mu

УДК 517

Математический анализ 2: метод. указ. и индивид. задания для студентов ИДО, обучающихся по напр. 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое дело» / сост. А.Н. Харлова, Е.А. Молдованова; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета,

2012. – 102 с.

Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ________ 2011 года, протокол № ___.

Зав. кафедрой ВМ профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев

Аннотация

Методические указания и индивидуальные задания по дисциплине «Математический анализ 2» предназначены для студентов ИДО, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое дело». Данная дисциплина изучается в одном семестре.

Приводится содержание основных тем дисциплины, темы практических занятий, варианты заданий для индивидуальных домашних заданий и список рекомендуемой литературы. Даны основные требования и методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий.

2

1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

Дисциплина «Математический анализ 2»изучается во втором семестре первого курса студентами ИДО, обучающимися по направлениям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое дело».

Задачами дисциплины являются:

развитие математической интуиции;

воспитание математической культуры;

формирование навыков, необходимых для использования знаний при изучении специальных дисциплин и дальнейшей практической деятельности;

овладение студентами необходимым математическим аппаратом, дающим возможность анализировать, моделировать и решать экономические задачи;

воспитание у студентов отношения к математике как к инструменту исследования и решения экономических задач, необходимому в их дальнейшей работе.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать основные понятия дифференциального исчисления функций нескольких переменных (предел, частные производные, полный дифференциал, экстремум функции двух переменных, и их применение

крешению прикладных задач); основные понятия теории дифференциальных уравнений (обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, системы дифференциальных уравнений); основные понятия теории рядов (числовые и степенные ряды, и их применение в приближённых вычислениях);

уметь применять изученные методы для решения экономических задач, устанавливать границы применимости методов, уметь анализировать найденные решения;

владеть навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, методиками для построения, анализа и применения математических моделей оценки состояния, прогноза и развития различных экономических процессов;

иметь опыт применения математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов исследования, аналитического и численного решения задач.

Дисциплина «Математический анализ 2» является базовой дисциплиной естественно-научного цикла (Б2).

3

Для её успешного усвоения необходимы математические знания и умения, полученные при изучении курса «Математический анализ 1».

Пререквизитом является дисциплина «Математический анализ 1». Кореквизитами является дисциплина «Информатика».

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Область определения функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных. Дифференцируемость функции двух переменных. Понятие полного дифференциала функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции. Существование и дифференцирование неявных функций. Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных (абсолютный и условный). Метод наименьших квадратов.

Рекомендуемая литература: [1, глава 1].

Методические указания

Изучение данной темы позволит расширить понятие функции. Следует обратить внимание на существенные отличия теоретических и практических аспектов методов исследования функции одной переменной и функции двух переменных. Однако следующий переход от функции двух переменных к функциям трёх и более переменных не влечёт принципиальных отличий. Несмотря на отличия указанных методов, при нахождении частных производных от функций двух переменных используются те же правила и формулы дифференцирования, что и для функции одной переменной. Это возможно, так как при дифференцировании функции двух переменных одна из переменных фиксируется (считается константой), и осуществляется переход к функции одной переменной. Одной из основных задач этой темы является исследование функции двух переменных на экстремум. При этом может вызывать затруднения нахождение стационарных точек функции, так как в общем случае для этого приходится решать систему нелинейных уравнений. Одной из частых ошибок при решении систем уравнений является потеря корней, которая связана с делением обеих частей уравнения на множители, содержащие неизвестные. Особое внимание следует обратить на задачи нахождения условного экстремума функции двух перемен-

4

ных. Рекомендуется следующая схема исследования функции на условный экстремум:

1)найти стационарные точки;

2)из найденных точек выбрать те, которые принадлежат заданной области;

3)вычислить значения функции в стационарных точках, принадлежащих области;

4)исследовать поведение функции на границе области (для этого уравнение линии подставляется в формулу, задающую функцию; затем для полученной функции одной переменной находятся наибольшее и наименьшее значения на отрезке);

5)из значений функции (см. п.3 и п.4) выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Ниже сформулированы теоретические вопросы, которые помогут подготовиться к выполнению индивидуальных заданий. Приступать к решению задач можно только в том случае, если ответы на вопросы не вызвали затруднений. В противном случае необходимо снова обратиться к рекомендованной литературе.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое арифметическое пространство R2 ?

2.Что является элементом арифметического пространства R2 ?

3.Что такое область определения функции двух переменных?

4.Что называется графиком функции двух переменных?

5.Каков геометрический смысл графика функции двух переменных?

6.Что называется пределом функции двух переменных в заданной

точке?

7.Может ли один и тот же предел функции двух переменных иметь разные значения? Если да, то в каких случаях?

8.В каком случае предел функции двух переменных не существует?

9.Какая функция двух переменных называется непрерывной в заданной точке?

10.Что называется точкой разрыва функции двух переменных?

11.Что такое частное приращение функции двух переменных?

12.Что такое полное приращение функции двух переменных?

13.Что такое частная производная функции двух переменных?

14.Сколько частных производных первого порядка может иметь функция двух переменных?

