Учебное пособие. Механика грунтов

120

глинистых грунтов с высоким содержанием глинистых частиц могут еще добавляться осадки вследствие ползучести.

К водонасыщенным грунтам относят грунты со степенью влажности более 0,8. При 0,8 < Sr < 1 в поровой воде могут содержаться сжимаемые пузырьки воздуха, осложняющие процесс фильтрационной консолидации.

Во многих случаях (b ≥ 10 м, Hс/b < 1) изменение напряженно-

деформированного состояния грунта во времени рассматривается в виде одномерной задачи консолидации грунта. Теория фильтрационной консолидации (Терцаги-Герсеванова), разработанная для одномерной задачи консолидации грунта, базируется на следующих предпосылках: скелет грунта рассматривается как упругая пористая среда, т.е. принимается справедливым закон компрессионного уплотнения грунтов; поровая вода принимается несжимаемой; отжатие воды из пор грунта подчиняется закону ламинарной фильтрации Дарси; внешняя нагрузка в грунте уравновешивается суммой эффективных напряжений и давления в поровой воде.

Уравнение одномерной задачи консолидации в дифференциальной форме выводится на основании вышеизложенных предпосылок и может быть представлено в виде

t – время с момента приложения распределенной нагрузки.

Коэффициент консолидации грунта определяется как

сv = mvk× γω ,

где k – коэффициент фильтрации; mv – коэффициент относительной сжимаемости; γω - удельный вес воды.

121

Схема одномерного уплотнения водонасыщенного грунта, мощностью h, расположенного на скальном основании, под действием равномерно

распределенной постоянной нагрузки интенсивностью р для различных моментов времени t0 – t∞ представлена на рис. 73.

Рис. 73. Схема распределения порового давления uw и эффективного напряжения σz в

слое водонасыщенного грунта для различных моментов времени

Решение дифференциального уравнения одномерной задачи консолидации выполнено методом разделения переменных Фурье, с введением определенных краевых условий.

В соответствии с теорией фильтрационной консолидации, для любого момента времени t, можно определить уже сформировавшуюся осадку как

произведение конечной стабилизированной осадки на степень консолидации s(t) = U0(t)·s∞. Степень консолидации определяется по формуле

где m = 1, 3, 5, …, ∞.

Для практических расчетов ограничиваются первым членом вышеуказанного уравнения при m = 1, тогда

122

Основные расчетные случаи при определении развития осадок во времени представлены на рис. 74.

Рис. 74. Эпюра уплотняющих напряжений для случаев:

а – 0; б – 1; в – 2

Случай 0 соответствует рассмотренной выше задаче одномерного уплотнения грунта под действием сплошной нагрузки. Случай 1 присутствует, когда сжимающие напряжения по глубине увеличиваются по закону треугольника. Случай 3 возникает, когда сжимающие напряжения уменьшаются по глубине по закону треугольника. Для удобства расчетов в приложении Н приведены различные значения N, соответствующие заданной степени консолидации U0(t), при основных расчетных случаях. Для заданного значения степени консолидации U0(t) можно определить соответствующее время, по формуле

t= 4 × N×× h2 .

π2 cv

Таким образом, определив конечную стабилизированную s∞ по любой из методик, изложенных в п. 9.3, можно рассчитать долю этой осадки для любого момента времени t по формуле s(t) = U0(t)·s∞. Для этого необходимо выбрать значение степени консолидации U0(t), затем по приложению Н определить значение N, соответствующее выбранной U0(t), и далее, зная значение N, определить время t, соответствующее выбранной U0(t). Выполнив серию расчетов для ряда выбранных значений U0(t), можно построить графики развития осадок во времени (рис. 67).

123

Необходимо учесть, что вышеуказанные решения справедливы для однородного основания при односторонней фильтрации (рис. 73 и 74).

В случае слоистого напластования принимают средневзвешенные характеристики грунтов в пределах сжимаемой толщи по формуле

сv = mvk× γω ,

где: k – средневзвешенный коэффициент фильтрации грунта;

mv – средневзвешенный коэффициент относительной сжимаемости (п. 9.3).

Значение средневзвешенного коэффициента фильтрации грунта определяется по формуле

k = Hc

ån hi , i=1 ki

где: hi и ki – толщина и коэффициент фильтрации i-го слоя грунта; n – количество слоев в пределах сжимаемой толщи Нс.

Основные схемы фильтрации воды в случае слоистого напластования представлены на рис. 75.

Рис. 75. Схемы фильтрации воды при слоистом напластовании грунтов:

а – односторонняя фильтрация; б – двусторонняя фильтрация; в – двусторонняя

фильтрация слоя ограниченной мощности

Схема односторонней фильтрации на рис. 75 а соответствует случаю,

когда основание сложено глинистыми грунтами с коэффициентами

124

фильтрации разных слоев, отличающимся на 1-2 порядка. В данном случае отжатие воды может происходить только вверх. Расчет выполняется как для случая 2, при этом в формуле для расчета времени t принимают h = Нс.

Схема двусторонней фильтрации на рис. 75 б соответствует случаю, когда в основании, сложенном глинистыми грунтами, на границе сжимаемой толщи залегают сильнофильтрующие (крупнообломочные, песчаные) грунты. В данном случае отжатие воды может происходить как вверх, так и вниз. Расчет выполняется как для случая 0, при этом в формуле для расчета времени t принимают h = Нс/2.

