Тема 9. Производная и дифференциал

При освоении техники дифференцирования необходимо заучить таблицу производных основных элементарных функций и научиться пользоваться основными правилами дифференцирования. При этом особое внимание следует уделить дифференцированию сложных функций.

Пример.1

.

Данную функцию можно представить в виде цепочки двух простых функций: ; .Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем: .

Но , а потому .

Пример 2.

.

Очевидно, что и тогда ,так как , то .

В двух рассмотренных примерах каждая из сложных функций содержала лишь один промежуточный аргумент u и поэтому разлагалась на цепочку из двух простых функций. В более сложных случаях промежуточных аргументов может оказаться больше одного.

Исследование функций

В дополнение к примерам, разобранным в тексте учебника, рассмотрим еще следующий пример.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения данной функции - вся числовая ось, кроме точки

2. Функция не является ни четной, ни нечетной. Действительно, f(-x)= и -f(x).

3. Прямая есть вертикальная асимптота, так как точка есть точка разрыва второго рода.

4.Найдем угловой коэффициент наклонной асимптоты, предполагая, что такая существует: ; .

Находим свободный член b для уравнения асимптоты:

.

Итак, уравнение асимптоты: .

5. Находим критические точки, т.е. точки, в которых первая производная обращается в нуль: .

Производная обращается в нуль, если , и .

Подвергая испытанию каждую из этих двух точек, можно узнать, меняется ли знак производной при прохождении аргумента через точки 0 и 3:

а) y0 при x0 ( функция убывает), y0 при x0  ( функция y возрастает), следовательно, в точке x=0 функция y достигает минимума, причем;

б) при x3 y0 (возрастает); x3 y0 (убывает).

Таким образом, в точке x=3 функция достигает максимума, равного .

6. Для уточнения графика функции найдем точки перегиба и установим направление вогнутости ( выпуклости) кривой в различных интервалах, для чего обращаемся ко второй производной). Положительный множитель 2, входящий в первую производную, может быть отброшен, поскольку он не влияет на знак второй производной. Имеем

Если , то y0 и кривая обращена вогнутостью вверх.

При знаменатель ( 3- 2х)³ 0 и .

Следовательно, справа от точки разрыва кривая обращена вогнутостью вниз. Точек перегиба нет, y ни при каком значении из области определения не обращается в нуль. Принимая во внимание выводы всех предыдущих пунктов, строим график функции

Тема 10. Приближенное решение уравнений

Пример. Графически или аналитически отделить корень уравнения и найти этот корень с точностью 0,001 по формуле

Решение. Рассмотрим функцию . Методом «проб» устанавливаем, что , а . Значит, на отрезке 0,2 есть корень данного уравнения. При этом ,а для всех , т.е. сохраняют знак на 0,2. Значит, можно применить метод Ньютона. Обозначим начальное приближение через x₀. Если промежуток, в котором изолирован корень функцииf(x), то за начальное приближение принимают x=a и x₀=b, смотря по тому, в какой из этих точек знак произведения положительно. В данном случае f(2)f”(2)>0, следовательно x₀=2.

Вычисление напишем в виде таблицы

Таблица 9

№/п
0	2	3,3890	6,3890	0,5304	1,4696
1	1,4696	0,8789	3,3485	0,2625	1,2071
2	1,2071	0,1374	2,3445	0,0586	1,1485
3	1,1485	0,0048	2,1533	0,0022	1,1463
4	1,1463	0,0005	2,1468	0,0002	1,1461

Приближенное значение корня найдено с необходимой точностью, и оно равно 1,146.