить, что действие оператора U(¤; 0) на произвольное состояние j pi:

U(¤; 0) j pi = N(p)U(¤; 0)U(L(p); 0) j qi = N(p)U(¤L(p); 0) j qi =

является суперпозицией оператора U(L¡1(¤p)¤L(p); 0) из подгруппы стабильности состояния j qi и преобразования Лоренца U(L(¤p); 0), которое не меняет значение спиновой поляризации. По заданным q, p è ¤ нетрудно вычислить L(p), L(¤p) è L¡1(¤p)¤L(p) и построить в явном виде состояние U(¤; 0) j pi.

где сделано переопределение генераторов Q ! p21m Q. Неприводимое представление последней строится над клиффордовым вакуумом j 0i (Q® j 0i = 0) и включает в себя четыре состояния:

Квантовое число s, характеризующее неприводимое массивное представление супералгебры Пуанкаре, называют суперспином.

38

2.4.3Неприводимые унитарные безмассовые представления N = 1 супералгебры Пуанкаре.

Как и в массивном случае, в качестве первого шага полезно напомнить структуру неприводимых безмассовых представлений алгебры Ли группы Пуанкаре.

Стандартным является следующий выбор тестового 4 импульса (E 6= 0):

для которого компоненты вектора Паули Любанского принимают вид:

W0 = ¡W3 = ¡EM12; W1 = E(M23¡M02) ´ ER1; W2 = E(M01¡M13) ´ ER2:

(2.134) Линейно независимые операторы R1; R2; M12 генерируют трансляции и враще-

ние в двумерной плоскости, соответственно, и образуют алгебру Ли E2:

Поскольку R1 è R2 коммутируют, представляется естественным строить неприводимое представление на собственных функциях этих операторов:

è ïðè ¹2 6= 0 является бесконечно мерным.

Экспериментальные данные не подтверждают наличия у безмассовых ча- стиц внутренних степеней свободы, принимающих непрерывные значения. Итак, приходим к необходимости положить:

èв неприводимом представлении операторы R1, R2 являются тривиальными.

Âитоге, неприводимое представление строится на собственных функциях оператора M12:

Собственное значение ¸, характеризующее представление, называют спираль-

èç SL(2; C) является прообразом преобразования Лоренца, которое генерируется оператором M12 (вращение вокруг оси x3). Вращение на угол µ = 2¼ (N(2¼) = ¡1) либо оставляет состояние инвариантным, либо меняет знак век-

тора на противоположный, в зависимости от того является представление однозначным или двузначным:

39

Итак, неприводимые безмассовые представления алгебры Ли группы Пуанкаре являются одномерными и характеризуются значением спиральности ¸.

Включение операторов суперсимметрии в описанную схему не представляет существенной проблемы. Для выбранного значения 4 импульса qn антикомму-

татор генераторов суперсимметрии имеет вид:

µ 4E 0 ¶: (2.141)

0 0

¹

Таким образом, в квантовой теории операторы Q2, Q2_ реализуются тривиально,

¹

а неприводимое представление пары (Q1; Q1_ ) включает в себя два состояния (в

дальнейшем мы используем перенормировку Q ! 1 Q):

2pE

Пусть состояние j 0i реализует неприводимое представление подалгебры Пуанкаре спиральности ¸. Используя коммутационное соотношение [Mab; Q®] =

Итак, неприводимое безмассовое представление N = 1 супералгебры Пуанкаре содержит две безмассовые частицы спиральностей ¸ è ¸ + 12 .

40