000000315551

энергии — электромоторы, лампы, электропечи и т.д. — работают при низком напряжении, обычно в несколько сотен вольт, то на местных подстанциях вблизи потребителей принимаемое высокое напряжение понижается трансформаторами в соответствующее число раз.

Сформулируем теперь конкретно задачу расчета выходного напряжения генератора (электростанции). В нулевом приближении можно считать, что энергетические процессы в линии передачи переменного тока описываются выражениями (1-4), полученными для линии постоянного тока. Пусть имеется генератор с проектной мощностью Рг и линия передачи сопротивлением Rл, т.е. величины Rл и Pг заданы. Требуется определить выходное напряжение генератора, при котором относительная потеря мощности (напряжения) при передаче ее потребителю не превышала бы заданной величины (обычно до 10%).

Решение. По определению:

Pл= Pг

Но, с другой стороны, по закону Джоуля-Ленца:

Из этого выражения видно, что при заданных мощности генератора и сопротивлении линии потери в линии обратно пропорциональны квадрату напряжения генератора:

~ 12 ,

Uг

т.е., повысив напряжение, например, в 10 раз, мы получим уменьшение потерь в 100 раз.

Если энергия передается потребителю не непосредственно от электростанции, а от некоторого промежуточного распределителя, например, от районной подстанции в дальнее село, то расчет выходного напряжения подстанции Uг ведется не по мощности генератора Рг, а по мощности Рн, которую надо доставить потребителю при заданных потерях , так как отдельный потребитель берет через подстанцию лишь часть мощности генератора. В этом случае задача решается так. В формулу (5) вместо Рг подставляется величина Рн/(1 ), поскольку:

Рн=(1 )Рг.

Отсюда видно, что потери , если они невелики, также примерно обратно пропорциональны квадрату напряжения Uг. Соотношение (6) можно использовать и для проектирования ЛЭП при заданной мощности потребителя Рн, максимально допустимом (по каким-либо причинам) напряжении Uг и допустимых потерях .

Из выражений (5) и (6) также следует, что потери в линии уменьшаются при уменьшении ее сопротивления Rл. А это означает, что потребителя (нагрузку) выгоднее подключать как можно ближе к генератору, или же строить электростанции по возможности ближе к потребителям.

3.1.2. Распределение напряжения в линии

Если всю линию разделить на множество равных небольших участков длиной x и измерить сопротивления пары проводов на каждом из них, то получатся величины Rx, вообще говоря, не равные друг другу, так как линия может быть составлена из проводов разной толщины и материала.

Определение. Предел отношения

называется погонным сопротивлением линии. Вообще говоря, = (х), где х — координата вдоль линии. Если же=const по всей линии, то линия называется однородной.

Пусть однородная линия нагружена в конце на некоторое сопротивление Rн. Тогда легко показать, что напряжение между проводами линии

U(х) будет линейно уменьшаться от генератора к нагрузке (см. рис.3.1.3), т.е. U(х) будет иметь вид:

где k — коэффициент, зависящий от сопротивлений линии и нагрузки. Величина U(х) называется напряжением в данном сечении линии.

Если в каком-либо промежуточном сечении линии к ней подключить еще дополнительную нагрузку Rн’, то характер распределения на-

пряжения примет вид ломаной, полностью лежащей под первоначальной прямой (см. рис.3.1.3 — пунктир). В реальной практике подключение слишком мощного потребителя где-нибудь в середине ЛЭП может привести к недопустимому уменьшению напряжения у потребителей на дальних участках линии.

3.1.3. Экспериментальная установка.

Экспериментальная модель ЛЭП представляет собой спаренный реохорд с двумя парами скользящих контактов, к которым могут подключаться вольтметр и нагрузка. Нагрузку можно подключить также и в конце линии (см. рис.3.1.4). В качестве нагрузок используются магазины сопротивлений. На вход линии пода-

Рис.3.1.4. Экспериментальная мо-

ется постоянное напряжение Uг от

дель линии электропередачи блока питания. Ток в цепи измеряется миллиамперметром.

Данную настольную линию можно считать моделью реальной ЛЭП, уменьшенной примерно в миллион раз, так как погонное сопротивление используемой в модели нихромовой проволоки примерно во столько же раз больше погонного сопротивления проводов реальной ЛЭП.

В экспериментальной части данной работы исследуется эффективность передачи электроэнергии при различных выходных напряжениях генератора, но при постоянной его мощности, т.е. осуществляется проверка соотношения (5) и его следствие:

3.1.4.Программа работы

1.Собрать цепь согласно рис.3.1.4, но пока без нагрузок. Включить вольтметр и генератор, выставив напряжение на его выходе от 3 до 5 В.

2.Определить общее сопротивление обоих проводов линии, измерив напряжение генератора и ток в линии, накоротко замкнутой на конце.

3.Подключить к концу линии нагрузку Rн1 1 2 Rл. Измерить ток I1 в линии. При невысоком напряжении генератора (например, при Uг=5 В) снять распределение напряжения U(х) по всей линии с интервалом в 10 см.

4.По известным сопротивлениям Rн1 и Rл и измеренным напряжению Uг1 и току I1 вычислить величины Рг, Рн1, Рл1, 1 и 1. Проверить соотношение (5).

5.Повысить напряжение генератора Uг до 15 В и вычислить ток I2, соответствующий мощности, которую отдавал генератор в предыдущем опыте (п.3 и п.4). Увеличивая сопротивление нагрузки и следя за показанием миллиамперметра, добиться установления в цепи именно такого тока. Снять новую зависимость U(х).

6.По известным величинам Rн2, Rл, Uг2 и I2 вычислить величины

Рн2, Рл2, 2 и 2. Вновь проверить соотношение (5). Проверить пропорцию

(8).

7. Изучить влияние промежуточной нагрузки Rн’ в линии на распределение напряжения в ней, и в частности — на уменьшение напряжения на потребителе в конце линии. Для этого подключить добавочную нагрузку сопротивлением Rн’ Rн2 в каком-либо внутреннем сечении линии, например, при х=40 см, и при напряжении источника Uг2 и сопротивлении на конце Rн2 снять зависимость U(х) вдоль всей линии (0 x l), где l

—длина линии.

Вкачестве результатов представляются все расчетные величины по п.п.4-6, а также все экспериментальные данные. Три зависимости U(х) оформляются в виде таблиц и графиков в одном масштабе и на общем листе. На каждом графике должны быть указаны величины I, Rн, а на по-

следнем — Rн’.

3.1.5.Контрольные вопросы и задания

1.Что такое относительная потеря мощности (напряжения) в линии? Как она связана с КПД?

2.Почему передавать электроэнергию на большие расстояния выгоднее при высоком напряжении?

3.Что такое погонное сопротивление линии?

4.Непосредственным расчетом доказать зависимость (7) для однородной линии и определить коэффициент k.

5.Изобразить эквивалентную схему и дать качественный вид графика U(х) для линии, нагруженной на конце и в середине сопротивлениями Rн и Rн’ соответственно, если: а) Rн=0, Rн’ 0; б) Rн 0, Rн’=0.

6.Генератор мощностью 5000 кВт передает энергию по двум медным проводам заводу, находящемуся на расстоянии 250 км. Допустимая потеря мощности в проводах 2%. Рассчитать диаметр проводов для случаев, когда энергия передается под напряжением 100 кВ и 10 кВ.

7.От подстанции с выходным напряжением 100 кВ требуется передать к нагрузке на расстояние 10 км мощность 5 МВт. Определить минимальный диаметр медного провода, чтобы потери напряжения в линии не превышали 1%.

8.Дом подключен к магистральной линии проводом, имеющим сопротивление 1 0м. Напряжение в магистрали 220В. Определить максимально допустимую мощность, потребляемую в доме, если напряжение на включаемых в сеть приборах не должно падать ниже 210В.

3.1.5. Литература

С.Г. Калашников. Электричество. М.: “Наука”, 1985. § 71.

3.2. Исследование цепи постоянного тока (Лабораторная работа №4)

Целью работы является освоение методов расчета сложных цепей постоянного тока и экспериментальная проверка уравнений Кирхгофа.

3.2.1.Методы расчета электрических цепей

3.2.1.1.Правила Кирхгофа

Правила Кирхгофа являются основными соотношениями, на которых базируются расчеты сложных электрических цепей. Пусть имеется разветвленная сеть проводов, в различных участках которой находятся источники ЭДС Ek и постоянные сопротивления Rk (см.

рис.3.2.1). Величины Ek и Rk заданы. Такая сеть называется цепью постоянного тока. Ставится задача: рассчитать токи в каждой ветви этой цепи2. Такую задачу удобно решать с помощью двух правил Кирхгофа.

Первое правило относится к узлам цепи и утверждает следующее: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е.

При этом входящим в узел токам условно приписывается один знак (обычно " "), а выходящим — другой (обычно "+"). Это правило означает то, что заряды в узле не накапливаются (сколько входит, столько и выходит), и следует из закона сохранения электрического заряда. Действительно, окружим узел произвольной замкнутой поверхностью S, обозначим сечения проводов этой поверхностью через Sk, а токи в них через ik (см. рис.3.2.2). Применим к поверхности S закон сохранения заряда:

dq

jdS .

S dt

Так как заряд q в узле, т.е. внутри поверхности S не меняется, то:

jdS 0 .

