mu

24.Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным уравнением?

25.Каков признак линейного дифференциального уравнения?

26.Каков алгоритм решения линейного уравнения?

27.Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах?

28.Каков признак дифференциального уравнения первого порядка

вполных дифференциалах?

29.При каких условиях возможно понижение порядка дифференциального уравнения?

30.Какое дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным?

31.Какое линейное дифференциальное уравнение n-го порядка называется однородным?

32.Какое линейное дифференциальное уравнение n-го порядка называется неоднородным?

33.Какая система функций называется линейно независимой на заданном отрезке?

34.При каком условии система функций является линейно независимой на заданном отрезке?

35.Что называется фундаментальной системой решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка?

36.Что называется характеристическим уравнением, соответствующим данному линейному однородному дифференциальному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами?

37.Как получить характеристическое уравнение, соответствующее данному линейному однородному дифференциальному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами?

38.Какой вид имеет общее решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, если все корни характеристического уравнения действительны и различны?

39.Какой вид имеет общее решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, если все корни характеристического уравнения действительны, но среди них встречаются кратные?

40.Какой вид имеет общее решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, если все корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые?

41.Какую структуру имеет общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?

42.В каком случае частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом неопределённых коэффициентов?

11

Тема 3. Ряды

Понятие последовательности. Понятие числового ряда. Необходимый и достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Теорема Лейбница. Понятие степенного ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена для основных элементарных функций. Применение степенных рядов.

Рекомендуемая литература: [2, главы 1–2].

Методические указания

Следует отметить, что ряды при их изучении доставляют трудности, связанные с необычностью самого объекта изучения, которым является ряд, т.е. сумма бесконечного числа слагаемых. Простой пример позволяет наглядно изобразить такую сумму. Возьмём отрезок длины 2.

Разделим его на два равных отрезка, каждый длины 1. Не трогая левого отрезка, разделим правый на два равных отрезка, каждый длины 1/2. Правый из них разделим на два отрезка, каждый длины 1/4. Продолжим этот процесс до бесконечности.

Тогда длина исходного отрезка может быть выражена как сумма:

Приведённое рассуждение было известно ещё грекам, а философ Зенон оспаривал его законность. Зенон известен своими «парадоксами». Один из этих парадоксов утверждает, что бегущий человек никогда не сможет достичь своей цели, поскольку он должен сначала пробежать половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части и т.д. Таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно. Конечно, все мы видели бегунов, достигавших финиша. Но этот пример показывает, что сложение бесконечного множества чисел нельзя толковать как процесс, аналогичный сложению конечного их числа. Если мы попытаемся вычислить бесконечную сумму, такую как, например, ( ), последовательно выполняя все заданные в ней сложения, то это никогда не закончится. Тем не менее, интуитивно мы чувствуем, что равенство ( ) верное.

Такие противоречия долгое время не позволяли математикам создать стройную математическую теорию. Только в XIX веке ряды стали

12

предметом изучения сами по себе и в настоящее время широко используются при решении различных задач, в доказательствах теорем, получениях асимптотических оценок и т.п. Наиболее широкое практическое применение находят степенные ряды. Отметим, что применение степенных рядов в прикладных задачах ограничивается их интервалами сходимости. Однако теорема Абеля, которая используется для нахождения интервала сходимости степенного ряда, ничего не говорит о поведении исследуемого ряда на границах интервала. Поэтому требуется дополнительное исследование сходимости ряда в точках, являющихся концами интервала сходимости.

При разложении функций в степенной ряд обязательно нужно указывать интервал сходимости полученного ряда. При этом удобно пользоваться готовыми разложениями в ряд Маклорена основных элементарных функций:

Ниже сформулированы теоретические вопросы, которые помогут подготовиться к выполнению индивидуальных заданий. Приступать к решению задач можно только в том случае, если ответы на вопросы не вызвали затруднений. В противном случае необходимо снова обратиться к рекомендованной литературе.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется числовым рядом?

2.Какой ряд называется знакопостоянным?

3.Какой ряд называется знакоположительным?

4.Какой ряд называется знакопеременным?

5.Какой ряд называется знакочередующимся?

6.Что называется частичной суммой ряда?

7.В каком случае числовой ряд называется сходящимся?

8.В каком случае числовой ряд называется расходящимся?

13

9.Что такое сумма ряда?

10.Что такое остаток ряда?

11.Какими свойствами обладают сходящиеся ряды?

12.Какой ряд называется гармоническом?

13.Как формулируется необходимый признак сходимости ряда?

14. Что можно сказать о сходимости числового ряда an , если

n 1

lim an 0?

n

15. Что можно сказать о сходимости числового ряда an , если

n 1

lim an 0?

n

16. Какие достаточные признаки используются для исследования на сходимость рядов с положительными членами?

17. При каком условии сходится ряд 1 ?

n 1 n p

18. При каком условии расходится ряд 1 ?

n 1 n p

19. При каком условии сходится ряд qn ?

n 1

20. При каком условии расходится ряд qn ?

n 1

21.Какой ряд называется абсолютно сходящимся?

22.Какой ряд называется условно сходящимся?

23.Какие условия содержит теорема Лейбница?

24.Какой ряд называется функциональным?

25.Что называется точкой сходимости функционального ряда?

26.Что называется областью сходимости функционального ряда?

27.Как найти область сходимости функционального ряда?

28.Какой функциональный ряд называется степенным?

29.Какой вид имеет область сходимости степенного ряда?

30.Что называется радиусом сходимости степенного ряда?

31.Что называется точкой сходимости функционального ряда?

32.Какую область сходимости имеет степенной ряд, если его радиус сходимости равен нулю?

33.Какую область сходимости имеет степенной ряд, если его радиус сходимости равен бесконечности?

