mu

го члена ряда

u

(1)n

и проверьте, выполняется ли необходимый

n

(n 1)!

признак сходимости.

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

2n 1

n 2

7.1.

;

7.2.

;

3n

2

2n

4

(0,5)

n

n 1

n 1

4n 3

n

(1)n n

7.3.

;

7.4.

.

2

2

2

n 1

n

n 1

n

( x 3)n n

(1)n 1

(x 2)n

8.1.

;

8.2.

.

2

n

n

n 1

n 1

3

9.1.

y e2 x 1, a 1;

9.3.

y ln(3 x), a 0;

9.4.

y cos2 3x, a

;

9.4.

y

1

, a 0.

x

3

3

1.1. (8 ex )dy yexdx 0 ;

1.4.

y y ctg x 2x sin x ;

1.2. (1 e2 x ) yy ex ;

1.5.

y

2 y2

4

y

.

x2

x

1.3. y tg

y

y

;

3x

x

y xy x3 ,

y(0) 3.

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y

4

;

3.4. y 4y 29y 0;

x4

3.2. y 5y 0 ;

3.5. y y 2e x .

3.3. y 10y 25y 0 ;

4. Решите задачу Коши:

y y sin 2x,

y( ) 1, y ( ) 1.

го члена ряда

un

n!

и проверьте, выполняется ли необходимый

2n 1

признак сходимости.

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

1

3n

3

1

2n

7.1.

;

7.2.

;

(5n 4)(4n

1)

4n

3

2

n 1

n 1

7.3. n

1

;

7.4.

(1)

.

n

n 1

2 (n 1)!

n 1

n(n 1)

( 1)n ( x 2)n

5n xn

8.1.

;

8.2.

.

2

n

3 n

n 1

1

n 1

9. Разложите функцию

y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y sin

x

, a 0;

9.2. y

2

, a 2;

x

2

4

9.3. y e 3x , a 2;

9.4. y x ln(1 x2 ), a 0.

1.1. x ydy yx2dy xy2dx ;

1.4. y

y2

2 y

2 ;

x2

x

1.2. y(4 ex ) ex y 0;

1.5. y

y

ex (x 1).

x 1

1.3. y tg

y

y

;

3x

x

2. Решите задачу Коши:

y

y

x2 2,

y( 1)

3

.

x 2

2

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y x

2

;

3.4. 25y 10y y 0 ;

x

3.2. 3y 2y 8y 0 ;

3.5. y 6y 9y 2x 3;

3.3. y 6y 13y 0;

4. Решите задачу Коши:

y 2 y 10 y 10x2

18x 6,

y(0) 1, y (0) 3,2.

ной формуле для общего члена ряда un

1

и проверьте,

(5n 4)(4n 1)

1

2n 1

7.1.

;

7.2.

;

2

n

n

2

n 1

n!

n 1

n 1

4n

3 3n

(1)n (2n 2)

7.3.

;

7.4.

.

n(n 3)

n 1

n 2

n 1

(n2 1)(x 7)n

xn

8.1.

;

8.2.

.

7

n

(n 2)

n

n 1

n 1

9. Разложите функцию

y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y e x , a 3;

9.2. y cos

x

, a 3 ;

3

9.3. y

1

, a

0;

9.4. y ln(4 x), a 2.

2x 3

y2

4 y

1.1.

ln x 3 2 y

2 xyy 0;

1.4. y

3;

x2

x

1.5. y

y

xsin x.

1.2.

4 y2 dx ydy x2 ydy ;

x

1.3.

y sin2

5y

y

;

x

x

y y tg x cos

2

1

x,

y

.

4

2

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1.

y

3 x2

;

3.4. 4 y y 0

;

4

3.2.

y 7 y 6y 0;

3.5. y 3y 2y 2ex .

3.3.

9 y 6 y y 0 ;

4. Решите задачу Коши:

y 2 y ex (x 3),

y(0) 2, y (0) 2.

го члена ряда u

n 1

и проверьте, выполняется ли необходимый при-

n

n!

знак сходимости.

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

n

3n 4

7.1.

3

;

7.2.

;

n

2

n

3

n 1

n 1

n 1

3n 1

n

n 2n 3

7.3.

;

7.4 ( 1)

.

n 1

5n 2

n 1

3n

1

( x 5)n

n(x 4)n

8.1.

;

8.2.

