1. 3. Принципы назначения страховых премий.

Сумма d, за которую человек или организация покупает себе страховку, называется премией. Вопрос о том, какую плату страховая компания должна назначать за то, примет на себя тот или иной риск, крайне сложен. При его решении учитывается большое число разнородных факторов: вероятность предъявления иска, его ожидаемая величина и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела, соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынке страховых услуг и т. д. Однако основным обычно является принцип эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и застрахованного. Считаем, что плата за страховку полностью вносится в момент заключения договора, обязательства застрахованного выражаются в уплате суммыd. Обязательства компании заключаются в оплате искаХ. Однако мы не можем выразить принцип эквивалентности обязательств равенствомd=X, посколькуd – детерминированная величина, аХ – случайная.

Поэтому заменим случайную величину Хее средним значениемЕ[X], т.е. назначим в качестве платы за страховку ожидаемую величину иска.

Посчитаем теперь вероятность разорения (в рамках модели индивидуального риска).

Пусть, как мы определили ранее, N – число договоров в портфеле компании, случайные величиныХ₁, …, Х_N выражают иски от этих договоров,S=Х₁+ …+ Х_N– величина суммарного иска. Резервный фонд компании:

W = E[X_i] = E = ES.

Поэтому вероятность разорения есть

R = P(S > ES).

Применяя нормальное приближение, мы получим:

R = P(S – ES > 0) = P  1 – Ф(0) =1/2.

Конечно, это совершенно неприемлемая величина вероятности разорения. Это и не удивительно, т.к. равенство d=Е[X] на самом деле не выражает эквивалентности обязательств компании и клиента. Хотя в среднем и копания, и застрахованный платят одну и туже сумму, компания имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей, может быть, придется выплатить гораздо большую сумму, чемЕ[X]. Застрахованный же такого риска не имеет. Поэтому было бы справедливо, чтобы плата за страховку включала некоторую надбавкуl, которая служила бы эквивалентом случайности, влияющей на компанию. Итак, назначим в качестве платы заi-ю страховку суммуd_i = E[X_i] +l_i, гдеl_i– некоторая добавочная сумма. Теперь резервы компании есть

W = (E[X_i] + l_i) = ES + l,

где

l =.

Соответственно, вероятность разорения компании равна

R = P(S > W) = P(S > ES + l).

Применяя нормальное приближение, мы получим:

R = P1 -Ф.

Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была  ( - некоторое число, близкое к 1), тоl/должно равняться квантилюх_, т.е.

l = х_(1. 3. 1.)

Поскольку D[S] описывает величину случайных флуктуаций суммарного иска вокруг его среднего значения, добавочная сумма действительно в некотором смысле является компенсацией страховой компании за то, что она взяла на себя опасности, связанные с непредсказуемостью исков.

Уравнение (1. 3. 1.) дает величину общей добавочной суммы l. Рассмотрим принципы назначения страховой премий:

1 метод. Поделить страховую надбавку пропорционально ожидаемому иску Е[X_i], т.е. полагаем

l_i = kE[X_i] (1. 3. 2.)

Поскольку l_i = l и E[X_i] = E[S], коэффициент пропорциональности k дается формулой

k = x_(1. 3. 3.)

Соответственно для премии имеем:

d_i = E[X_i] (1. 3. 4.)

Основной вклад в величину d_i обычно дает Е[X_i]. Эту сумму называют нетто-премией. Добавочную сумму l_i =kE[X_i] называют страховой (или защитной) надбавкой, а _i = l_i/E[X_i] – относительной страховой надбавкой. В рассматриваемом случае (1. 3. 2.) относительная страховая надбавка одна и та же для всех договоров.

Однако назначение индивидуальных премий по правилу (1. 3. 4.) не справедливо по отношению к договорам с малыми дисперсиями D[X_i] (если нетто-премияE[X_i] велика). Эти договора оплачивают случайности, связанные с другими договорами. Имея ввиду то, что страховая надбавкаlсвязанна именно с суммарной дисперсиейD[S] =D[X_i], было бы справедливо использовать следующие методы.

