§2.2. Обратная матрица

Пусть А - квадратная матрица. Матрица B называется обратной для матрицы А, если произведение этих матриц равно единичной матрице, т.е. АB = BA=E.

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то эта матрица имеет обратную и притом единственную.

Правило. Для вычисления обратной матрицы необходимо осуществить следующие операции:

1. Вычислить определитель исходной матрицы; если он не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Вычислить алгебраические дополнения элементов исходной матрицы: А_11, А_12,..., А_n1,... А_{nn .}

3. Составить из алгебраических дополнений матрицу

4. Транспонируя полученную матрицу, получить присоединенную .

5. Разделив присоединенную матрицу на определитель, получить обратную матрицу ,

6. Сделать проверку ∙=E

Пример. Вычислить обратную матрицу для .

Проводим расчеты по пунктам, описанным выше:

1.

2.

, , ,

, , ,

, , .

3.

.

4.

.

5.

=-

.

Тема 3. Решение систем линейных уравнений

3.1. Метод обратной матрицы

Пример. Решить систему уравнений: .

1. Запишем систему в матричном виде: вместо имеем , где ; ; , то

2. Найдем обратную матрицу:

.

3. Вычисляем искомый вектор:

,

где

,

.

Сделаем проверку, подставив полученный результат в данную систему:

.

.

3.2. Метод Гаусса

Рассмотрим систему m уравнений,связывающих n неизвестных

(1)

Здесь a_ij (1≤i≤m , 1≤j≤m) коэффициенты; b_j – cвободные члены. Если все коэффициенты и свободный член какого- то уравнения равны нулю , то вычеркиваем его из системы. Если коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а b≠0 , то система решений не имеет .

Условимся,что первым в системе (1) стоит уравнение, в котором коэффициент при первом неизвестном отличен от нуля (например а₁₁≠0). Запишем систему (1) в виде матрицы опустив неизвестные и отделяя свободные члены вертикальной чертой

(2)

Делим все элементы первой строки на

(3)

Затем из каждой 2-й,3-й,...,m-й строки матрицы (3) вычитаем почленно первую строку умноженной соответственно на a_21,a₃₁,..,a_m1 ; при этом результат вычитания получится в виде

(4)

где =-,...,=b₂ – .

Повторяя указанную операцию необходимое число раз,получим матрицу вида

(5)

Полученной матрице соответствует система уравнений

(6)

Пользуясь тем,что система имеет треугольный вид,ее можно решать последовательно, начиная с последнего уравнения.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

(7)

Матрица этой системы имеет вид

(8)

Первую строку матрицы (8) умноженную на 2 и на 3 вычитаем из второй и третьей, соответственно

((9)

Далее, к третьей строке матрицы (9) прибавив вторую, получим матрицу

соответствующей системе

Значит, решением системы (7) будет

, .