- •Математика
- •Утверждено редакционно-издательским советом ВоГту Составитель: Абильдин а.А., канд.Техн.Наук, доцент
- •Введение
- •Тема 1. Векторы. Линейные операции над векторами.
- •§1.1. Действия над векторами.
- •3.Скалярное произведение
- •1.3.Линейная зависимость и независимость векторов
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •1.Транспонирование матриц
- •2. Сложение
- •3.Умножение матрицы на скаляр
- •4.Умножение матриц
- •§2.2. Обратная матрица
- •Тема 3. Решение систем линейных уравнений
- •Тема 4. Произведение преобразований
- •Тема 5. Собственные векторы линейных преобразований
- •Тема 6. Комплексные числа
- •Контрольная работа № 1
- •Тема 8. Предел и непрерывность функций
- •Тема 9. Производная и дифференциал
- •Исследование функций
- •Тема 10. Приближенное решение уравнений
- •Контрольная работа №2
- •Литература
Тема 4. Произведение преобразований
Пусть даны линейные преобразования f и g соответственно с матрицами А и В в некотором базисе. Тогда произведение этих преобразований имеет матрицу ВА в том же базисе. Отметим, что в общем случае АВ ВА.
Например, преобразование g с матрицей переводит точку М(х, у) в точку М(х, у) по формулам
. (2)
Преобразование А с матрицей переводит точку М(х, у) в точку М(Х2, У2) по формулам
, . (3)
Чтобы получить формулы результирующего преобразования точки М в точку М, надо подставить в (3) выражения (2). Получим
,
.
Стало быть, матрица произведения преобразований есть
.
Тема 5. Собственные векторы линейных преобразований
Пусть - линейное преобразование, - вектор, отличный от нуля. Определение. Ненулевой вектор, удовлетворяющий равенству
= ,
где -некоторое действительное число, называется собственным вектором преобразования, число- собственным значением этого преобразования.
Если А - матрица линейного преобразования, Х - матрица-столбец из координат вектора , то равенство (1) можно записать в матричном виде
АХ = Х.
Перенося члены в одну сторону получим
AX-X=0 или (A-
Уравнение для собственных значений называется характеристическим
уравнением .
Пример
Пусть преобразование имеет матрицу
.
Найти собственные векторы матрицы.
Решение. Сначала найдем собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение имеет вид
,
или . Корнями этого уравнения являются 1 = -1, =3. Обозначаем через координаты собственного вектора.
Тогда уравнение при = 1 = -1 имеет вид
,
или в раскрытом виде . Полагая =, найдем отсюда = -3. Следовательно, собственные векторы, отвечающие корню 1, имеют вид , где - любое число, отличное от нуля.
Тема 6. Комплексные числа
Комплексными называются числа вида z=x+iy, где x и y-действительные числа, а i2 =-1. Число x называется действительной частью комплексного числа z, а число y – коэффициент при i – мнимой частью. Число =x-iy называется сопряженным к числу z=x+iy. У сопряженных чисел равны действительные части, а мнимые отличаются только знаком. Числу z можно сопоставить вектор, направленный из начала O в точку z. Модуль комплексного числаz вычисляется по формуле
.
Угол образованный радиусом-векторомOz (рис.1) с положительным направлением действительной оси Оx, называется аргументом числа z и обозначается Argz.
Любое комплексное число z можно представить в алгебраической форме z = x + iy и в тригонометрической форме z= r (cos +isin). Здесь , =Аrgz -, причем различные значения аргумента отличаются на 2k, гдек - целое число. Под главным значением аргумента понимается значение , удовлетворяющее условию - . Таким образом Аrgz = аrgz+2к.
Комплексные числа z еще можно представить в показательной форме z =rеi, где r и - то, что и в тригонометрической форме.
y
z
r
o x
Рис.2
Пример
Найти корни уравнения .
Решение. Находим модуль и аргумент числа
.
Тогда корни данного уравнения определяем по формулам
, к = 0,1,2, т.е. уравнение имеет три корня:
, при к=0;
, при к=1;
, при к=2
или