34.Что такое ряд Тейлора?

14

35.Чем ряд Тейлора отличается от ряда Маклорена?

36.Что значит разложить функцию в ряд Тейлора?

37.Какой вид имеет ряд Тейлора для функции y ex ?

38.Какой вид имеет ряд Тейлора для функции y sin x ?

39.Какой вид имеет ряд Тейлора для функции y cos x ?

40.Какой вид имеет ряд Тейлора для функции y ln(1 x) ?

41.Какой вид имеет ряд Тейлора для функции y (1 x)m ?

3.СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

3.1.Тематика практических занятий

1.Функции нескольких переменных (4 часа).

2.Дифференциальные уравнения (6 часов).

3.Числовые ряды (2 часа).

4.Степенные ряды (4 часа).

4.ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

4.1. Общие методические указания

Основной формой обучения студента заочного отделения является его самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самопроверки, выполнение домашних индивидуальных заданий (ИДЗ).

В соответствии с учебным графиком для студентов, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 100700 «Торговое дело», предусмотрено

выполнение двух индивидуальных домашних заданий. Выполнение этих заданий необходимо для закрепления теоретических знаний и приобретения практических навыков решения типовых задач. Индивидуальное задание № 1 соответствует темам 1–3 раздела 2 «Содержание теоретического раздела дисциплины». Индивидуальное задание № 2 соответствует теме 4 раздела 2.

Студент выполняет вариант индивидуального домашнего зада-

ния, номер которого совпадает с двумя последними цифрами шифра его зачётной книжки. Если две последние цифры превосходят число 20, то следует вычесть число кратное двадцати. Например, если номер зачетной книжки З-11И11/14, но студент выбирает вариант индивидуального домашнего задания под номером 14, если шифр З-11И11/26, то выбирать надо вариант под номером 6.

15

Индивидуальные задания выполняются в соответствии с графиком изучения дисциплины и высылаются на проверку преподавателю. Работы следует выполнять в течение семестра, чтобы к моменту сессии они уже были прорецензированы.

При оформлении индивидуального домашнего задания необходимо соблюдать следующие требования:

1.Обязательно должен быть титульный лист. На титульном листе указываются номер индивидуального задания, номер варианта, название дисциплины; фамилия, имя, отчество студента; номер группы, шифр зачетной книжки.

2.Все страницы работы должны иметь сквозную нумерацию.

3.Обязательно прилагается список использованной литературы. В этот список необходимо включить рабочую программу и методические указания, в соответствии с которыми выполнены задания.

4.Решения задач следует располагать в той же последовательности, что и задания. Перед решением следует записать текст условия задачи.

5.Решения всех задач должны быть подробными, со всеми промежуточными расчётами, с указанием использованных формул и т.п.

6.В случае не соответствия работы требованиям к оформлению студент получает оценку «незачтено». В этом случае работа должна быть исправлена и повторно предоставлена на проверку преподавателю.

7.Студент, не получивший положительной аттестации хотя бы по одному индивидуальному заданию, не допускается к сдаче экзамена по данной дисциплине.

Перед выполнением индивидуального домашнего занятия студент должен ознакомиться с литературой, рекомендуемой по каждой теме, включенной в теоретический раздел дисциплины.

Студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения устной или письменной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Кроме того, студентам читаются обзорные лекции по наиболее важным и трудным разделам курса, проводятся практические занятия.

Студенты, обучающиеся по классической заочной форме (КЗФ) каждое индивидуальное задание оформляют в отдельной тетради.

Студенты, обучающиеся с использованием дистанционных образовательных технологий (ДОТ) каждое индивидуальное задание оформляют в отдельном файле. Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, в обязательном порядке получают письменную рецензию на каждое индивидуальное задание. Работы студентам не возвращаются.

16

4.2. Варианты домашних заданий и методические указания

4.2.1. Индивидуальное задание № 1

2. Найдите и постройте область определения функции z 2x y 4 log3 ( y 5x 1) .

3. Найдите производную dy от функции, заданной неявно dx

xey yex e xy 0 .

4. Найдите полный дифференциал dz функции z yx y .

5. Докажите, что функция z ln(x2 y2 ) удовлетворяет уравнению y xz x yz 0.

6. Исследуйте функцию z x2 xy y2 x y на экстремум.

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции z x2 y2 в замкнутой области, ограниченной линиями x y 1 0, x 2, y 2.

8. Найдите частные производные второго порядка от данных функций

10. Изобразите множество D точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 1 z 1 2.

17

2. Найдите и постройте область определения функции z x 2 y 2 ln( yx) .

3. Найдите производную dy от функции, заданной неявно dx

xy ln y y2 0.

4. Найдите полный дифференциал dz функции z x cos( yx) .

y

5. Докажите, что функция z xy xe x удовлетворяет уравнению

y 0, x y 1 0, x 3.

8. Найдите частные производные второго порядка от данных функций:

z1 z2 , z1 z2 , z1 . Ответы представьте в алгебраической форме. z2

10. Изобразите множество D точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z 2 2i 3.

18

2. Найдите и постройте область определения функции z 2 x y ln( y x2 1) .

3. Найдите производную dy от функции, заданной неявно dx

y e x y cos( yx) ln x 0 .

8. Найдите частные производные второго порядка от данных функций

z1 z2 , z1 z2 , z1 . Ответы представьте в алгебраической форме. z2

10. Изобразите множество D точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 1 Re(z 1) 2.

19

Вариант № 4

1. Найдите частные производные первого порядка

2. Найдите и постройте область определения функции z 2x 3y 6 log5 ( y x2 3) .

3. Найдите производную dy от функции, заданной неявно dx

x y y x xexy 0 .

8. Найдите частные производные второго порядка от данных функций

10. Постройте множество точек D комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 1 Re(z 2) 2.

20