.

n

n 1

n

n 1

3

9. Разложите функцию

y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y sin2 x, a 0;

9.2. y e2 x 1, a 1;

9.3. y

1

, a 3;

9.4. y x ln(x 5), a 0.

4 x

3y

y

1.1.

3 x2 y xy2 4x 0 ;

1.4. y sin2

;

2x

x

1.5. y

2xy

1.2. x

4 y2 dx 2 y(x2 5)dy 0 ;

1 x2.

1 x2

y

3y

2

,

y(1) 1.

x

x3

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y

4

;

3.4. y 2y 10y 0 ;

3x3

3.2. y 7 y 6y 0;

3.5. 2y y y 4xex .

3.3. 9 y 6 y y 0 ;

4. Решите задачу Коши:

4 y 16 y 15y 4e

3

x ,

y(0) 3, y (0) 5,5.

2

n

n

7.1.

;

7.2.

5

;

4n 3

n 1

n n 3

n 1

3n 2

3n

( 1)

n

7.3.

;

7.4.

.

n 1

2n 1

n 1

n 2

(x 2)n n

(1)n 1(x 4)n

8.1.

;

8.2.

.

2

n

n 1

n 1

3n 2

9. Разложите функцию

y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

9.1.

y xe 2 x , a 0 ;

9.2. y ln(x 5), a 3;

9.3.

y cos2 x, a

;

9.4. y

1

, a 2.

2

x

4

1.1. y ln y xy 0 ;

1.4.

y

y

ey

2 x ;

x

y

1 2x

y 1.

1.2.

3 y2 dx ydy x2 ydy ;

1.5.

x2

1.3.

2 y

y2

8

y

8;

x2

x

2. Решите задачу Коши:

y

1 2x

y 1,

y(1) 1.

x2

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y

3

;

3.4. 9 y 6 y y 0 ;

2x

3.2. y 13y 12y 0 ;

3.5. y 3y 2cos x .

y 5y 6 y e2 x ,

y(0) 0, y (0)

1

.

9

2

( 1)n 1

го члена ряда u

n

и проверьте, выполняется ли необходимый

n

признак.

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

n

1

7.1.

;

7.2. arcsinn

;

3n

2

4

n

n 1

n 1

n!

1

7.3.

;

7.4. ( 1)n 1

.

n

n 1

5

n 1

2n 3

n

2)

n

8.1.

( x 1)

;

8.2.

(x

.

n 1 n4n 1

n 1

n2

9. Разложите функцию

y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y 3 8 x, a 0;

9.2. y sin x cos x, a ;

9.3. y e4 x 1, a 2;

9.4. y

1

, a 3.

1

2x

y xy2 x 0 ;

1.4. y

y

e2 y x ;

1.1. 9 x2

x

1.2. 6xdx 6 ydy 2x2 ydy 3xy2dx ;

1.5. y

y

x2.

x

1.3. y

y2

y

1;

x2

2x

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график:

y

y

x2

,

y(1) 0.

x

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y

1

;

3.4. y 2y y 0;

4x3

3.2. y 3y 0 ;

3.5. y 3y 4y 2x 5.

3.3. y 2y 5y 0 ;

4. Решите задачу Коши:

y 3y 4 y 17sin x,

y(0) 4, y (0) 0.

го члена u

nn

и проверьте, выполняется ли необходимый признак.

n

4

7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:

1

n

7.1.

;

7.2.

n5

;

(n

n 1

(n 2)(n 2)

n 1

1)!

2n

2n 1

n

n

2

7.3.

;

7.4. (1)

.

2n

3

n 1

3n 1

n 1

1

( x 2)n

(x 3)n

8.1.

;

8.2.

.

n

2

4

n

n

n

n 1

n 1

9. Разложите функцию y f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y sin

x

cos

x

, a 3 ;

9.2. y

9 x2 , a 0;

3

3

9.3. y ln(2x 3), a 1;

9.4. y

4

, a

2.

3 x

y

cos2

2 y

1.1. y2 5 y y

2x2 1 0 ;

1.4. y

;

x

x

1.2. (e4 x 5)dy y3e4 xdx 0;

1.5. y

y

x2

2x.

x

2

1.3. y

y2

3y

2 ;

x2

x

y

y

x 1

ex ,

y(1) e.

x

x

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y 55 x3 ;

3.4. 25y 10y y 0 ;

3.2. 2y y y 0;

3.5. y y x 1.

3.3. y 9 y 0;