Контрольные вопросы

1. Как ставится задача приближенного решения уравнения ? Как конкретизируется метод последовательных приближений для решения этой задачи? Что означает отделение корня уравнения и как оно производится?

2. Как строится последовательность приближений в методе половинного деления? В чем его геометрический смысл? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций метода половинного деления. Запишите алгоритм половинного деления.

3. Как преобразуется решаемое уравнение к виду, удобному для применения метода простой итерации? Как строится последовательность приближений в методе простой итерации? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций для метода простой итерации. В чем состоит геометрический смысл метода простой итерации?

4. Как строится последовательность приближений в методе касательных? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций для метода касательных. В чем состоит геометрический смысл метода касательных?

5. Как строится последовательность приближений в методе хорд? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итераций для метода хорд. В чем состоит геометрический смысл метода хорд?

6. С чем связано появление комбинированного метода хорд и касательных? Как строятся последовательности приближений в комбинированном методе хорд и касательных? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итераций для комбинированного метода. В чем состоит геометрический смысл комбинированного метода?

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.

3. Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.

4. Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.

Тема 3. Численные методы решения систем уравнений

Цель: Сформировать у студентов представление о методах решения систем уравнений с одним неизвестным с помощь компьютера.

Вопросы:

3.1.Постановка задачи.

3.2. Метод Гаусса для решения линейных систем,

3.2. Метод простой итерации для линейных систем.

3.1. Постановка задачи

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многие практические задачи. Запишем систему линейных уравнений в векторном виде:

(1),

где А – матрица коэффициентов:

, .

Если система (1) невырождена, то она имеет единственное решение, если же то система либо имеет бесконечное множество решений, либо вообще не имеет решений. Будем предполагать, что.

Из курса алгебры известно, что систему (1) можно решить по крайней мере 3-мя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса, матричным методом. Однако, имеются следующие трудности: Во - первых, для многих задач порядок матрицы А очень большой и поэтому при решении системы методом Крамера нужно большое количество арифметических операций; во – вторых, на окончательный результат очень сильно влияют погрешности округления промежуточных результатов. Поэтому, возникает необходимость разработки специальных вычислительных методов решения систем уравнений.