2. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменным коэффициентом, соответствующее общему виду (8.1)

.

Точное решение этого уравнения известно и имеет вид

,

(8.8)

где x(0) =x₀,. Еслиx₀=const,a(t) – детерминированная функция времени, а случайный процесс(t) – белый шум с нулевым средним (), точное решение (8.7) легко усреднить:

.

(8.9)

В частном случае при a(t) =a₀получаем

.

Такого рода уравнение описывает, например, процессы в RL-контуре, подключенном к источнику случайной ЭДСu(t). При этомx(t) =i(t) – ток в контуре,a₀=R/L, а(t) =u(t)/L.

Аналогично вычисляется дисперсия процесса x(t) (с учетом выражения (8.9))

Мы получили выражение вида (8.5), где

.

Это означает, что x(t) – процесс с независимыми приращениями, распределенный по закону (8.4) и мы можем записать

.

(8.10)

Это распределение описывает марковский процесс, следовательно, для него применимо уравнение ФПК (7.21). Следует понимать, что если функция a(t), входящая в исходное уравнение, или начальное условиеx(0) =x₀– не детерминированные величины, процесс уже не будет марковским даже при-коррелированном воздействии и уравнение ФПК к нему неприменимо.

Рис. 8.1. Транзисторный генератор с трансформаторной связью

В качестве примера рассмотрим транзисторный LC-генератор с трансформаторной связью и мягким возбуждением (генератор Майсснера), схема которого показана на рис. 8.1. Уравнение баланса дляRLC-контура имеет вид

или

.

К этому уравнению необходимо добавить передаточную характеристику транзистора i_к(i_б), причем с учетом ее нелинейности, поскольку в линейной системе генерация невозможна. Учитывая и шумовой ток коллектора, запишем

.

Кроме того, связь тока базы транзистора с током через первичную обмотку трансформатора определяется выражением

.

Окончательно получаем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

.

Вводя обозначения

,

перепишем уравнение в окончательном и более простом виде

.

(8.11)

Будем решать это уравнение методом ММА и гармонического баланса, считая ток в колебательном контуре узкополосным процессом вида

.

Будем также считать, что шумовая составляющая коллекторного тока имеет вид

.

Найдем входящие в уравнение (8.11) производные и степени тока i(t):

В последнем соотношении учена высокая добротность колебательного контура. Подставляя полученные выражения в уравнение (8.11), получим

Выделяя синусоидальные и косинусоидальные составляющие, получим систему уравнений

В стационарном режиме при dI/dt= 0, как и следовало ожидать,=₀. Вообще говоря, нужно выразитьиз первого уравнения системы, что дает

,

однако полагая =₀как в стационарном случае, мы делаем ошибку второго порядка малости, поскольку работаем в рамках метода ММА и предположили, что |I(t)|>> |dI/dt|. Итак, подставляя=₀во второе уравнение системы, получим

.

(8.12)

Общее решение этого уравнения найдем, положив его правую часть равной нулю, домножив на I(t) и сделав ряд преобразований:

Таким образом

.

(8.13)

В стационарном режиме, учитывая, что производная тока при tстановится равной нулю, из уравнения (8.12) получаем

.

Если ввести обозначение I(0) =I₀, можно определить константуCв решении (8.13):

и переписать (8.13) в виде

.

Отсюда следует выражение для тока I(t)

и для мощности колебаний

.

(8.14)

Перейдем к решению неоднородного уравнения (8.12). Оно может быть найдено, например, методом вариации постоянных врешении однородного уравнения (8.13). Мы найдем это решение для установившегося режима, когда можно считать dI/dt= 0. Тогда уравнение (8.12) примет вид

.

Это уравнение соответствует воздействию узкополосного случайного процесса на нелинейную систему, поскольку мы представляли шумовой ток в виде . Такие задачи мы подробно рассматривали в п. 6.