mu

Вариант 15

1. Найдите частные производные первого порядка

1.1.

z x3 y

x

2 yx

y2

;

1.3. z 3x e y x2 ;

y2

4

1.2.

z x2 sin

x

;

1.4. z

x y

.

y2

3x2 2 y2

ln(x y2 ) cos(xy) 0.

4. Найдите полный дифференциал dz функции z arcsin

y

.

x

8.1 z ln

x

3 x2 y ;

8.2

z

.

x y

9.

Даны комплексные числа

z1 3 4i и z2

4 2i .

Найдите z1 z2 ,

z

z

, z

z

,

z1

. Ответы представьте в алгебраической форме.

2

2

1

1

z2

Вариант №16

1. Найдите частные производные первого порядка

x

y

;

1.1. z 4x2

y

4 y

x

1.3.

z ( y 2x)cos(x2 y) ;

y2

3

5x 2 y

1.2. z arctg

x

;

1.4.

z

.

y2

y2 xy

8.1. z e x y2

;

8.2. z

2x 3y

.

x y2

9.

Даны комплексные числа

z1 5 2i

и z2 1 4i . Найдите

z1 z2 ,

z

z

, z z

,

z1

. Ответы представьте в алгебраической форме.

2

2

1

1

z2

Вариант № 17

1. Найдите частные производные первого порядка

1.1. z x2 xy y2

9x 6y 20 ;

1.3. z xy ln(2x 5y) ;

1.2. z exy2 ;

1.4. z

x2 y

.

y x

5. Докажите, что функция z e x y

удовлетворяет уравнению

1 z

1

z

z

.

y x

y

x

y2

8.1. z xsin2 y ;

8.2.

z

2 y

.

x2 y

9.

Даны комплексные числа

z1 2 5i и z2

5 4i .

Найдите z1 z2 ,

z

z

,

z z

,

z1

. Ответы представьте в алгебраической форме.

2

2

1

1

z2

y2 x3

x

1.3. z y2ex2 y ;

1.1.

z y

x

6 y ;

y

1.2.

z arcsin

x

;

1.4. z

xy2

.

y

y x2

3. Найдите производную

dy

от функции, заданной неявно

dx

xy ln y

x

ex 0 .

y

4. Найдите полный дифференциал dz

функции z arccos

x

.

y

5. Докажите, что функция z

1

удовлетворяет уравнению

x3

y3

x

z

y

z 32.

x

y

6. Исследуйте функцию z x2

y2 xy 4x 5y на экстремум.

7. Найдите наименьшее

и

наибольшее значения

функции

z x2 3y2 x y в замкнутой

области, ограниченной

линиями

x 0, y 0, x y 1 0.

8.1. z ye2 y 4 x ;

8.2.

z

x

.

x y2

9. Даны комплексные числа

z1 3 2i и z2

7 i .

Найдите z1 z2 ,

Вариант № 19

1. Найдите частные производные первого порядка

4x2

1

1.1. z 2xy

y

x

;

1.3. z

x ln( y x3 ) ;

y2

x

1.2. z tg

x2

;

1.4. z

x2 y

.

y3

x2 y

sin(xy) e x2 y

xy2 0.

4. Найдите полный дифференциал dz функции z arcsin y

.

x

5. Докажите, что функция z

1

удовлетворяет уравнению

x2 y2

x z

y

z

2z .

x

y

6. Исследуйте функцию z 4xy x2 y xy2 на экстремум.

7.

Найдите

наименьшее

и

наибольшее значения

функции

z x2 y2 2x 4y в замкнутой

области,

ограниченной

линиями

x 2, y 2, x y 4 0.

8. Найдите частные производные второго порядка от функций

8.1. z y ln

x

y

.

;

8.2.

z y2 x 3x y 2x3

y

x

9.

Даны комплексные числа

z1 3 2i и z2

1 i . Найдите

z1 z2 ,

Вариант № 20

1. Найдите частные производные первого порядка

4x2

1

;

1.1. z 2xy

3y

x

1.3.

z ex ln y cos y ln x ;

y

3x

1.2. z arctg

z

2x y

.

x y

;

1.4.

2 y x

5. Докажите, что функция z ln

удовлетворяет уравнению

x

y

x

z

y

z

1

.

x

y

2

8.1. z xe2 x 3 y ;

8.2

z

x2

y2

.

y

x

9.

Даны комплексные числа

z1 2 2i и z2

1 4i . Найдите

z1 z2 ,

z

z

,

z z

,

z1

. Ответы представьте в алгебраической форме.

2

2

1

1

z2

Вариант № 0

Задача 1. Найдите частные производные первого порядка

3x

x

1.1. z 2x

y3

4 y

x

;

1.3.

z (x 2y)sin(x2 y) ;

y2

2

5xy2

2x

1.2. z arccos

y

;

1.4.

z

.

x

y2

x

Решение

3x

x

1.1. z 2x

y3

4 y

x

;

y2

2

При нахождении частной производной

z

переменную y

рассмат-

x

риваем как константу

z

3x

x

2x

y3

4 y x

=

x

y

2

2

x

1

3

1

1

3

1

x

3

y

2x

3x 4 y x

2

2 y

4 y

.

y

2

y

2

2

2 x

2

При нахождении частной производной

z

переменную x рассмат-

y

риваем как константу

z

3x

x

3

y

2x

y3

4 y x

2x y

2

3x y 2 4 x y 0

y

2

2

y

2x

3

y 12

3x 2 y 4

1 3xy 12 6xy 3 4

.

x

x

2

1.2. z arccos

y

;