15.Сколько частных производных второго порядка может иметь функция двух переменных?

5

16.Зависит ли результат повторного дифференцирования функции двух переменных от порядка дифференцирования по разным переменным?

17.Что такое смешанная производная функции двух переменных?

18.Каким свойством обладают непрерывные смешанные производные функции двух переменных?

19.Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

20.Совпадает ли полный дифференциал функции двух переменных

сеё полным приращением в данной точке?

21.Какая функция двух переменных называется дифференцируемой в данной точке?

22.По какой формуле вычисляется полный дифференциал функции двух переменных в данной точке?

23.При каких условиях заданное уравнение F(x, y) 0 определяет

одну из переменных как функцию другой переменной?

24. При каких условиях заданное уравнение F(x, y, z) 0 определяет одну из переменных как функцию двух других переменных?

25.Какая точка называется точкой экстремума (максимума, минимума) функции двух переменных?

26.Что называется экстремумом (максимумом, минимумом) функции двух переменных?

27.Чему равны частные производные дифференцируемой функции двух переменных в точке экстремума?

28.Какие точки называются стационарными точками функции двух переменных?

29.Как найти стационарные точки функции двух переменных?

30.В каких точках функция двух переменных может иметь экстремум?

31.Как установить, действительно ли данная функция двух переменных имеет в данной точке экстремум?

32.Как установить, какой экстремум – максимум или минимум – имеет функция в точке экстремума?

33.При каком условии в стационарной точке экстремум отсутствует?

34.Каков алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум?

35.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в заданной области?

36.Для решения каких задач применяется метод наименьших квад-

ратов?

37.В чём состоит идея метода наименьших квадратов?

6

Тема 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

Обыкновенные дифференциальные уравнения: основные понятия. Общее и частное решения дифференциальных уравнений первого порядка. Общий и частный интегралы дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Методы решения дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах. Решение дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка. Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и нахождение его корней. Понятия о численных методах решений дифференциальных уравнений; метод Эйлера, метод конечных приращений. Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения неизвестных функций.

Рекомендуемая литература: [1, глава 2, 3, 4].

Методические указания

При решении многих физических и экономических задач приходится находить неизвестную функцию по известному соотношению между этой функцией, её производными и независимой переменной. Для решения указанных задач необходимо иметь навыки нахождения решений дифференциальных уравнений.

Чтобы успешно освоить данную тему, необходимо повторить следующие разделы курса «Математический анализ 1»: методы вычисления неопределённого интеграла, комплексные числа.

Отметим, что способы и методы решения дифференциальных уравнений зависят от типа уравнения. Поэтому прежде, чем приступить к решению, необходимо определить тип дифференциального уравнения. Ниже приводится таблица основных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Обратите внимание, что при решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, необходимо сначала найти общее решение этого уравнения, а затем, используя начальное условие, найти значение константы. Решением задачи Коши является частное решение, соответствующее найденному значению константы.

7

8

Основной целью всех преобразований ДУ первого порядка является сведение их к уравнениям с разделёнными переменными. При этом необходимо учитывать следующее:

1. Если уравнение содержит производную искомой функции, то её

заменяют по формуле y dydx .

2. Дифференциалы dx и dy всегда должны быть записаны в числи-

телях.

3. При интегрировании обеих частей дифференциального уравнения произвольную постоянную принято записывать один раз.

При изучении дифференциальных уравнений высших порядков следует обратить внимание на структуру общего решения уравнения: количество произвольных постоянных всегда совпадает с порядком дифференциального уравнения. Приведённая ниже таблица описывает структуру общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

ay by cy 0

Ниже сформулированы теоретические вопросы, которые помогут подготовиться к выполнению индивидуальных заданий. Приступать к решению задач можно только в том случае, если ответы на вопросы не вызвали затруднений. В противном случае необходимо снова обратиться к рекомендованной литературе.

9

Вопросы для самопроверки

1.Что такое дифференциальное уравнение?

2.Какое дифференциальное уравнение называется обыкновенным?

3.Что называется порядком дифференциального уравнения?

4.Как определить порядок дифференциального уравнения?

5.Что называется решением дифференциального уравнения?

6.Что означает «проинтегрировать дифференциальное уравне-

ние»?

7.Какое решение дифференциального уравнения называется об-

щим?

8.Какое решение дифференциального уравнения называется част-

ным?

9.Что называется общим интегралом дифференциального уравнения?

10.Что называется частным интегралом дифференциального урав-

нения?

11.Чем общее решение отличается от общего интеграла дифференциального уравнения?

12.Чем частное решение отличается от частного интеграла дифференциального уравнения?

13.Какое решение дифференциального уравнения называется осо-

бым?

14.Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

15.При каких условиях дифференциальное уравнение первого порядка имеет решение?

16.Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделёнными переменными?

17.Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?

18.Что означает «разделить переменные в дифференциальном уравнении»?

19.Каков признак дифференциального уравнения первого порядка

сразделяющимися переменными?

20.При каком условии функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно своих аргументов x и y?

21.Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным уравнением?

22.Как свести однородное дифференциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными?

23.Каков признак однородного дифференциального уравнения?

10