000000315551
.pdf
2.Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т.3: “Электричество”, 1977. §§
126, 129, 130, 144.
3.И.Е. Иродов. Основные законы электромагнетизма. М.: “Высшая школа”, 1991. § 11.3.
7.2.Определение параметров конденсаторов и катушек с помощью вольтметра переменного тока (Лабораторная работа №14)
Целью работы является изучение методики определения параметров конденсаторов (емкости и сопротивления потерь) и катушек (индуктивности, активного сопротивления, взаимной индуктивности) на переменном синусоидальном токе с помощью вольтметра переменного тока и измерение с помощью данной методики указанных параметров.
7.2.1. Теоретические сведения
Комплексное сопротивление (импеданс) любого двухполюсного элемента цепи переменного тока (двухполюсника) можно представить в виде (см. прил.2):
Z=r+jx,
где r=Re[Z] — активное сопротивление, а x=Im[Z] — реактивное сопротивление элемента цепи переменного тока. Величина
Z |
|
r2 x 2 |
называется полным сопротивлением элемента цепи.
Для участка сопротивлением Z цепи переменного синусоидаль-
ного тока справедлив закон Ома в комплексной форме (см. прил.2): |
|
U=Z I, |
(1) |
где U — комплексная амплитуда напряжения на участке цепи с импедансом Z, а I — комплексная амплитуда тока, протекающего через Z.
Пусть цепь переменного тока, которая состоит из последовательно включенных резистора известного сопротивления R (которое в рабочем диапазоне не зависит от частоты протекающего тока) и элемента с неизвестным импедансом Z, подключена к генератору синусоидального напряжения U0 известной частоты , как показано на рис.7.2.1. По закону Ома (1) определим напряжение U0, а также напряжения UR и U на элементах R и Z. Получим:
UR=R I; U=Z I; U0=(R+Z) I.
Вычисляя модули для напряжений, получим амплитудные соотношения последовательной цепи переменного тока:
URm=R Im; U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
r2 x2 I |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
, (2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(R r)2 x 2 I |
|
||||||||
Z |
|
|
U m |
R Z |
I |
|
|
|
|||||||||
m |
|
|
m |
|
|
|
m |
|
0 |
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где URm, Um, U0m — амплитуды напряжений, а Im — амплитуда тока цепи. Выразим из первого уравнения (2) амплитуду тока и после подстановки в оставшиеся уравнения (2) получим систему для определения величин r и x:
|
|
|
|
U m |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 x 2 , |
|
|||
|
U |
|
R |
|
||||
m |
R |
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m |
|
|
|
|
|
(R r)2 x 2 .
Всилу того, что вольтметр измеряет не амплитудное, а действующее (эффективное) значение напряжения синусоидального тока:RU0m R
U |
эф |
U |
m |
/ 2 , |
(4) |
|
|
|
|
в уравнениях (3) перейдем к действующим значениям. Решая систему относительно r и x, получим:
|
(U0эф )2 |
Uэф2 |
(U Rэф )2 |
|
|||||||||
r R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(5) |
|
|
|
|
эф |
) |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2(U R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U |
эф |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
x |
|
|
R |
r2 . |
(6) |
|||||||
|
|
эф |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
U R |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сначала определяется активное сопротивление r двухполюсника подстановкой измеренных напряжений в (5). Номинал резистора R считается известным. После определения r вычисляется из (6) реактивное сопротивление x. Отметим, что знак величины x определяется характером исследуемого двухполюсника Z. Если это конденсатор, то величина x — отрицательна. Для индуктивности же, напротив, величина x — положительна.
7.2.1.1. Определение параметров катушек и конденсаторов
Эквивалентная схема катушки индуктивности L с активным сопротивлением обмотки r показана на рис.7.2.2. Импеданс катушки индуктивности:
ZL=r+j L. |
(7) |
Таким образом, выражение (5) определяет активное сопротивление катушки r( ), где =2 f, а f — частота генератора.
