Тема 5. Транспортна задача лінійного програмування, її структура та методи розв'язку

Однорідний вантаж зосереджений у m постачальників в об'ємах . Даний вантаж необхідно доставитиn споживачам в об'ємах . Відомі,i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n- вартості перевезення одиниці вантажу від кожного I-го постачальника кожному j-му споживачу. Вимагається скласти такий план перевезень, при якому запаси всіх споживачів повністю задоволені і сумарні витрати на перевезення всіх вантажів мінімальні.

Початкові дані транспортної задачі звичайно записуються в таблиці (таб1.1).

…

Початкові дані задачі можуть бути представлені також у вигляді вектора запасів постачальників А=((), вектора запитів споживачів

В=(() і матриці вартостей.

У транспортних задачах під постачальниками і споживачами розуміються різні промислові і сільськогосподарські підприємства, заводи, фабрики, склади, магазини і т.д. Однорідними вважаються вантажі, які можуть бути перевезені одним видом транспорту. Під вартістю перевезень розуміються тарифи, відстані, час, витрата палива і т.п.

2. Математична модель транспортної задачі.

Змінними (невідомими) транспортної задачі є i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n – об'єми перевезень від кожного i-го постачальника кожному j-му споживачу. Ці змінні можна записати у вигляді матриці перевезень

.

Оскільки вираз визначає витрати на перевезення вантажу відi-го постачальника j-му споживачу, то сумарні витрати на перевезення всіх вантажів рівні . По умові задачі вимагається забезпечити мінімум сумарних витрат. Отже, цільова функція має вигляд.

Система обмежень задачі складається з двох груп рівнянь. Перша група з m рівнянь описує той факт, що запаси всіх m постачальників вивозяться повністю:

, i=1,2,…,m.

Друга група з n рівнянь виражає вимогу повністю задовольнити запити всіх n споживачів:

, j=1, 2, …, n.

Враховуючи умову позитивності об'ємів перевезень, математичну модель задачі можна записати так:

, (1)

, i=1,2,…,m, (2)

, j=1, 2, …, n, (3)

, i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n (4)

У розглянутій моделі транспортної задачі передбачається, що сумарні запаси постачальників рівні сумарним запитам споживачів, тобто .

Така задача називається задачею з правильним балансом, а її модель – закритою. Якщо ж ця рівність не виконується, то задача називається задачею з неправильним балансом, а її модель – відкритою.

Математичне формулювання транспортної задачі таке: знайти змінні задачі ,i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n, задовольняючі системі обмежень (2), (3), умовам позитивності (4) і забезпечуючи мінімум цільової функції (1).

3. Методи побудови початкового опорного рішення.

Метод північно-західного кута.

Існує ряд методів побудови початкового опорного рішення, найпростішим з яких є метод північно-західного кута. У даному методі запаси чергового постачальника використовуються для забезпечення запитів чергових споживачів до тих пір, поки не будуть вичерпані повністю, після чого використовуються запаси наступного по номеру постачальника.

Заповнення таблиці транспортної задачі починається з лівого верхнього кута і складається з ряду однотипних кроків. На кожному кроці, виходячи із запасів чергового постачальника і запитів чергового споживача, заповнюється тільки одна клітка і відповідно виключається з розгляду один постачальник або споживач. Здійснюється це таким чином:

1. якщо , тоі виключається постачальник з номером i,,k=1, 2, …, n, доkj, ;

2. якщо , тоі виключається споживач з номером j,,k=1, 2, …, m, доki, ;

3. якщо , тоі виключається абоi-й постачальник, ,k=1, 2, …, n, доkj, , абоj-й споживач, ,k=1, 2, …, m, доki, .

Нульові перевезення прийнято заносити в таблицю тільки тоді, коли вони потрапляють в клітинку (i,j), що підлягає заповненню. Якщо в чергову клітинку таблиці (i,j) вимагається поставити перевезення, а i-й постачальник або j-й споживач має нульові запаси або запити, то в клітинку ставиться перевезення, рівне нулю (базисний нуль), і після цього, як завжди, виключається з розгляду відповідний постачальник або споживач. Таким чином, в таблицю заносять тільки базисні нулі, решта клітинок з нульовими перевезеннями залишається порожніми.

Щоб уникнути помилок після побудови початкового опорного рішення необхідно перевірити, що число зайнятих клітинок рівне m+n-1 і вектори-умови, відповідні цим клітинкам, лінійно незалежні.

Теорема 4. Рішення транспортної задачі, побудоване методом північно-західного кута, є опорним.

Доказ. Число зайнятих опорним рішенням клітинок таблиці повинне бути рівне N=m+n-1. на кожному кроці побудови рішення по методу північно-західного кута заповнюється одна клітинка і виключається з розгляду один рядок (постачальник) або один стовпець (споживач) таблиці задачі. Через m+n-2 кроку в таблиці буде зайнято m+n-2 клітинки. В той же час залишаться невикресленими один рядок і один стовпець, при цьому незайнята клітинка одна. При заповненні цієї останньої клітинки число зайнятих клітинок складе m+n-2+1=m+n-1.

Перевіримо, що вектори, відповідні зайнятим опорним рішенням клітинкам, лінійно незалежні. Застосовний метод викреслювання. Всі зайняті клітинки можна викреслити, якщо виконати це у порядку їх заповнення.

Необхідно мати на увазі, що метод північно-західного кута не враховує вартість перевезень, тому опорне рішення, побудоване даним методом, може бути далеко від оптимального.

Метод мінімальної вартості.

Метод мінімальної вартості простий, він дозволяє побудувати опорне рішення, достатньо близьке до оптимального, оскільки використовує матрицю вартостей транспортної задачі С=((), i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n. Як і метод північно-західного кута, він складається з ряду однотипних кроків, на кожному з яких заповнюється тільки одна клітка таблиці, відповідна мінімальній вартості min {{}, і виключається з розгляду тільки один рядок (постачальник) або один стовпець (споживач). Чергову клітку, відповідну, заповнюють за тими ж правилами, що і в методі північно-західного кута. Постачальник виключається з розгляду, якщо його запаси використані повністю. Споживач виключається з розгляду, якщо його запити задоволені повністю. На кожному кроці виключається або один постачальник, або один споживач. При цьому якщо постачальник ще не виключений, але його запаси рівні нулю, то на тому кроці, коли від даного постачальника вимагається поставити вантаж, у відповідну клітку таблиці заноситься базисний нуль і лише, потім постачальник виключається з розгляду. Аналогічно із споживачем.

Теорема 5. Рішення транспортної задачі, побудоване методом мінімальної вартості, є опорним.