mu

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Для исследования числового ряда

на сходимость при-

Для исследования числового ряда

на сходимость при-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

34.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Решение

3.1. y 3cos2x x ;

Это уравнение является дифференциальным уравнением третьего порядка, допускающим понижение порядка. Для того чтобы найти его решение, необходимо левую и правую части уравнения три раза проинтегрировать. Получаем:

																																	3
																									1
y 3cos 2x														dx 3 cos 2xdx x													dx		3		sin 2x	x2		C1
											x															2			3			x2
											x															2			2			3
																																	2
		3								2			3								3							2		3
		3								2											3							2
y				2						3											2							3
y					sin 2x							x2				C		dx				sin 2xdx								x2 dx C			dx
																	1													1
	3	cos 2x						2		x	5 2				C x C


	4							3		5							1			2
	4							3		5
					3						2
					3								4				5
y						cos 2x										x	2 C1x C2 dx
y					4	cos 2x					15					x	2 C1x C2 dx
					4						15
	3		cos 2xdx						4				x5			2dx C				xdx C					dx
	4		cos 2xdx						15				x5			2dx C				xdx C					dx
	4								15									1					2
																		1					2
	3	sin 2x						4		x7 2						C		x2	C x C .
		sin 2x														C			C x C .
	8						15			7			2				1	2			2			3.
													2

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

y	3	sin 2x	8	x7 2 C	x2	C x C .

	8		105	1	2	2	3

3.2. y 5y 6y 0

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид:

k 2 5k 6 0.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

D ( 5)2 4 1 6 1 0,

следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

k	5 1	3	и k			5 1	2.
k		3	и k	2			2.
1	2			2	2
	2				2
Общее решение уравнения имеет вид								y C e3x C ex .
								1	2

3.3. 25y 10y y 0

25k 2 10k 1 0.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

D 102 4 1 25 0,

следовательно, квадратное уравнение имеет два одинаковых действительных корня:

k1 k2 15 .

Общее решение уравнения будет иметь вид y C1x C2 e 15 x .

3.4. 16 y y 0

16k 2 1 0.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

D 02 4 1 16 64 0,

следовательно, квадратное уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

k1,2 14 i .

Общее решение уравнения имеет вид

yC1 cos 4x C2 sin 4x .

3.5.y 2 y 3y 2ex

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с

постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Его общее решение ( y) равно сумме частного решения соответствующего од-

нородного уравнения ( y0 ) и какого-либо частного решения неоднород-

ного уравнения ( y) т.е. y y0 y.

Решим сначала однородное уравнение y 2y 3y 0 и найдём y0. . Характеристическое уравнение имеет вид:

k 2 2k 3 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

D ( 2)2 4 1 ( 3) 16 0,

следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

k		2 4	3	и k			2 4	2.
k			3	и k	2			2.
1	2				2	2
	2					2
Общее решение однородного уравнения имеет вид
y C e3x C e 2 x .
0	1			2
Найдём теперь частное решение y									неоднородного уравнения. В
соответствии с правой частью данного уравнения										f (x) 2ex будем ис-
кать его в виде y Aex . Найдём y Aex ,									y Aex	и подставим y, y , y
в исходное уравнение:
Aex 3Aex 2Aex 2ex .

Откуда A 12 , а y 12 ex .

Окончательно получаем y C1 cos 4x C2 sin 4x 12 ex .

Задача 4. Решите задачу Коши:

y 6 y 34 y 4ex , y(0) 1, y (0) 0.

Решение

Найдём сначала общее решение уравнения. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Его общее решение имеет вид y y0 y, где y0 общее решение соответствующего однородного

уравнения, а y какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Решим сначала однородное уравнение y 6y 34y 0.

Характеристическое уравнение имеет вид: k 2 6k 34 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

D 36 136 100 0,

следовательно, квадратное уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

k1,2 6 10i 3 5i . 2

Общее решение однородного уравнения имеет вид y0 e3x (C1 cos x C2 sin5x).

В соответствии с правой частью данного уравнения f (x) 4ex частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде y Aex .

Найдём y Aex , y Aex и подставим их в исходное уравнение. Получим:

Aex 6Aex 34Aex 4ex .

Откуда 29Aex 4ex и, следовательно, A 294 . Тогда y 294 ex , а общее решение будет иметь вид:

y e3x (C1 cos5x C2 sin5x) 2925 ex .