2 метод.Делитьl на частиl_i, пропорционально дисперсиямD[X_i], т.е. требовать, чтобы

l_i = k D[X_i] (1. 3. 5.)

Суммируя по i = 1, …,N и принимая во внимание (1. 3. 1.), мы получим:

k = (1. 3. 6.)

Для индивидуальных премий мы получим:

d_i = E[X_i] + D[X_i] (1. 3. 7.)

Относительные страховые надбавки равны

_i =  (1. 3. 8.)

3 метод.Делитьl на частиl_i, пропорционально средним квадратическим отклонениям, т.е. требовать, чтобы

l_i = k(1. 3. 9.)

Суммируя по i = 1, …,N и принимая во внимание (1. 3. 1.), мы получим:

k = (1. 3. 10.)

Для индивидуальных премий мы получим:

d_i = E[X_i] + (1. 3. 11.)

Относительные страховые надбавки равны

_i = (1. 3. 12.)

Напомним, что величина D[X]/E[X] – 1 называются коэффициентом рассеивания случайной величиныХ, а величина/E[X] – коэффициентом вариации. Используя формулу (1. 3. 8.), можно сказать, что правило (1. 3. 5.) относительные страховые надбавки в соответствии с величиной коэффициента рассеивания (в отличии от правила (1. 3. 2.), которое назначает относительные страховые надбавки одними и теми же для всех договоров). Соответственно, формула (1. 3. 12) говорит, что правило (1. 3. 9.) назначает относительные страховые надбавки пропорционально коэффициентам вариации. Поэтому различие между правилами (1. 3. 5.) и (1. 3. 9.) связано с тем, что считать количественной мерой «случайности» - коэффициент рассеивания или коэффициент вариации. Вопрос о том, какое из этих правил является более справедливым (конечно, с точки зрения застрахованных; компания в любом случае получит одну и ту же требуемую суммуl = х_), в актуарной математике однозначно не решен. Конечно, если все договора статистически однородны, то правила (1. 3. 2.), (1. 3. 5.) и (1. 3. 9.) дают один и тот же результат:

l = х_

Отметим, кроме того, что переход от простейшего правила (1. 3. 2.) к правилу (1. 3. 5.) приводит к уменьшению страховой надбавки для i– го договора, если

< ,

т.е. если коэффициент рассеивания иска, связанного с этим договором, меньше, чем коэффициент рассеивания суммарного иска.

Переход от простейшего правила (1. 3. 2.) к правилу (1. 3. 9.) приводит к уменьшению страховой надбавки для i– го договора, если

< ,

т.е. если коэффициент вариации величины индивидуального иска от i– го договора меньше, чем средний коэффициент вариации, усредненный по всему портфелю с весамиE[X_i]/E[S].

Основные результаты.

В данной главе рассматривается вопрос вычисления распределения суммарного иска, т. е. суммы всех выплат (убытков) страховщика по итогам страховой деятельности по всему страховому портфелю. Это распределение может быть посчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей. Прежде всего, это использование сверток. Однако, вычисление упрощается, если использовать производящие функции (для дискретных величин) или преобразования Лапласа (для произвольных неотрицательных величин).

Одновременно, в главе обосновываются формулы для вычисления страховых премий, обеспечивающих заданную вероятность неразорения страховой компании - . Эти результаты представлены в следующей таблице:

	Делить страховую надбавку пропорционально E[Xi]	Делить страховую надбавку пропорционально D[Xi]	Делить страховую надбавку пропорционально
Страховая премия di	E[Xi]	E[Xi] + D[Xi]	E[Xi] +
Страховая надбавка li	E[Xi]	D[Xi]
Относительная страховая надбавка			

где Х_i– выплаты поi– му договору,S=Х₁+ …+ Х_N– величина суммарного иска.