1. 2. Приближенные методы расчета вероятности разорения.

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. Возникают трудности точных расчетов, поэтому применяют приближенные методы. Основным является нормальное (или гауссовское) приближение.

Нормальное приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей (см., например, [9]). Простейшая формулировка этой теоремы:

если случайные величины Х₁, …, Х_N независимы и одинаково распределены со средним a и дисперсией ², то при N   функция распределения центрированной и нормированной суммы

имеет предел, равный

Ф(x) = .

Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на случаи, когда слагаемые X_i имеют разные распределения, являются зависимыми и т. д.(см, например, [9]). Мы ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобыNимело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо нормальное приближение для

Р.

Выполним следующие преобразования

R(W)=P(S_N>W)=P= 1-P1-Ф.

Зафиксируем уровень безопасности  - вероятность неразорения страховой компании. Тогда

Ф= (1. 2.1.)

= x_

W = E[S_N] + x_ (1. 2. 2.)

(1. 2. 2.) - капитал страховой компании, обеспечивающий вероятность неразорения порядка .

Пример 1.Предположим, что в компании застрахованоN= 3000 человек с вероятностью смерти в течение годаq= 0.3%. Компания выплачивает суммуb= 250000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года.

Определите величину капитала, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.

Решение.Примем величину страхового пособия в качестве единицы измерения денежных сумм.

Подсчитаем среднее значение и дисперсию суммарного иска. Имеем:

Е[S_N] = NE[X] = 30000.3% = 9

D[S_N] = ND[X] = 300099.7%0.3%  9

Поэтому

Р(S_NW)Ф

Так как х_95% = 1.645, тоW= 31.645 + 913.935 (от величины страхового пособия) или в абсолютных цифрах около 3483750 руб.

В модели коллективного риска также ожидаемое число исков от всего портфеля договоров E[] достаточно велико. Для составного пуассоновского это означает, что параметр достаточно большой. Для составного отрицательного биномиального распределения это имеет место, если параметр большой или параметрpочень мал. В этом случае точный расчет вероятности разорения может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако это обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета.

Предположим, что в модели коллективного риска (1. 1. 6) распределение F(x) величины предъявляемого иска фиксировано и имеет конечные среднееm и дисперсию², а производящая функция распределения числа исков представима в виде

(z) = (g(z))^, (1. 2. 3.)

где g(z) – производящая функция некоторого фиксированного распределенияg_nсо среднимa и дисперсиейb², а параметр  . Введем случайную величинуµ, имеющую распределениеg_n.

Поскольку

,

,

для среднего и дисперсии числа исков имеем:

E[] =(1) =E[µ] = a,

D[] =(1) + (1) – ((1))² = b²

Кроме того,

E[S_] =ma

D[S_] =(b²m² + a²)

Основной результат заключается в том, что в описанной выше ситуации распределение центрированного и нормированного суммарного иска

сходится к стандартному нормальному распределению:

= Ф(х) =(1. 2. 4.)

Доказательство этого факта базируется на теореме непрерывности для характеристических функций, которая формулируется следующим образом:

если последовательность характеристических функций h_n(t)некоторых распределений F_n(x)сходится к характеристической функции h(t)распределения F(x), то

во всех точках непрерывности F(x).

Прежде всего отметим, что

Обозначая и используя формулы (1. 1. 7.) и (1. 2. 3.), получаем:

. (1. 2. 5.)

При переменнаяu 0, поэтому функциюh(u) =g((u)) можно разложить в ряд Тейлора:

(1. 2. 6.)

Поскольку функция h(u) имеет вид (1. 1. 7.), ее можно рассматривать как преобразование Лапласа суммарного искаY₁ + … + Y_µв модели коллективного риска с числом исковµ. Поэтомуh(0)=1 и в силу формул (1.1. 8), (1. 1. 9), имеем

Теперь формула (1. 2. 6.) примет вид:

h(u) = 1 –z,

где z = amu – ()u²/2 +o(u²).

Используя известное разложение в ряд Тейлора для логарифмической функции:

ln(1 –z) = -z – z²/2 +o(z²),

можем переписать (1. 2. 5.) в виде:

Вспоминая определение переменной u, получим:

,

что означает справедливость желаемого результата

,

так как для стандартного нормального распределения характеристическая функция равна .

Этот результат позволяет описать случаи, когда возможно применение нормального приближения (1. 2. 4.) для наиболее важных специальных моделей коллективного риска - составного пуассоновского распределения и составного отрицательного биномиального распределения:

А. Поскольку производящая функция распределения Пуассона представима в виде (1. 2. 3.) как

(z) = (g(z))^,

где g(z) =e ^{(z - 1)}- производящая функция распределения Пуассона с фиксированным параметром 1, при  мы можем применить нормальное приближение (1. 2. 4.) для составного распределения Пуассона.

Б. Поскольку производящая функция составного отрицательного биномиального распределения представима в виде (1. 2. 3.) как

(z) = (g(z))^,

где g(z) = (1 –q)/(1 –qz) – производящая функция геометрического распределения с фиксированным параметромq, при  можно применять нормальное приближение для составного отрицательного биномиального распределения.

Заметим, что в рассматриваемом приближении вероятность разорения компании зависит только от среднего значения и дисперсии индивидуальных исков; природа этого распределения роли не играет. Этот результат к виду распределения величины индивидуального иска очень важен с прикладной точки зрения, т.к. часто доступна лишь простейшая информация об этой случайной переменной в виде оценки ее среднего и дисперсии.

Подчеркнем, что в случае пуассоновского распределения условие равносильно тому, чтоE[] , а в случае отрицательного биномиального распределения условие применимости нормального приближения более жесткое. В последнем случаеE[] не только при  , но и приp  0. Однако приp  0 нормальное приближение не применимо. В случаеp  0 возникает другой класс предельных распределений – гамма распределение.

Аппроксимация распределения величины суммарного иска гамма распределением гораздо менее удобна для практических целей, чем нормальное приближение. Однако она обеспечивает большую точность.

Используя аппарат преобразований Лапласа (поскольку рассматриваемые величины неотрицательны, то, пользуясь теоремой непрерывности, можно работать с преобразованиями Лапласа, а не с характеристическими функциями) можно показать, что случайная величина приp  0 стремиться к гамма распределению с параметрами 0.5 и.

Или коротко .

Пример 2. Рассмотрим страховую компанию, занимающуюся страхованием автомобилей. Предположим, что годовое число аварий среди застрахованных автомобилей описывается отрицательным биномиальным распределением со средним значением 50 и средним квадратическим отклонением 20. Средняя стоимость ремонта поврежденного автомобиля равна 500 руб.

Оцените величину резервного фонда компании, достаточного, обеспечить 95% вероятность выполнения своих обязательств.

Решение.

Поскольку параметр pблизок к нулю, будем использовать гамма приближение.

R(W)=P(S_N > W)= 1-P= 1-P

Используя таблицы χ²– распределения, имеем,

х(14) = 23.685

х(15) = 24.996

Для m = 14.286 линейная интерполяция дает:

= (15 – m)x(14) + (m – 14)x(15) = 24.0596,

т. е.

W = 42104 (руб.)