2.2. Метод половинного деления

Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a, b] единственный корень, причем функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим [a, b] пополам точкой c=(a+b)/2. Если f(c), то возможны 2 случая: функция имеет разные знаки на концах отрезка [a, c], либо на концах отрезка [c, b].

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Сформулируем достаточные условия сходимости этого метода:

Теорема 3. Если

1. функция f(x) непрерывна на [a, b];

2. f(a)f(b)<0;

3. уравнение (1) имеет на [a, b] единственный корень x_c

4. члены итерационной последовательности вычисляется по формуле: ,nN, где a₁=a, b₁=b

,

Тогда

1. (итерационная последовательность сходится к корню уравнения)

2. n(оценка погрешности приближения).

2.3. Метод простой итерации

Пусть [a, b]- отрезок, содержащий корень уравнения f(x)=0 (1). Заменим уравнение (1) равносильным ему уравнением: x=φ(x) (2) на [a, b].

Построим итерационную последовательность {x_n} с помощью формулы x_n+1=φ(x_n), n=0, 1, 2, … x₀- грубое приближение к корню x_c, x_0.Последовательность x₀, x₁,…,x_n,… может сходиться, так и расходиться. Если последовательность сходиться, а функция φ(x) непрерывна, то предел последовательности {x_n} является корнем уравнения (1).

Теорема 4. Пусть

1. φ(x) определена и дифференцируема на [a, b];

2. φ(x) [a, b];

3. что

Тогда

1. x_n+1=φ(x_n), n=0, 1, 2, , гдеx_c- корень уравнения (2), и причем единственный.

2. ;

3. .

Доказательство. Построим интеграционную последовательность {x_n} с любым начальным значением x₀є [a,b]. В силу условия (2) теоремы все члены последовательности находятся в отрезке [a, b].

Рассмотрим два последовательных приближения x_n=φ(x_n-1) и x_n+1= φ(x_n). По теореме Лагранжа о конечных приращениях

x_n+1-x_n=φ(x_n)-φ(x_n-1)=φ^’(c) (x_n- x_n-1), c є[x_n-1; x_n]

Перейдя к модулям и принимая во внимание условие (3) теоремы, получим: | x_n+1-x_n|= | φ^’(c)| | x_n- x_n-1|≤q| x_n- x_n-1|, т.е. | x_n+1-x_n|≤q| x_n- x_n-1|. При n=1,2,… будем иметь: | x₂-x₁|≤q| x₁- x₀|, | x₃-x₂|≤q | x₂- x₁|≤q²| x₁- x₀|, … | x_n+1-x_n|≤qⁿ | x₁- x₀|.

Рассмотрим ряд: x₀+(x₁-x₀)+( x₂-x₁)+…+( x_n-x_n-1)+… (*).

Сразу заметим, что S_n+1=x_n. Члены ряда (*), начиная со второго , не превосходят по модулю соответствующих членов ряда:

|x₁-x₀|+q|x₁-x₀|+q²|x₁-x₀|+…+qⁿ|x₁-x₀|+… (**)

Но ряд (**) сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем q<1, следовательно, ряд (*) абсолютно сходится по теореме сравнения. Поэтому,

Покажем, что x_c- корень уравнения x=φ(x). Имеем: x_n+1=φ(x_n), n=0,1,2,.. Т.к. φ- дифференцируема, то она непрерывна на[a, b], следовательно, можно перейти к пределу: x_c=φ(x_c0), т.е. x_c- корень уравнения (2). Допустим, что и

|x_c-|=||

Получим противоречие, следовательно,

Оценим погрешность: |x_n-x_c|=|φ(x_n-1)-φ(x_c)|≤q| x_n-1- x_c|≤qⁿ|x₀-x_c|≤ qⁿ|b-a|

|x_n-1-x_c|=|( x_n-1-x_n)+(x_n-x_c)|≤| x_n-1-x_n|+ |x_n-x_c|≤| x_n-1-x_n|+q| x_n-1-x_c|

| x_n-1-x_c|≤. С другой стороны: |x_n-x_c|≤q|x_n-1-x_c| |x_n-1-x_c|≥

≤|x_n-1-x_c|≤, |x_n-x_c|≤

Практически уравнение f(x)=0 может быть приведено к виду x=φ(x) многими способами, однако это следует сделать так, чтобы для функции φ(x) выполнялись условия (1)- (3) теоремы.

На практике часто условие (2) не проверяют, а используют следующую теорему:

Теорема 5. Пусть:

1. [a, b] содержит единственный корень уравнения (2);

2. φ(x) дифференцируема на [a, b];

3. , такое, что |φ^’(x)|≤q.

Тогда итерационная последовательность x_n+1=φ(x_n), n=0, 1, 2,… сходится к корню x_c хотя бы для одного из натуральных приближений x₀=a или х₀=b и справедливы оценки погрешности предыдущей теоремы.

Для того, чтобы выполнялось условие (3), в некоторых случаях помимо обычных преобразованиях (f(x)=0 x=x+f(x)) полезно иметь в виду следующие специальные приемы:

1 Уравнение f(x)=0 преобразуем к виду: х=x-mf(x), где m=const, m≠0. В этом случае φ(x)=x-mf(x) и φ^’(x)=1-mf^’(x). Для того чтобы |φ^’(x)|=|1-mf^’(x)|≤q<1, достаточно подобрать m так (если, конечно, это возможно), чтобы для всех x из отрезка [a, b] значением выражения mf^’(x) была положительная правильная дробь.

2 Пусть уравнение f(x)=0 записано в виде x=φ(x). Однако при исследовании функции φ(x) на [a, b], оказалось, что x[a, b] |φ^’(x)|>1. Тогда вместо функции y= φ(x) рассмотрим функцию x=g(у), обратную для φ(x). Будем теперь решать уравнение y=g(у) (или, в старых обозначениях, x=g(x)). По свойству производных обратных функций теперь на [a, b] будет иметь место: |g^’(x)|=. Так что для уравнения x=g(x), равносильного искомому условие (3) теоремы оказалось выполненным.