Замечание. Казалось бы, проще всего измерить сопротивление обмотки катушки, подключив цепь, показанную на рис.7.2.1, к источнику постоянного тока или установив на генераторе очень низкую частоту. В случае очень низкой частоты x=0 и
Рис.7.2.1. Схема измерения импеданса Z
для величины r имеем:
r0 R U m .
U Rm
Однако измеренное в этом случае сопротивление, которое называют омическим или сопротивлением постоянному току, вовсе не равно сопротивлению обмотки катушки на произвольной частоте (его называют активным сопротивлением). Причина этого заключается в так называемом поверхностном или “скин" - эффекте. Известно, что на высокой частоте ток распределен по сечению проводника неравномерно. Плотность тока максимальна на поверхности проводника и экспоненциально убывает вглубь проводника. В результате уменьшается площадь эффективного сечения проводника, по которому протекает ток и как результат — возрастает активное сопротивление. Причем, чем выше частота тока, тем большим оказывается активное сопротивление обмотки катушки.
Величину индуктивности L обмотки найдем из выражения (6), в котором следует выбрать знак “+”. В силу того, что x= L, для искомой индуктивности имеем:
L( ) |
x ( ) . |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Вообще говоря, из-за “скин”-эффекта индуктивность катушки с ростом частоты убывает. Так как ток высокой частоты в основном протекает по поверхности проводника, то магнитное поле внутри проводника с увеличением частоты вытесняется к поверхности проводника. Как результат — уменьшается энергия магнитного поля внутри проводника и вследствие этого — индуктивность катушки. Зависимость индуктивности от частоты в катушках разной формы проявляется по-разному. Наиболее существенно уменьшение индуктивности у многослойных катушек и в наименьшей степени это проявляется в однослойных обмотках из тонкого провода, так как энергия магнитного поля таких катушек в основном сосредоточена в воздушном пространстве внутри обмотки.
Для катушек, намотанных на ферромагнитный сердечник, как активное сопротивление, так и индуктивность зависят от частоты еще более сложным образом из-за возбуждения вихревых токов в сердечнике катушки (которые вызывают дополнительные потери на переменном токе) и из-за сложной зависимости магнитных свойств сердечника от частоты.
Пусть теперь неизвестным элементом Z служит конденсатор с потерями, эквивалентная схема ко-
торого показана на рис.7.2.3. Вычислим эквивалентное сопротивление конденсатора с потерями (см. прил.2):
1 |
|
1 |
|
1 |
, |
(9) |
Z |
1 / ( j C) |
r |
|
|
||
|
|
|
|
C |
|
|
где rC — эквивалентное сопротивление тепловых потерь конденсатора. Как правило, на низкой частоте rC 0, а с ростом частоты из-за потерь переполяризации в диэлектрике конденсатора величина rC растет. Из выражения (9) находим эквивалентные активное r и реактивное x сопротивления конденсатора:
r |
r |
, |
x |
Cr2 |
. |
C |
C |
||||
1 ( Cr )2 |
|
1 ( Cr )2 |
|
||
|
C |
|
|
C |
|
(10)
Значения r и x определяются экспериментально из выражений (5) и (6). Выразим из (10) искомые величины rC и C:
|
|
x |
2 |
|
|||
r ( ) r 1 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
C |
|
|
|
|
|||
|
|
r |
|
|
|||
C( ) |
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
(r2 |
x 2 ) |
||||||
|
|
||||||
(11)
(12)
Выражения (11) и (12) и определяют искомые параметры конденсатора с потерями.
Замечание. Вообще говоря, параметры C и rc конденсатора зависят от частоты. Это обусловлено частотной зависимостью параметров ( и tg ) диэлектрика конденсатора (см. п.8.3.). Однако эта зависимость для большинства конденсаторов (за исключением электролитических) начинает проявляться лишь на достаточно высоких частотах (f>1 Мгц).
7.2.2. Лабораторная установка
Установка по измерению параметров катушек и конденсаторов состоит из стенда, на котором находится набор резисторов известного номинала, а также конденсаторов и катушек индуктивности с неизвестными параметрами. В состав установки входят также генератор синусоидального напряжения перестраиваемой амплитуды и частоты и вольтметр переменного тока, в качестве которого может использоваться, например, комбинированный цифровой прибор. Электрическая схема установки
показана на рис.7.2.4 и соответствует уп-
Рис.7.2.4. Схема лабораторной установки
рощенной рабочей схеме, показанной на рис.7.2.1. Ввиду того, что в работе измеряются параметры элементов (катушек и конденсаторов) на разных частотах и при разных номиналах L и C исследуемых элементов, для обеспечения точности измерений величина сопротивления R (см. рис.7.2.1) подбирается при каждом измерении таким образом, чтобы падение напряжения на R было примерно равно падению напряжения на исследуемом элементе. Для этого левые клеммы набора резисторов электрически соединены между собой (см. рис.7.2.4), а свободные концы выведены к гнездам, которые коммутируются перемычкой или ключом на правую клемму набора резисторов. Номинал каждого из резисторов указан на стенде.
7.2.3.Программа работы и обработка результатов
7.2.3.1.Измерение параметров неизвестного импеданса
1.Собрать электрическую схему, показанную на рис.7.2.4, выбрав резистор R среднего номинала, а в качестве элемента Z подключить один из конденсаторов неизвестной емкости. Подключить к схеме генератор, выставить на нем частоту 100 Гц.
2.Включить генератор и выставить его напряжение на уровне
U0 1 В. Включить вольтметр, перевести его в режим измерения переменного напряжения и установить предел шкалы 1 В.
3.Подключить вольтметр к элементу Z и измерить напряжение U на нем. Подбором величины сопротивления R добиться того, чтобы изме-
ряемое напряжение было близко и немного больше величины U0/2. Измерить вольтметром напряжения на резисторе R, элементе Z и на выходе генератора. Результаты измерения напряжений и значение R занести в табл.7.1.
4.Выставить на генераторе частоту 1 кГц и провести измерения п.3 на этой частоте. Занести результат в табл.7.1. Провести аналогичные измерения на частоте 10 кГц и занести результат в табл.7.1. Отключить генератор.
5.Провести измерения п.1-4 для всех остальных конденсаторов. Результат измерений занести в табл.7.1.
6.Провести измерения п.1-4 для двух катушек индуктивности (L1, L2) и занести результат в табл.7.1.
|
|
|
Табл. 7.1 |
|
Элемент |
частота, кГц R, Ом UR, B |
U, B |
U0, B |
|
конд. С1 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
конд. С2 |
0,1 |
|
|
|
.......................... |
......................... |
.............. |
.............. |
.............. |
.............. |
катушка L 1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
.......................... |
......................... |
.............. |
.............. |
.............. |
.............. |
7.2.3.2.Обработка результатов
1.По результатам измерений (табл.7.1) и по формулам (5), (6) рассчитать для каждого значения частоты активное и реактивное сопротивление конденсатора (реактивное сопротивление конденсатора отрицательно). По формулам (11) и (12) определить эквивалентные параметры конденсатора. Расчет проводится для каждого значения частоты, а результаты заносятся в табл.7.2.
2.По результатам измерений (табл.7.1) и по формулам (5), (6) рассчитать для каждого значения частоты активное и реактивное сопротивление катушки (реактивное сопротивление катушки положительно). По формуле (8) определить индуктивность L катушки и занести результаты в табл.7.2.
В табл.7.2. указать единицы измерения рассчитанных величин, например: емкость — “мкФ”, индуктивность — “мГн”, сопротивление —
“Ом”.
Табл. 7.2
частота, кГц |
С1 rc1 С2 rc2 ... |
L1 r1 L2 r2 |
|
|
|
0,1 |
... |
|
|
|
|
1 |
... |
|
|
|
|
10 |
... |
|
|
|
7.2.4.Контрольные вопросы и задания
1.Что называют импедансом, активным, реактивным и полным сопротивлением двухполюсника?
2.Записать выражения для импеданса катушки индуктивности и конденсатора с потерями.
3.При какой частоте синусоидального тока активное сопротивление катушки индуктивности (и конденсатора с потерями) равно модулю реактивного сопротивления?
4.Изобразить векторную диаграмму катушки индуктивности для случая, изложенного в вопросе 3.
5.Изобразить векторную диаграмму конденсатора с потерями для случая, изложенного в вопросе 3.
6.Что называют активным и омическим сопротивлением катушки индуктивности?
7.Емкость измерительного кабеля вольтметра вместе с емкостью входа составляет величину около 150 пФ. Какую минимальную емкость можно измерить достаточно точно данным вольтметром, если не принимать в расчет емкость прибора?
8.Показать, что на достаточно высоких частотах импеданс конденсатора с потерями и катушки индуктивности имеет в основном реактивный характер.
7.2.6.Литература
1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: “Наука”, 1985. §§ 217-220, 227, 228.
2.Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т. 3: “Электричество”. М.: “Нау-
ка”, 1977. §§ 126, 129, 130.
Глава 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНСТАНТ И ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛОВ
8.1. Определение удельного заряда электрона (лабораторная работа №15)
Целью работы является определение удельного заряда электрона, т.е. отношения заряда электрона к его массе — е/m, методом магнетрона.
8.1.1. Идея метода
Существует много методов для определения удельного заряда электрона с различной точностью. В отличии от определения элементарного заряда е, определить отношение е/m технически гораздо проще, так как эта комбинация входит в уравнения динамики движения электрона в магнитном и электрическом полях и явно выражается через легко измеряемые величины: геометрию электродов, величины полей В и Е, напряжение U между электродами. Простейшим методом определения удельного заряда электрона е/m является метод магнетрона. Термин “метод магнетрона” связан с тем, что здесь используется такая же конфигурация скрещенных полей В и Е, как и в магнетроне — генераторе мощных сверхвысокочастотных (СВЧ) электромагнитных колебаний. Идея этого метода состоит в следующем.
Пусть цилиндрический диод, в котором нагретым катодом является внутренний цилиндр, а анодом — коаксиальный ему наружный, помещен в соленоид, который может создавать магнитное поле, направленное вдоль оси диода (см. рис.8.1.1). В отсутствии магнитного поля электроны летят от катода к аноду по радиусам, образуя в цепи анода ток Iа. При не слишком большом осевом магнитном поле В траектории электронов искривляются этим полем, как показано на рис.8.1.2, но все электроны всё равно достигают анода, создавая тот же ток Ia. При увеличении магнитного поля до некоторого критического значения Вкр электроны искривляют свои траектории настолько, что перестают достигать анода и возвращаются на катод (см. рис.8.1.2). Ток анода при этом падает до нуля. При дальнейшем увеличении магнитного поля все электроны, эмитированные катодом, описывают в пространстве всё более короткие петли и возвращаются на катод, не достигнув анода. Анодный ток отсутствует. Таким образом, зависимость тока анода от величины осевого магнитного поля в диоде имеет вид, показанный на рис.8.1.3. Как будет установлено ниже, поле Вкр и удельный заряд электрона е/m связаны несложным соотношением. Следовательно, удельный заряд электрона можно определить, измеряя зависимость Ia(В) и регистрируя поле В=Вкр, соответствующее спаду анодного тока.
8.1.2. Движение электрона в скрещенных полях
Рис.8.1.1. Скрещенные поля в цилиндрическом диоде
Рис.8.1.2. Траектории электронов в цилиндрическом диоде
Рис.8.1.3. Зависимость анодного тока от магнитного поля
Рис.8.1.4. Траектории электрона в плоском диоде
Рассмотрим характер движения электрона в постоянных, однородных и взаимно перпендикулярных полях В и Е, и определим значение критического магнитного поля Bкр сначала для плоского диода, а затем и для цилиндрического.
