Варианты индивидуальных заданий
Задание 1.
Найти общий интеграл уравнения
.
1.
.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 2.
Найти частное решение (частный интеграл) уравнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 3.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 4.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
20.
Задание 5.
Написать три первые члены ряда. Найти интервал сходимости и исследовать ряд на сходимость на концах интервала.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
Задание 6.
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
1. . 2..
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
.
20.
.
Функции нескольких переменных
Пусть задано
множество
упорядоченных пар чисел
.
Соответствие
,
которое каждой паре чисел
сопоставляет
одно и только одно число
,
называется функцией двух переменных,
определенной на множестве
со значениями в
,
и записывается в виде
.
Частной производной
функции нескольких переменных называется
производная функции одной из этих
переменных при условии постоянства
значений остальных переменных.
Обозначения частных производных:
.
Частные производные
называют частными производными первого
прядка. Их можно рассматривать как
функции от
.
Эти функции также могут иметь частные
производные, которые называются частными
производными второго порядка. Они
определяются и обозначаются следующим
образом:
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.
Теорема. Если частные производные непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для
имеем:
Пример 13.
Найти производные первого порядка и
смешанную производную второго порядка
функции
.
Решение.
При нахождении частной производной
по
полагаем
постоянной:
.
При нахождении частной производной по
полагаем
постоянной:
.
.
Экстремум функции нескольких переменных
Пусть функция
определена в некоторой области
,
точка
.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая
-окрестность
точки
,
что для каждой точки
,
отличной от
,
из этой окрестности выполняется
неравенство
(
).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
Теорема
(необходимые условия экстремума). Если
в точке
дифференцируемая
функция
имеет экстремум, то ее частные производные
в этой точке равны нулю:
Точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
Теорема
(достаточное условие экстремума). Пусть
в стационарной точке
и
некоторой ее окрестности функция
имеет
непрерывные частные производные до
второго порядка включительно. Вычислим
в точке
значения
.
Обозначим
.
Тогда:
1. Если
,
то функция
имеет в точке
экстремум:
максимум, если
;
минимум, если
.
2.Если
,
то функция
в
точке
экстремума
не имеет.
В случае
необходимы дополнительные исследования.
Пример 14.
Найти экстремум функции
Решение.
Здесь
;
.
Точки, в которых частные производные
не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
Отсюда получаем точки М1 (6;3) и М2 (0;0).
Находим частные производные второго порядка данной функции:
,
,
.
В точке М1
(6;3) имеем:
А=-18, В=36, С=-108, отсюда
=648,
т.е.
>
0.
Так как А<0, то в точке М1 функция имеет локальный максимум:
=324
– 216 – 81 = 27.
В точке М2(0;0):
А=0, В=0, С=0 и, значит,
=0.
Проведем дополнительное исследование.
Значение функции
в
точке М2
равно нулю:
(0;0)=0.
Можно
заметить, что
<
0 при
;
≠
0;
при
,
.Значит, в
окрестности точки М2(0;0)
функция
принимает
как отрицательные, так и положительные
значения. Следовательно, в точке М2
функция экстремума не имеет.