суперсимметряи_пособие

особенность состоит в том, что они не меняют грассманову четность компонент

супервектора

e

e

; e

при линейном преобразовании:

¡!M = (¡!m

¡!¯)

²(F(¡!M )) =

M

(1.22)

e

²

:

На множестве суперматриц естественным образом вводятся операции сло-

жения:

+ F2 = µ C1

+ C2

D1

+ D2

¶;

(1.25)

F1

A1

+ A2

B1

+ B2

и умножения:

= µ C1A2

+ D1C2

C1B2

+ D1D2

¶:

(1.26)

F1 ¢ F2

A1A2

+ B1C2

A1B2

+ B1D2

z^ (¡!) =

¡!

0;

^(¡!) = (

¡!) = (

e

N

)

:

(1.27)

¢ F

X

zX

F ¢

z X

F

zX

F

X0N

¡!

Задача 1.3. Выбирая в качестве вектора

¡!

¡!

N

, убедитесь

X базисные элементы e

F (¡!) = (¡1)

F

¡!

¤

¤

(1.30)

²( )²(X )

(F(¡! ))

¤

X

X

:

При стандартном выборе комплексного сопряжения в супервекторном простран-

ñòâå:

(¡!N )

¤

= (¡1)

¡!N

;

(1.31)

e

²N e

F¤(!¡ N ) ´ ¡!M (

¤)

N )

для произвольной суперматрицы (в силу сотношения

e

e F

s

M

имеем:

(F

s¤

)

M

= (¡1)

²(F)(²M +²N )+²N

+²N ²M

(F

M

¤

(1.32)

N

N ) :

(F sT )M N = (¡1)²(F)(²M +²N )+²M +²N ²M F N M :

(1.33)

F sT =

µ ¡BT

DT

¶:

(1.34)

AT

CT

Дополнительным аргументом в пользу выбранного определения является соот-

ношение:

F N M XM = XM (F sT )M N ;

(1.35)

вычным соотношением:

F F ¡1 = F ¡1F = 1:

(1.36)

Поскольку дух единичной суперматрицы равен нулю, из определения (1.36)

находим:

FBF ¡1

= F ¡1FB = 1;

(1.37)

B

B

1

Xk

F ¡1

= FB¡1

+ (¡1)k(FB¡1FS)kFB¡1:

(1.38)

=1

F ¡1 =

(A ¡ BD¡1C)¡1

¡A¡1B(D ¡ CA¡1B)¡1

:

(1.39)

µ

¡D¡1C(A ¡ BD¡1C)¡1

(D ¡ CA¡1B)¡1

¶

F = µ

0

D ¶µ

0

1q

¶µ

¡ 0

1q

¶µ D¡1C

1q

¶; (1.40)

1p

0

1p

B

A

BD¡1C 0

1p

0

èëè

µ

0 1q

¶µ Cp 1q

¶µ

0p

D ¡ CA¡1B

¶µ

0p

1q

¶: (1.41)

F =

A 0

1 0

1

0

1 A¡1B

Ber (F1F2) = Ber F1 Ber F2;

Ber (F sT ) = Ber F:

(1.43)

Ber (1 + F ) = 1 + tr A ¡ tr D:

(1.44)

str F = (¡1)²M F M M :

(1.45)

Задача 1.6. Доказать следующие свойства суперследа:

str (F sT ) = str F;

str (F1F2) = str (F2F1):

(1.46)

Задача 1.7. Доказать соотношение:

Ber (eF ) = estr F :

(1.47)

Cpjq = f(x1; : : : ; xp; µ1; : : : ; µq)j x 2 Cc; µ 2 Cag;

(1.48)

Rpjq = f(x1; : : : ; xp; µ1; : : : ; µq)j x 2 Rc; µ 2 Rag:

(1.49)

zM = (xm; µ®);

(1.50)

В дальнейшем, если не оговорено особо, мы обсуждаем только вещественные

суперпространства.

Функцию, определенную на суперпространстве и принимающую значения в

алгебре Грассмана:

f : Rpjq ! ¤1;

(1.51)

назовем суперфункцией или суперполем.

Суперфункция называется аналитической, если она представима в виде ря-

да Тейлора:

1

f(z) =

fM1:::Mk zM1 : : : zMk ;

fM1:::Mk 2 ¤1;

(1.52)

=1

Xk

fBose : Rpjq ! Cc; è fF ermi : Rpjq ! Ca:

(1.54)

В первом случае говорят о бозонных суперполях. Суперфункции второго ти-

па принято называть фермионными суперполями. Отметим, что для чистых

суперфункций коэффициенты разложения в формуле (1.53) удовлетворяют со-

отношениям:

²(f0) = ²(f);

²(f[®1:::®k]) = ²(f) + k (mod 2):

(1.55)

естественным задать дифференцирование по четным переменным обычным об-

разом:

q

@

f(x; µ) =

@

f

(x) +

1

@

f

(x)µ®1

: : : µ®k :

(1.56)

@xm

@xm

0

=1

k! @xm

[®1:::®k]

Xk

В дальнейшем мы будем использовать обозначение:

@

= @m.

@xm

Прежде чем определить производную гладкого суперполя по нечетной пе-

ременной µ®, отметим, что дифференциал суперфункции можно представить

двумя различными способами

@

df(x; µ) = dµ¹ Ã

f(x; µ)!

¡!

(1.57)

@µ¹

ëèáî

@

á

df(x; µ) = Ãf(x; µ)

!dµ¹:

(1.58)

@µ¹

Таким образом, приходим к понятию левой и правой производных по нечетной

переменной.

В простейшем случае, когда f(x; µ) = µ, естественным определением явля-

ется следующее:

@

@

¡!

µ® = ±¹®;

µ®

á

= ±¹®:

(1.59)

@µ¹

@µ¹

¡!

á

®

Поскольку ±¹

®

четная матрица и µ

нечетная переменная, операторы

@

@

@µ¹

è

@µ¹

являются нечетными. В частности,

á

¡!

® ¯

® ¯

® ¯

® ¯

® ¯

® ¯

@

¡ µ ±¹ ;

@

¡ ±¹ µ :

(1.60)

(µ µ

) = ±¹ µ

(µ

µ )

= µ

±¹

@µ¹

@µ¹

Задача 1.8.

Покажите, что левая производная по нечетной переменной дей-

ствует на произвольное гладкое суперполе по закону

(x)µ®1 : : : µ®k¡1 :

(1.61)

¡! f(x; µ) = (

1)²(f)

q

(¡1)

k

f

@

¡

Xk

¡

@µ¹

=1 (k 1)!

[¹®1:::®k¡1]

Убедитесь в справедливости следующего соотношения, вовлекающего пра-

вую производную:

á

1

q

@

Xk

¡

(x)µ®1

: : : µ®k¡1 :

(1.62)

f(x; µ)

=

f

[®1:::®k¡1

¹]

@µ¹

=1

(k 1)!

¡!

²(f)

á

@

f(x; µ) = ¡(¡1)

f(x; µ)

@

:

(1.63)

@µ¹

@µ¹

Как уже отмечалось ранее, производная по нечетной переменной является

нечетным оператором. Следовательно, для произвольного чистого суперполя

взятие производной по нечетной переменной меняет статистику суперфункции

на противоположную:

²(@¹f) = ²(f) + 1 (mod 2):

(1.64)

Используя конденсированное обозначение (1.50), удобно ввести единый сим-

âîë:

@M

= (@m; @¹);

@M zN = ±M N :

(1.65)

Задача 1.9. Убедитесь в справедливости следующих соотношений:

@M @N = (¡1)²M ²N @N @M ;

@M (f ¢ g) = @M f ¢ g + (¡1)²M ²(f)f ¢ @M g:

(1.66)

Задача 1.10.

Доказать, что операция комплексного сопряжения действует на

производную чистого суперполя по закону:

(@M f)¤ = (¡1)²M (²(f)+1)@M f¤:

(1.67)

x1

f(x)dx = F (x2) ¡ F (x1);

x 2 Rc

(1.68)

ãäå F (x)-первообразная суперфункции f(x),

d

F (x) = f(x). Интеграл в про-

странстве Rcpj0

dx

будем понимать как кратный.

Для нечетных переменных оказывается невозможным задать интегрирова-

ние как операцию, обратную к дифференцированию. Действительно, рассмот-

рим случай одной нечетной переменной µ. Попытка определить интеграл с ис-

íî

2

µ

R

пользованием понятия первообразной функции (например,

1dµ = µ) немедлен-

приводит к трудностям, поскольку для функции

не существует первооб-

Ra

R

разной (µ = 0). Как следствие, при таком подходе интеграл

µdµ не определен.