8.1.2.1. Плоский диод
Пусть между плоскопараллельными анодом и катодом приложено постоянное напряжение U, т.е. создано однородное электрическое поле E=U/d, а однородное магнитное поле В направлено параллельно их плоскостям, как показано на рис.8.1.4. И пусть катод испускает (эмитирует) электроны с нулевой начальной скоростью. Общее векторное уравнение движения электрона в полях В и Е
|
|
|
|
|
|
|
d 2 r |
||||
m |
|
|
e E [v |
B] |
|
dt |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
эквивалентно трем скалярным:
m d2x/dt2= e(Ex+vyBz vzBy), m d2y/dt2= e(Ey+vzBx vxBz), m d2z/dt2= e(Ez+vxBy vyBx).
Так как в данном случае (см. рис.8.1.4) ненулевыми являются только у- компонента электрического поля (Еy = Е) и z-компонента магнитного поля (Вz= В), то из трех уравнений остаются два:
|
d2 x / dt 2 ev |
B / m, |
(1) |
|
y |
|
|
d2 y / dt 2 e(E v B) / m. |
|
||
|
|
x |
|
Это означает, что в диоде электрон движется только в плоскости (х, у). Уравнения (1) удобно представить в виде:
|
d2 x / dt 2 |
0 dy / dt, |
(2) |
|||
d2 y / dt 2 |
0 |
E / B |
0 |
dx / dt. |
|
|
|
|
|
|
|
||
где: 0 (e/m)B — циклотронная частота. |
|
|
|
|||
Легко показать, что при нулевых начальных условиях: |
|
|||||
|
x(0)=y(0)=0; |
|
|
|
||
|
dx/dt(0)=dy/dt(0)=0, |
|
||||
решение системы (2) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
x (t) R( 0t sin 0t); |
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y(t) R(1 cos 0t), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
где R E/( 0B). Кривая, параметрически определяемая уравнениями (3), называется циклоидой. (см. рис.8.1.4). Эту траекторию описывает в пространстве фиксированная точка на ободе колеса радиусом R, катящегося по плоскому катоду.
Если поле В мало, то испущенный катодом электрон долетает по искривленной траектории до анода. При увеличении магнитного поля траектории электронов все более искривляются. При достижении магнитным полем некоторого критического значения В=Вкр электроны перестают долетать до анода. Вычислим это поле.
В высшей точке критической циклоиды: y=ymax=d. Но из второго
уравнения (3) видно, что уmax=2R (при cos 0t= 1), следовательно: d=2R=2E/( 0B).
Но, так как
E=U/d; 0=(e/m)B,
то для критического поля получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
2m |
U . |
(4) |
|
|
|
||||||
к р |
|
d |
|
e |
|
||
|
|
|
|
||||
При В>Вкр электроны не достигают анода, а вновь возвращаются на катод.
8.1.2.2. Цилиндрический диод.
Качественный вид траектории движения электрона в скрещенных полях В и Е в цилиндрическом диоде был описан в разделе 8.1.1 и показан на рис.8.1.2. Для количественного описания движения электрона в цилиндрическом диоде уравнения (2) целесообразно записать в полярной
системе координат с помощью замен: |
|
x=rcos , |
y= rsin . |
Однако дальнейшие преобразования, приводящие к уравнениям движения в полярных координатах, достаточно громоздки. Конечной же цели — получения формулы для Вкр в цилиндрическом диоде — можно достичь более простым путем. Запишем основное уравнение вращатель-
ного движения для электрона в цилиндрическом диоде: |
|
|||||
|
d |
d |
rF , |
(5) |
||
|
|
J |
|
|
||
|
|
|
||||
|
dt |
dt |
|
|
||
где J=mr2 — момент инерции электрона, летящего по дуге радиусом r(t), d /dt — его угловая скорость,
rF — момент сил, действующих на электрон,
F — азимутальная (угловая) компонента силы, действующей на электрон.
Электрическое поле Е имеет радиальную структуру и не может дать азимутальную компоненту силы. Эта сила порождается только магнитным полем В={0, 0, В} и пропорциональна радиальной скорости электрона:
F =evrB=eB dr/dt.