S

Но поскольку токи есть только в проводах, т.е. только в сечениях Sk, то получаем:

2 Ветвью или участком называется фрагмент цепи, соединяющий два узла и

содержащий элементы цепи (например, сопротивления и (или) источники ЭДС).

Узлом называется точка соединения трех или более ветвей цепи.

Таким образом, получаем выражение (2). При записи (2) следует руководствоваться следующим правилом знаков3:

1) Если направление вычисления напряжения на сопротивлении Rk совпадает с направлением вычисления тока через него (см. рис.3.2.4), то падение напряжения на Rk записывается в (2) со знаком “+” (в противном случае — со знаком “ ”);

2) Если направление вычисления напряжения на источнике Ek противоположно стрелке ЭДС, то падение напряжения на нем записывается в (2) со знаком “+”. Если стрелка напряжения совпадает по направлению со стрелкой ЭДС, то падение напряжения на источнике записывается со знаком “ ” (см. рис.3.2.5).

Правила Кирхгофа (1) и (2) позволяют записать полную систему линейных алгебраических уравнений 1-го порядка, из которой можно однозначно определить токи во всех ветвях цепи. Практически последовательность составления таких уравнений следующая:

1.Задать произвольно направления вычисления токов ik во всех ветвях цепи4. Если в результате вычислений какой-либо ток окажется отрицательным, то это будет означать, что положительные заряды дрейфуют в направлении, противоположном поставленной стрелке.

2.Записать систему узловых уравнений (1), руководствуясь выбором знаков для входящих и выходящих токов. Если в цепи Y узлов, то независимых уравнений типа (1) будет Y-1. В этом несложно убедиться, сложив любые Y-1 разных узловых уравнений для произвольной электрической цепи. В результате сложения получится последнее неучтенное узловое уравнение. Таким образом, линейно независимыми являются любые уравнения типа (1) для Y-1 несовпадающих узлов.

3.Уравнения типа (2) должны учитывать все независимые контуры цепи, т.е. такие, которые нельзя образовать наложением всех остальных учтенных, друг на друга. Необходимое количество K контурных уравнений можно определить из условия:

K=B (Y 1),

где B — количество ветвей цепи, которое совпадает с количеством неизвестных токов ik. В качестве независимых удобно выбирать только все простые контуры, т.е. не содержащие в себе других контуров.

3 Направление вычисления напряжения на каждом элементе замкнутого

контура совпадает с направлением обхода контура.

4 Под направлением вычисления тока понимается направление нормали n к

сечению проводника (см. рис.3.2.2). Это направление принято обозначать на схемах стрелкой тока. Ток в проводнике положителен, если в направлении стрелки тока движутся положительные заряды.

4. Выбрать простые контуры и произвольным образом задать направление их обхода. Для каждого контура записать уравнение (2) с учетом правила знаков при вычислении напряжения на элементах.

Полученная неоднородная система алгебраических уравнений (если она составлена правильно) содержит B линейно независимых уравнений для B неизвестных токов и имеет единственное решение.

Пример. Вычислить токи через R1, R2 и R3 в цепи, показанной на рис.3.2.6, если номиналы всех элементов Rk и Ek этой цепи заданы.

Расставляем произвольно стрелки токов i1, i2 и i3 в ветвях цепи, как показано на рис.3.2.6. Так как независимый узел только один, то уравнений типа (1) будет одно:

i1 i2 i3=0.

Из трех возможных контуров I, II и III (см. рис.3.2.6) выберем два простых (I и II). Задаем в этих контурах произвольные направления обхода, например, по часовой стрелке, и записываем для

них уравнения типа (2) с учетом правила знаков:

i1 R1 +i2 R2 E1 E2 = 0,i2 R2+i3 R3 E3 +E2 = 0.

( Уравнение для контура III является зависимым, так как он образуется наложением контуров I и II.)

Таким образом, имеем систему трех уравнений для трех искомых токов. После решения системы, знаки полученных токов покажут, в каком направлении их следует считать положительными.

3.2.1.2. Метод узловых потенциалов

Для достаточно сложных цепей правила Кирхгофа приводят к слишком громоздким системам уравнений. В связи с этим были разработаны более эффективные методы расчета цепей, которые, хотя и базируются на правилах Кирхгофа, но требуют нахождения меньшего числа неизвестных, а значит содержат меньше уравнений. Один из таких методов

— метод узловых потенциалов. Если цепь содержит Y узлов, то этот метод приводит лишь к (Y 1) алгебраическим уравнениям, сколько дает лишь первое правило Кирхгофа.

За неизвестные в данном методе принимаются потенциалы узловk. Если потенциалы всех узлов известны, ток в любой ветви между двумя узлами "k" и "п" можно определить по закону Ома для участка цепи с ЭДС (см. рис.3.2.7):