Следуя Ф.А. Березину [12], зададим интеграл в

четырьмя аксиомами:

Z

(f(µ) + g(µ))dµ = Z f(µ)dµ + Z

g(µ)dµ;

Z

Z

¸ 2 ¤1;

Z

¸f(µ)dµ = ¸ f(µ)dµ;

d

f(µ)dµ = 0;

dµ

Z

µdµ = ¡1:

(1.69)

Иными словами, в рамках выбранного определения пространство Ra имеет ну-

левой "объем". Третья аксиома задает правило интегрирования по частям:

Z dµf(µ) ¢ g(µ)dµ = ¡(¡1)²(f) Z

f(µ) ¢ dµ g(µ)dµ:

(1.71)

d

d

Нетрудно убедиться также, что интеграл (1.69) инвариантен относительно транс-

ляций в Ra:

Z

f(µ + ¸)dµ = Z

f(µ)dµ;

¸ 2 Ra:

(1.72)

¸dµ = ¡dµ¸;

¸ 2 Ra:

(1.73)

Как следствие, последнее соотношение в (1.69) можно переписать в виде:

Z dµµ = 1;

(1.74)

дифференцированию:

Z

d

(1.75)

dµf(µ) =

f(µ):

dµ

±-функцию в Ra определим посредством знакомого соотношения:

Z

dµ±(µ)f(µ) = f(0);

(1.76)

откуда без труда находим явное выражение:

±(µ) = µ:

(1.77)

Задача 1.11. Убедитесь в справедливости формул:

±(µ ¡ µ0)f(µ0) = ±(µ ¡ µ0)f(µ);

±(µ)±(µ) = 0;

±(¡µ) = ¡±(µ);

±(0) = 0;

±(µ)f(µ) = (¡1)²(f)f(µ)±(µ)

(1.78)

и следующего интегрального представления для ±-функции:

±(µ) = Z

d¸e¸µ;

(1.79)

Z

dqµf(µ1; : : : ; µq) = Z

dµq Z

dµq¡1 : : : Z

dµ1f(µ1; : : : ; µq);

(1.80)

ãäå

Z

dµ¹µº = ±¹º;

dµ¹dµº + dµºdµ¹ = 0:

(1.81)

Интеграл по полному суперпространству естественно задать в виде:

Z

dzp+qf(z) = Z dpx Z

dqµf(x; µ) = Z

dqµ Z dpxf(x; µ):

(1.82)

идентична линейной замене переменных, известной из курса математиче-

ского аналиçà. Таким образом, в секторе четных переменных возникает

Якобиан J(@x0 ) = det A è

@x

dpx0 = (det A) dpx:

(1.86)

Вследствие соотношения:

dµ0¹µ0º = ±¹º = Z

Z

dµ0¹µº;

(1.87)

для нечетных переменных мера интегрирования остается инвариантной

dµ0¹ = dµ¹, èëè

dqµ0 = dqµ:

(1.88)

2. Рассмотрим противоположную ситуацию:

Поскольку R dµ0¹µ0

x0n = xn;

µ0¹ = D¹ºµº:

(1.89)

º = ±¹º, ìåðà0

¡1

º

(1.90)

интегрирования преобразуется по закону:

dµ ¹ = dµº(D

) ¹:

Следовательно, для меры по подпространству R0jq имеем:

dµ0q : : : dµ01 = (det D¡1) dµq : : : dµ1

(1.91)

x0n = xn; µ0¹ = µ¹ + C¹nxn;

x0n = xn + Bn¹µ¹; µ0¹ = µ¹

(1.92)

dz0p+q = (Ber F ) dzp+q:

(1.93)

В предыдущей главе было введено понятие суперпространства и изложены

элементы алгебры и анализа на суперпространствах. Нашей следующей задачей

будет построение полевых теорий в суперпространстве и изучение их характер-

ных особенностей.

Как уже отмечалось во введении, основным свойством таких моделей явля-

ется наличие суперсимметрии, перемешивающей бозонные и фермионные поля.

Функционал действия простейшей суперсимметричной теории имеет вид [4]

S[A; B; ª] = Z d4x ¡(@nA)2 + (@nB)2 ¡ iª¡¹ n@nª¢;

(2.1)

±A = ¡²¹ª; ±B = i²¹¡5ª; ±ª = i¡m@m(A ¡ iB¡5)²:

(2.2)

Кроме того, полезными оказываются следующие свойства майорановских спи-

норов: ¹

, ¹ n

n

Ã.

à= Âù

á  = ¡Â¹¡