7. Перехід від одного опорного рішення до іншого.

У транспортній задачі перехід від одного опорного рішення до іншого здійснюється за допомогою циклу. Для деякої вільної клітинки таблиці будується цикл, що містить частину клітинок, зайнятих опорним рішенням. По цьому циклу перерозподіляються об'єми перевезень. Перевезення завантажується у вибрану вільну клітинку і звільняється одна із зайнятих кліток, виходить нове опорне рішення.

Теорема 6. (про існування і єдиність циклу). Якщо таблиця транспортної задачі містить опорне рішення, то для будь-якої вільної клітинки таблиці існує єдиний цикл, що містить цю клітинку і частину клітинок, зайнятих опорним рішенням.

Доказ. Опорне рішення займає N=m+n-1 клітинок таблиці, яким відповідають лінійно незалежні вектори-умови. Якщо ж до зайнятих клітинок приєднати одну вільну, то відповідні їм m+n векторів лінійно залежні, і по тій же теоремі існує цикл, що містить цю клітинку. Припустимо, що таких циклів два (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2), …, (ik,j1) і (i1,j1), (i2,j1), …, (i1,ji). Тоді, об'єднавши клітинки обох циклів без вільної клітинки (i1,j1), одержимо послідовність клітинок (i1,j2), …, (ik,j1), (i2,j1), …, (i1,ji), які утворюють цикл. Це суперечить лінійній незалежності векторів-умов, створюючих базис опорного рішення. Отже, такий цикл єдиний.

Зазначений цикл.

Цикл називається зазначеним, якщо його кутові клітинки пронумеровані по порядку і непарним клітинкам приписаний знак «+», а парним – знак «-» (рис 2.) 1 2

+ -

- 5 +

6

+ -

3. 4

рис 2.

Зрушенням по циклу на величинуназивається збільшення об'ємів перевезень у всіх непарних клітинках циклу, відмічених знаком «+», наі зменшення об'ємів перевезень у всіх парних клітинках, відмічених знаком «-», на.

Теорема 7. Якщо таблиця транспортної задачі містить опорне рішення, то при зрушенні по будь-якому циклу, що містить одну вільну клітинку, на величину ==вийде опорне рішення.

Доказ. У таблиці транспортної задачі, що містить опорне рішення, виберемо вільну клітинку і відзначимо її знаком «+». По теореме6. для цієї клітинки існує єдиний цикл, який містить частину клітинок, зайнятих опорним рішенням. Пронумеруємо клітинки циклу, починаючи з клітинки, відміченої знаком «+». Знайдемо==і здійснимо зрушення по циклу на цю величину.

У кожному рядку і в кожному стовпці таблиці, що входять в цикл, дві і лише дві клітинки, одна з яких відмічена знаком «+», а інша - знаком «-». Тому в одній клітинці об'єм перевезення збільшується на , а в іншій зменшується на, при цьому сума всіх перевезень в рядку (або стовпці) таблиці залишається незмінною. Отже, після зрушення по циклу як і раніше і запаси всіх постачальників вивозяться повністю, і запити всіх споживачів задовольняються повністю. Оскільки зрушення по циклу здійснюється на величину==, то всі об'єми перевезень будуть ненегативними. Отже, нове рішення є допустимим.

Якщо залишити вільною одну з клітинок з нульовим об'ємом перевезення, відповідних , те число зайнятих клітинок буде рівне N=m+n-1. Оскільки цикл єдиний, те видалення з нього однієї клітинки розриває його. Цикл із зайнятих клітинок, що залишилися, утворити не можна, відповідні вектори-умови лінійно незалежні, а рішення є опорним.