Контрольные вопросы

1. Запишите алгоритм метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах для решения линейной системы.

2. Как конкретизируется принцип сжимающих отображений для приближенного решения линейных систем?

3. Запишите алгоритм метода простой итерации для решения линейной системы.

4. Запишите и обоснуйте условия при которых отображение F является сжимающим.

5. Как приводится линейная система к виду, удобному для применения метода простой итерации?

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.

3. Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.

4. Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.

Тема 4. Интерполирование функций

Цель: Сформировать у студентов представление об интерполировании функций.

Вопросы:

1. Постановка задачи.

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

4.1. Постановка задачи

Пусть известные значения некоторой функции f образуют таблицу:

x			…
f(x)			…

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок [],но не совпадает ни с одним из значений (i=0,1,…,n). Поскольку чаще всего аналитическое выражение функции f неизвестно, то используют следующий прием: подбирают функцию g(x), приближающую функцию f(x) в промежутке [].

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строго совпадения значений f(x) и g(x) в точках (i=0,1,…,n), то есть

В этом случае нахождение приближающей функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки – узлами интерполяции.

Очевидно, что задача интерполяции допускает сколь угодно много решений. Обычно, функцию g(x) выбирают из функций определенного класса и чаще всего из класса многочленов.

Будем искать интерполирующую функцию g(x) в виде многочлена степени ≤ n: причем , . Многочлен называютинтерполяционным многочленом для функции f(x), построенным по узлам .

Для любой функции f(x) сформулированная задача имеет решение, причем единственное. Для того чтобы это показать, поступим следующим образом. Для определения коэффициентов многочлена составим систему уравнений, которая имеет следующий вид:

Получим систему из (n+1)–го линейного уравнения с (n+1)–им неизвестным. Найдем определитель этой системы:

Если все точки различны, то этот определитель отличен от 0. Следовательно, рассматриваемая система уравнений всегда имеет решение, причем единственное.

Описанный прием в принципе можно было бы использовать и для практического решения задачи интерполированием многочленом, однако на практике используют другие, более удобные и менее трудоемкие способы.

4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассмотрим следующий многочлен:

(1)

или кратко

Не трудно проверить, что степень этого многочлена ≤ n . Покажем, что значения этого многочлена в точках совпадают со значением функцииf(x), то есть . Чтобы это показать, рассмотрим следующий многочлен:

Найдем его значения в узлах интерполяции:

Заметим, что можно переписать в следующем виде: Рассмотрим в точке :

=

Итак, мы доказали, что многочлен имеет степень не вышеn и в узлах интерполяции его значения совпадают с соответствующими значениями функции f(x). А в силу того, что интерполяционный многочлен единственен, то одно из представлений этого многочлена.

Интерполяционный многочлен в форме (1) называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а формула f(x)называетсяинтерполяционной формулой Лагранжа.