Для того чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, используем начальные условия и подставим в общее решение x 0 , и y 1. Получаем

C1 294 1 C1 2925 .

Для отыскания C2 найдём y и используем второе начальное усло-

вие: y(0) 0.

y 3e3x (C1 cos5x C2 sin5x) e3x ( 5C1 sin5x 5C2 cos5x) 2925 ex 3C1 5C2 2925 0 5C2 2925 7529 5C2 10029 C2 2029 .

Подставим C1 и C2 в общее решение и получим частное решение уравнения:

y e3x ( 2925 cos5x 2029 sin5x) 2925 ex .

Задача 5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) 2x y,y (t) 3x 2 y.

Решение

Выпишем первое уравнение системы x (t) 2x y и продифференцируем обе части уравнения по t :

x (t) 2x y .

Из второго уравнения системы y подставим в полученное равен-

ство

x 2x 3x 2y.

Из первого уравнения системы выражаем y x 2x . Тогда урав-

нение принимает вид

x 2x 3x 2x 4x.

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую и

приведем подобные: x x 0.

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид

k 2 1 0.

Корни этого уравнения действительные и различные: k1 1, k2 1. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

x C1et C2e t .

Наконец найдём y :

	y 2x x y 2(C et C e t ) C et C e t 3C et C e t .
				1	2	1	2	1	2
x(t) C et C			e t ,
Ответ:	1	2
	y(t) 3C et C e t .
		1	2
		1	2

Задача 6. Напишите пять первых членов ряда по известной форму-

n(1)n 1

ле для общего члена un и проверьте выполнение необходимо-

(n 1)!

го признака.

Решение

Найдём сначала пять первых членов ряда:

u		1 ( 1)1 1		1			1	1,
u								1,
1		(11)!		0!			1
		(11)!		0!			1
			2 (1)2 1		2			2
u	2								2,
u			(2 1)!		1!			1	2,


			3 (1)3 1		3(1)2				3
u										,
u										,
3			(3 1)!			2!			2
			(3 1)!			2!			2

4 (1)4 1

4 (1)3

(4 1)!

5 (1)5 1

5 (1)4

(5 1)!

Проверим теперь выполнение необходимого признака сходимости,

а именно выполнение условия limun 0. Находим

(n 1) 1

n 1

lim

(n 1)!

1)!

lim

0 .

n (n

2)!

1)!

Таким образом, необходимый признак выполняется.

Задача 7. Исследовать числовые ряды на сходимость:

7.1.

;

7.2.

;

n 1

n(n

n 1

n 3

n2 2

7.3.

;

7.4. ( 1)n 1

n 1

Решение

n 1

7.1.n(n 4)n 1

меним предельный признак сравнения. Сравним данный ряд с рядом

, который при

p 1

расходится, а при p 1 сходится. Так как

n 1

, то

, следовательно, ряд с которым сравни-

n(n 1)

ваем, сходится. Найдём предел отношения общего члена исследуемого ряда и общего члена ряда, с которым сравниваем:

n 1

lim	n(n 1)

n		1
	3

= lim

n2 ( n 1)

lim

n( n 1)

lim

n(n 1)

n 1

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд

	n 1
n(n 1) сходится.
n 1

7.2. 4n 2

n 1 n 3

Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Коши. Напомним этот признак:


Если существует lim n un r , то при	r 1	ряд un сходится, а при
n		n 1
		n 1

r 1 расходится. Находим

lim n

lim

4 2 1.

n 3

n n 3

Следовательно, ряд

расходится.

n 1

n 3

n2 2 7.3.

n 1 3n

Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера. Напомним этот признак:

un 1

Если существует lim

r ,

то при r 1 ряд un сходится, а при

n 1

r 1 расходится.

В нашем случае u

n2 1

, u

(n 1)2 2

2n 3

. Тогда

n 1

3n 1

3 3n

n2 2n 3

3n (n2

2n 3)

n2 2n 3

lim

3 3n

lim

n2 1

3 3n (n2 1)

n2 1

3 n

n2 1

Следовательно, ряд

сходится.

n 1

7.4. ( 1)n 1

n 1

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим выполнение

условий признака Лейбница:

а) limu

lim

, условие выполняется;

n n3

б) un un 1

В нашем случае

2(n 1)

n3 1

n 1

(n 1)3 1

2(n 1)((n 1)3 1) 2n(n3 1)

2(4n3 4n 6n2 1)

n 1

(n3 1)((n

1)3 1)

(n3 1)((n 1)3 1)

Следовательно, un un 1 , и второе условие также выполняется.

Так

как оба

условия

признака Лейбница выполняются, то ряд

( 1)n 1

сходится. Определим тип сходимости. Для этого иссле-

n 1

дуем ряд на абсолютную сходимость. Используем признак сравнения.

Так как un

, а ряд

сходится ( p 2

1) , то и ряд

n 1

будет сходиться. Следовательно, ряд ( 1)n 1

сходится

n 1

абсолютно.

Задача 8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Иссле-

дуйте его поведение на концах интервала сходимости:

n( x 4)n

( x 2)n 1

8.1.

;

8.2.

n 1

Решение

n( x 4)n

8.1.

n 1

Найдем сначала интервал сходимости степенного ряда. Для этого воспользуемся признаком Даламбера

(n 1)(x 4)n 1

lim

5n 1

lim

(n 1)(x 4)n 1 5n

n(x 4)n

n(x 4)n 5n 1

n 1

(n 1)(x 4)n (x 4) 5n

x 4

n 1

x 4

lim

n(x 4)n 5n 5

Решим теперь неравенство

x 4

x 9

(1;9).

x 1

Исследуем теперь поведение ряда на концах интервала сходимости,

т.е. в точках x 1 и x 9.

Если x 9 , то получим числовой ряд

n(9 4)n

n5n

un (9)

n ,

n 1

который расходится, так как не выполняется необходимый признак

lim un

lim n 0.

Если x 1, то получим знакочередующийся ряд

n(1 4)n

n(1)n 5n

un (1)

(1)n n ,

n 1

который также расходится (не выполняется необходимый признак).

Таким

образом,

интервалом

сходимости

степенного ряда

n(x 4)n

является интервал ( 1; 9) .

n 1

8.2.

n 1

Найдём сначала интервал сходимости степенного ряда. Для этого воспользуемся признаком Даламбера.

(x 2)n 2

lim

n 1

lim

(n 1)!

lim

(x 2)n 1(x 2)n!

(x 2)n

2)n 1(n 1)!

x 2

lim

x 2

lim

x 2

lim

x 2

0 0. Так как

(n 1)!

n n!(n 1)

n n 1

неравенство 0 1 выполняется для любых значений x , то интервалом

	(x 2)	n 1
сходимости степенного ряда			является вся числовая ось, т.е.
	n!
n 1

x ( ;).

Задача 9. Разложите функцию y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y e 4 x , a 4;

9.2. y ln(3 x),

a 0.

9.3.

y sin

;

9.4. y

, a 4.

Решение

9.1. y e 4 x , a 4

Для разложения

функции

y e 4 x в

ряд Тейлора по

степеням

(x a) (x 4) воспользуемся табличным разложением

, справедливым для любого x.

n 0

Имеем

e 4( x 4 4)

e 4( x 4) 16

e16e 4( x 4)

e16 (4)

(x 4)

y e 4 x

n 0

Ответ: e 4 x

e16 ( 4)

(x 4)

, x ( , ).

n 0

9.2. y ln(3 x),

a 0

Для разложения функции

y ln(3 x)

в ряд Тейлора по степеням

(x a) x 0 x воспользуемся табличным разложением

(1)

n 1

ln(1 x)

(n 1)!

n 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.12.2018483.33 Кб40Msis.doc
#
29.05.20151.02 Mб60mu.pdf
#
29.05.20151.72 Mб12mu.pdf
#
29.05.20151.99 Mб72mu.pdf
#
29.05.20151.64 Mб12mu.pdf
#
29.05.201534.55 Mб18mu.pdf
#
10.11.20183.99 Mб1MultimediaMetod.doc
#
18.11.20191.99 Mб35MU_Adsorbtsia_Lengmyura.doc
#
20.08.2019584.19 Кб4mu_fopi_1-3.doc
#
20.08.2019532.48 Кб1mu_fopi_2-2.doc
#
20.11.20193.64 Mб5MU_Kapillyarnaya_kondensatsia.doc