2. Градиент. Производная по направлению

Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой которой связано определенное значение некоторой физической величины. Задание поля скалярной величиныравносильно заданию скалярной (числовой) функции.

Линией уровня скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения (, где).

Градиентом функции называется вектор

=.

Направление вектора в каждой точкесовпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку.

Производная функции в точкев направлении вектора, образующего с осями координат углыи, вычисляется по формуле

Пример 15. Найти градиент и производную функции в точке М(3,4₎ в направлении вектора l, составляющего угол с положительным направлением осиОх.

Решение. Найдем частные производные функции в точке М:

.

Тогда градиент будет равен: .

Найдем направляющие косинусы: . Тогда производная по направлению будет равна

5 Двойные интегралы

5.1 Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области плоскостизадана непрерывная функция.Разобьём областьнаn «элементарных областей» , площади которых обозначим через, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через .

В каждой области выберем произвольную точку, умножим значениефункции в этой точки наи составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется функции в области.

Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функциипо областии обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция называется интегрируемой в области ;- область интегрирования;и- переменные интегрирования; или - элемент площади.

5.2 Основные свойства двойного интеграла

1.

2.

3. Если область разбить линией на две областии, то

4.Если в области имеет место неравенство, то и. Если в областифункциито и.

5. Если подынтегральная функция , то двойной интеграл численно равен площади области интегрирования:

.

6. Если функция непрерывна в замкнутой области, площадь которойS, то

, где и- соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области.

7. Если функция непрерывна в замкнутой области, площадь которойS, то в этой области существует такая точка , что

Величину называют средним значением функции в области.

8. Координаты центра тяжести однородной пластинки можно вычислить по формулам

,

Пример 16. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями .

Рис.1

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси , то. Остается найти. Найдем площадь фигуры:

Тогда

.

Пример 17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, изображенную на рис. 1. Для изменения порядка интегрирования разобьем область на две части: и. Тогда исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов: