mu

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2xy2 x 1 2ln y 2 y2 x 1(1 2xln y).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

34.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

1 cos

sin

cos

sin

y y

2x2

sin

2x2

Тогда dz cos

sin

dy.

Задача 5. Докажите, что функция z arcsin

нению x z z 0 . y x y

Решение

;

x удовлетворяет урав- y

Найдем сначала частные производные первого порядка z и z

x y

данной функции z arcsin

x 2

y2 x2

x 2

y2 x2

y y2 x2

Подставим теперь частные производные в левую часть уравнения.

Получаем

0 ,

y2 x2

y y2 x2

0 0 .

Получили тождество, следовательно,

функция

z arcsin

удовле-

творяет уравнению

z 0 .

y x

Задача 6. Исследуйте функцию z x2 y2 xy 6x 9 y 1 на экстремум.

Решение

Сначала найдём стационарные точки заданной функции z x2 y2 xy 6x 9 y 1.

Для этого:

1) находим частные производные первого порядка

z z		x2 y2 xy 6x 9 y 1	2x y 6;
x	x	x
x
z z		x2 y2 xy 6x 9 y 1	2 y x 9;
y	y		y
y

2) приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений

	x	0,	2x y 6 0,
	z	0,
		0
			2 y x 9 0
zy			2 y x 9 0
Решим систему методом исключения
2x y 6 0,				y 2x 6,			y 2x 6,	x 1,
			0.		x 9	0
2 y x 9			0.	4x 12	x 9	0	3x 3.	y 4.

Таким образом, точка M (1; 4) является стационарной для иссле-

дуемой функции. Проверим достаточные условия экстремума в точке M (1; 4) . Для этого найдём частные производные второго порядка за-

данной функции и вычислим их значения в стационарной точке

2 z

(M ) z

(1;

4) 2,

2 z

(M ) z

(1;

4) 2,

2 z

z 1,

2 z

(M ) z (1; 4) 1.

x y

Составим z

(z )2

4 1 3.

Так как 0 и

0, то точка M (1; 4) является для исследуе-

мой функции точкой максимума.

Чтобы найти значение максимума, координаты точки максимума x 1, y 4 подставим в функцию

zmax z(1; 4) 12 ( 4)2 1 ( 4) 61 9 ( 4) 1 22 .

Задача 7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции z 1 x 2y в замкнутой области, ограниченной линиями x 0 , y 0, x y 1 0 .

Решение

Сначала находим частные производные первого порядка заданной функции z 1 x 2y

z
		1 x 2 y x 1;
x	zx

z
		1 x 2 y y 2 .
y	zy

Так как частные производные не равны нулю, то функция не имеет стационарных точек.

Исследуем функцию на границе области. Уравнения x 0 , y 0, x y 1 0 определяют на плоскости треугольник OAB .

На отрезке OA, где y 0, имеем z 1 x , 0 x 1. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции z 1 x на отрезке [0;1] . Так как z 1 0 , то функция всюду возрастает на отрезке [0;1] . Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т.е. в точках A(1; 0) и O(0; 0) ,

соответственно. Находим z( A) z(1,0) 2 , z(O) z(0,0) 1.

На отрезке AB , где y 1 x , имеем z 3 x , 0 x 1. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции

z 3 x на отрезке [0;1] . Так как z 1 0 , то функция всюду убывает на отрезке [0;1] . Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т.е. в точках B(0;1) и A(1; 0) , соответственно. Находим

z(B) z(0,1) 3, z( A) z(1,0) 2 .

На отрезке BO , где x 0 , имеем z 1 2 y , 0 y 1. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции z 1 2 y на отрезке [0;1] . Так как z 2 0, то функция всюду возрастает на отрезке [0;1] . Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т.е. в точках B(0;1) и O(0; 0) ,

соответственно. Находим z(B) z(0,1) 3, z(O) z(0,0) 1.

Выбирая из всех полученных значений исходной функции наибольшее и наименьшее значения, имеем

zнаиб z(B) 3 и zнаим z(O) 1.

Задача 8. Найдите частные производные второго порядка от функ-

ций

8.1. z y2 x ;

8.2. z x2e x .

Решение

8.1. z y2 x

Найдём сначала частные производные первого порядка

y2 x ln y 2 и

2x y2 x 1 .

Тогда

2 z

2ln y( y

2 x

)x 4ln

y y

2 x

2 z

2x(2x 1) y2 x 2 ,

2 z

2xy2 x 1

2ln y 2 y2 x

2 y2 x 1 (2x ln y 1),

x y

8.2. z x2e x

Найдем сначала частные производные первого порядка

2 y

y 1

2x e

e x и

xe x .

Тогда

2 z

2 y

e x

xe x

e x ,

2 z

2 y

x y

e x

xe x

y x

	y		y
e	x 1				,
e	x 1		x		,
			x
		y
x	1			,
x	1			,
		x

Задача 9. Даны комплексные числа z1 5 2i													и z2 1 4i . Найди-
те z	z		,	z	z		,	z z		,	z1	. Ответы представьте в алгебраической фор-
		2				2			2
1				1				1			z2

ме.

Решение

z1 z2 5 2i 1 4i 4 2i. z1 z2 5 2i 1 4i 6 6i.

z z

5 2i 1 4i 5 20i 2i 8i2 3 22i.

5 2i

5 2i 1 4i

5 20i 2i 8i2

13 18i

13 18

1 4i

1 4i 1 4i

1 16i2

Задача 10. Постройте множество точек D комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 2 z 1 i 3.

Решение

Преобразуем выражение под знаком модуля: z 1 i x iy 1 i (x 1) i( y 1) .

Найдём модуль этого выражения

z 1 i

(x 1) i( y 1)

(x 1)2 ( y 1)2 .

z 1 i

Двойное неравенство

(x 1)2 ( y 1)2 3

равносильно системе двух неравенств

( x 1)2 ( y 1)2

(x 1)2

( y 1)2

(x 1)

( y 1)

( x 1)

( y 1)

Таким образом,

область

D представляет собой круговое кольцо,

ограниченное окружностями (x 1)2 ( y 1)2

и (x 1)2 ( y 1)2 9

с общим центром в точке ( 1; 1) и радиусами r1

и r2 3, соответст-

венно.

4.2.3. Индивидуальное задание № 2

Вариант № 1

1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциальных уравнений первого порядка:

1.1. 2x 2xy2

2 x2 y 0;

1.4.

y y cos x sin 2x;

1.2. x 4 y2 dx y

1 x2 dy 0;

1.5.

1.3. y e

2 y

;

2. Решите задачу Коши:

2x,

y( 1)

x 2

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y cos2x ;	3.4. y 4y 4y 0 ;
3.2. y 3y 2y 0 ;	3.5. y y xe x .
3.3. y 9 y 0 ;
4. Решите задачу Коши:
y 3y x,	y(0) 0, y (0)	1	.

	9

5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) x 4 y,y (t) 2x 3y.

6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

го члена ряда

и проверьте, выполняется ли необходимый

4n 1

признак сходимости.

7. Исследуйте на сходимость числовые ряды:

7.1.

;

7.2.

n 1

4n 3

n 1

2n 1

( 1)n

7.3.

;

7.4.

n 1

3n 2

n 1

8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его сходимость на концах интервала:

	(x 1)n				(x 2)n
8.1.			;	8.2.		.
8.1.	(4n 3)	2	;	8.2.	n	.
n 1	(4n 3)			n 1	3

9. Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:

9.1. y ex , a 2;			9.2.	y	1		, a 5;

					x	20

9.3. y sin 3x, a		;	9.4.	y	1	, a 0.
	2				x 7

Вариант № 2

1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:

1.1. 3(x2 y y)dy

2 y2 dx 0;

1.4.

3 y2

1 x2 yy 0 ;

1.2. 3y

4 ;

1.5. y

ln x

1.3. y cos2

;

2. Решите задачу Коши:

2 y

(x 1)3 ,

y(0)

x 1

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1. y

;

3.4. y 6 y 9 0 ;

3.2. y 3y 2y 0;

3.5. y 2y (x 2)e 2 x ;

3.3. y y 0 ;

4. Решите задачу Коши:

y 6y 9y e 3x ,

y(0) 1,

y (0) 0.

5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) 3x 2 y,y (t) 2x y.

6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

го члена ряда un

и проверьте, выполняется ли необходимый

n2 1

признак сходимости.

7. Исследуйте на сходимость числовые ряды:

4n 2

7.1.

;

7.2.

;

n 1

2n 1

n 1

(n 1)!

(1)n 1

7.3.

;

7.4.

4n 3

n 1

8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его сходимость на концах интервала

	(x 4)	n			n
8.1.			;	8.2.	(x 2)	.
					n
n 1	3n 4			n 1	n 4

9. Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x a и укажите интервал сходимости полученного ряда

9.1. y e3x , a 1;	9.2. y sin2 x,				a 0;
		1
9.3. y ln(x 4), a 3;	9.4.	y		,	a 1.
			x 4

Вариант № 3

1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:

1.4. 3y

1.1.

5 y2 dx 4(x2 y y)dy 0;

10;

1.2. y ln y xy 0;

1.5. y xy x3.

1.3. y cos2

2 y

;

2. Решите задачу Коши:

y 2xy e x2 sin x,

y(0) 1.

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

3.1.

;

3.4. y 6 y 9 y 0;

3.2. y 3y 2y 0;

3.5. y y 2y 2(1 x).

3.3. y 4 y 0;

4. Решите задачу Коши:

y 2 y 5y 5x2 4x 2,

y(0) 0, y (0) 2.

5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:

x (t) 5x 4 y,

y (t) 2x 11y.

6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

го члена ряда u

3n 1

и проверьте, выполняется ли необходимый

2n2 1

признак.

7. Исследуйте на сходимость числовые ряды:

2 2n

7.1.

;

7.2. 3

;

n 1

(1)n (n2

7.3.

;

7.4.

n 1

2n 1

n 1

8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его сходимость на концах интервала:

	(x 1)	n			(x 3)	n
8.1			;	8.2.			.

n 1	n(n 1)			n 1	n!

9. Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x a и укажите интервал сходимости полученного ряда

Вариант № 4

1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:

1.4. 4 y

1.1.

3 y2

1 x2 yy 0;

1.5. y

2 y

1.2. x

5 y2 dx y

4 x2 dy 0;

ex (x 1)2.

x 1

1.3. y sin2

;

2. Решите задачу Коши:

y 4xy 4x3 ,

y(0)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.12.2018483.33 Кб40Msis.doc
#
29.05.20151.02 Mб60mu.pdf
#
29.05.20151.72 Mб12mu.pdf
#
29.05.20151.99 Mб72mu.pdf
#
29.05.20151.64 Mб12mu.pdf
#
29.05.201534.55 Mб18mu.pdf
#
10.11.20183.99 Mб1MultimediaMetod.doc
#
18.11.20191.99 Mб35MU_Adsorbtsia_Lengmyura.doc
#
20.08.2019584.19 Кб4mu_fopi_1-3.doc
#
20.08.2019532.48 Кб1mu_fopi_2-2.doc
#
20.11.20193.64 Mб5MU_Kapillyarnaya_kondensatsia.doc