2. 2. Типовые функции полезности дохода. Представление Неймана - Моргенштерна.

Когда говорят, что человек подвергается риску, то это означает, что он может понести потери, которые представляют собой случайную величину X.

Функционал u(r) обычно рассматривают как полезность денег, он вводится как оператор, устанавливающий упорядочение через множество всех возможных функций распределений вероятности. Например, 10% прибыл от вложения 2 млн. у. е. лучше, чем от вложения 1 млн. у. е. при том же проценте прибыли.

Пусть М – множество всех распределений, определенных на (Q, B(Q)), где Q – некоторый интервал.

Если человек покрывает часть или весь риск страхованием, то он платит некоторую премию d, чтобы изменить вероятность распределения, которую представляет риск. Если он не желает покупать страхование, то он понимает, что сделка приводит его в ситуацию риска, которую он предпочитает разрешить сам. Это замечание подразумевает, что для принятия рациональных реше­ний о страховании человек должен иметь представление о пред­почтении, упорядочивающемся через комплект достижимых ве­роятностей распределений, т.е. знать, чего он хочет. Это означает, что для любых двух распределений – F₁ и F₂ он может решить, бу­дет ли одно предпочтительнее другого или оба эквивалентны. Считаем, что F₁ F₂, когда F₁ предпочтительнее F₂, и F₁ F₂, когда они эквивалентны.

Считается, что отношение предпочтения в М задано, если выполняются следующие условия (аксиомы):

1) полнота. Для любых F₁, F₂  М выполняется одно из соотношений: F₁ F₂, или F₂ F₁, или F₁ F₂.

2) транзитивность. Для любых F₁, F₂, F₃  М выполняется: если F₁ F₂ и F₂ F₃, то F₁ F₃.

Говорят, что отношение предпочтения выражается численно, если существует такая функция U(F): M → R, удовлетворяющая условию U(F₁) ≥ U(F₂)  F₁ F₂. Если F₁ F₂, то U(F₁) = U(F₂).

U(F) = . (2. 2. 1.)

(2. 2. 1.) – представление Неймана – Моргенштерна.

Обозначим Е = ,D = (x – E)²dF(x).

Считаем, что М выпукло и содержит атомарные меры.

Рассмотрим меру Дирака , гдеB  B.

Будем говорить, что отношение предпочтения , определенное на М, является строго монотонным, еслиx > y, то δ_x δ_y.

Будем говорить, что отношение предпочтения выражает неприятие риску, если для всехF  М таких, что D ≠ 0, выполняется, что δ_Е F.

Теорема. Пусть отношение предпочтения на М имеет представление Неймана – Моргенштерна, т. е.(2. 2. 1.).

Тогда

1. Отношение предпочтения строго монотонно тогда и только тогда, когдаu(r) строго возрастает.

2. Отношение предпочтения выражает неприятие риску тогда и только тогда, когдаu(r) строго вогнута.

Доказательство.

Докажем (1). Пусть x > y. Согласно (2. 2. 1.): u(x) = U(δ_x), u(y) = U(δ_y). Т. к. отношение предпочтения строго монотонно, то по определению

δ_x δ_y  U(δ_x) > U(δ_y)  u(x) > u(y).

Докажем (2). Необходимость. Для всех F  М выполняется, что δ_Е F.

Выберем произвольные х ≠ у, (0; 1), тогда (х + (1-)у)Q. По заданию М, имеем δ_x, δ_y, λδ_x + (1-λ)δ_y принадлежат М.

Пусть F = λδ_x +(1-λ)δ_y. Тогда Е = λx + (1-λ)y.

D = - (E)² = λx² + (1-λ)y² – (λx + (1-λ)y)² =

= λx² + (1-λ)y² – λ²x² - 2λ(1- λ)xy + (1-λ)²y² =

=λ(1- λ)x² + (1- λ)(1-(1- λ))y² -2λ(1- λ)xy = λ(1- λ)(x² – 2xy + y²) =

= λ(1- λ)(x – y)² >0, т. к. х ≠ у, (0; 1).

δ_Е F выполнено или δ_Е = δ_{λx + (1-λ)y} > λδ_x +(1-λ)δ_y. Отсюда

U(δ_{λx + (1-λ)y}) > U(λδ_x +(1-λ)δ_y).

Согласно (2. 2. 1.): u(λx + (1-λ)y) > λ u(x) + (1-λ) u(y), т. е. u(r) строго вогнута.

Достаточность. u(r) строго вогнута. Выберем F  М: D ≠ 0.

δ_Е F  U(δ_Е) > U(F)  u(E) > - неравенство обратное к неравенству Йенсена.

Теорема доказана.

Введем в рассмотрение величину

α(r) = - коэффициент абсолютного неприятия риска. (2. 2. 2.)

Вид α(r) определяет различные классы функций полезности:

I. Экспоненциальная функция полезности.

α(r) ≡ α > 0

Тогда уравнение (2. 2. 2.) принимает вид

= - α- дифференциальное уравнение второго порядка.

= - α

= - αr + lnc₁

= c_1·exp(- αr)

u(r) = c₂ - c_1·exp(- αr)/α

II. Квадратичная функция полезности.

u(r) = ar +br², где a > 0, b < 0. (2. 2. 3.)

Из графика квадратичной зависимости (2. 2. 3.) понятно, что как кривая полезности он имеет смысл только на ограниченном интервале (0, ), где предельная полезность > 0 ( рис. 2).

Рис. 2. Квадратичная функция полезности.

III. Логарифмическая и степенная функции полезности.

α(r) = , где 0 ≤ γ <1,r > 0.

=

= (γ – 1)ln|r| + lnc₁

= c₁

При γ = 0, u(r) = c₂ + c₁ln|r|.

При 0 < γ <1, u(r) = c₂ + c₁r^γ/γ. (2. 2. 4.)

Впервые такая полезность была рассмотрена Д. Бернулли в связи с так называемым Петербургским парадоксом в его статье, представленной в 1738г. Императорской академии наук в Пе­тербурге. Его рассуждения основывались на гипотезе о том, что полезность бесконечно малого выигрыша dx пропорциональна этому выигрышу и обратно пропорциональна денежной сумме, которой игрок обладает:

du = u( x + dx) – u(x) = . (2. 2. 5.)

Следовательно, при выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать, что К = 1 и прирост полезности от обладания суммой х₂ по сравнению с x₁ таким образом равен:

Превышение полезности Δ₁₂ от выигрыша конечной суммы η по сравнению с потерей той же суммы есть разность Δ₁ – Δ₂ (см. рис. 3).

Рис. 3. Логарифмическая функция полезности ( х > 0).

Здесь ,. Вычитая, имеем:

.

Таким образом, избыточность Δ₁₂ < 0, т. е. при одинаковых выигрышах и потерях последние более ощутимы, чем первые.

Основные результаты.

Предполагается, что решения, принимаемые людьми в тех, или иных ситуациях, определяются полностью, или хотя бы частично, предпочтениями, задаваемыми на множестве вероятностных распределений величин возможного ущерба.

Также предполагается, что «полезность» или «удовлетворение, испытываемое индивидуумом (или группой индивидуумов)» от детерминированного дохода r возрастает не пропорционально r, но его можно измерить некоторой, вообще говоря, нелинейной функцией и(r).

клиентам, несклонным к риску, соответствует строго возрастающая, строго вогнутая функция полезности.