Схема двусторонней фильтрации слоя ограниченной мощности на рис. 75 в соответствует случаю, когда в основании, сложенном хорошо фильтрующими грунтами, залегает слой глинистого грунта ограниченной мощности h2. В данном случае отжатие воды из слоя глинистого грунта может происходить как вверх, так и вниз. Расчет выполняется как для случая 0, при этом в формуле для расчета времени t принимают h = h2/2. При этом отдельно определяется доля конечной осадки, относящаяся к слою глинистого грунта и рассматривается ее развитие во времени. Доля осадки

хорошо фильтрующих грунтов принимается стабилизирующейся за период строительства.

При проектировании ответственных сооружений в особых инженерно-

геологических условиях необходимо учитывать влияние на развитие осадок во времени дополнительных факторов, таких, как сжимаемость поровой воды, структурная прочность грунта, начальный градиент фильтрации, ползучесть скелета грунта.

Учет сжимаемости поровой воды (для грунтов с 0,8 < Sr < 1) приводит к

уменьшению значения коэффициента консолидации грунта и проводится при помощи формулы

125

где: n – пористость грунта; mv и mw – соответственно относительные коэффициенты сжимаемости скелета грунта и поровой воды.

Учет структурной прочности грунта может привести к уменьшению мощности сжимаемой толщи, следовательно, и конечной осадки, поскольку условие σzp = σstr может выполняться на меньшей глубине, чем, например, условие σzp = 0,2·σzg.

Учет начального градиента фильтрации вызывает уменьшение конечной осадки основания и времени ее стабилизации, поскольку при градиенте напора в грунтах меньше начального, фильтрация происходить не будет, следовательно, не будет и уплотнения грунта.

В ряде случаев развитие осадок в глинистых грунтах происходит и после прекращения процесса фильтрации, что объясняется ползучестью скелета грунта (медленной взаимной переориентацией частиц), приводящей к более плотному расположению частиц грунта. Ползучесть скелета грунта называется вторичной (нефильтрационной) консолидацией.

Сопоставление по 143 объектам рассчитанных методом послойного суммирования осадок sр с осадками, наблюдаемыми в натуре sф показывает, что в случае плотных оснований соответствие sр и sф с точностью ± 50% отмечается лишь в 50% случаев, в остальных порядка 45% величина sр значительно превышает sф. Для слабых оснований соответствие sр и sф с точностью ± 50% отмечается в 70% случаев, а в 25% случаев sф превышает sр. Существуют данные, что точность прогноза осадок, рассчитанных методом послойного суммирования, снижается с увеличением площади фундамента и глубины отрываемого котлована. Практика показывает, что при ширине фундаментов до 10 м и глубине котлованов до 5 м практические методы расчета осадок дают удовлетворительные для инженерных целей результаты.

При больших размерах прибегают к особым случаям расчета осадок фундаментов, учитывающим разуплотнение грунтов при разработке котлованов, а также нелинейную деформируемость грунта.

126

10. ПРИЛОЖЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ

10.1.Общие положения

Вбольшинстве случаев в инженерной практике для прогнозирования поведения грунтовых массивов под нагрузкой используются методы, основанные на упрощающих предпосылках. В то же время методы, более

полно учитывающие особенности грунтов дают возможность для проектирования более экономичных и совершенных фундаментов.

Развитие математического аппарата механики сплошной деформированной среды, прикладной математики и ЭВМ заложило основы для создания численных методов решения краевых задач. Численные методы позволяют уходить от использования упрощающих предпосылок, которые используются в традиционных методах. Среди численных методов

наибольше применение в механике грунтов получили метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

10.2.Метод конечных разностей. Сущность метода.

Процедура расчета

Сущность метода конечных разностей заключается в замене частных производных в дифференциальных уравнениях решаемой задачи отношениями разностей переменных, которые называются конечными разностями.

Пусть имеется некоторая функция φ от аргумента x (рис. 76). Значение производной dφ/dx в некоторой т. А будет равно тангенсу угла наклона касательной в т. А к графику φ(x), следовательно, dφ/dx = tg α. Для малого интервала x, имеющего конечные размеры, будет соответствовать конечное

127

приращение функции Δφ. В таком случае приближенное уравнение для

производной будет иметь вид

причем точность данного выражения будет возрастать по мере уменьшения интервала x. Для общего решения необходимо разделить аргумент x на конечное число участков x, ограниченных узлами, а затем составить вышеуказанные разности для каждого узла. После подстановки граничных условий, можно будет получить систему уравнений, число которых будет равно числу неизвестных значений функции в узлах. Чаще всего в задачах механики грунтов в качестве неизвестных используются перемещения, значения которых находятся для каждого узла конечно-разностной сетки.

Через найденные перемещения вычисляются относительные деформации и напряжения, и задача расчета напряженно-деформированного состояния оказывается решенной.

Рис. 76. Схема к построению конечно-разностных соотношений

Необходимо учесть, что особенности построения конечно-разностных

сеток создают определенные трудности при наличии сложных границ расчетной области и участков, резко отличающихся по физико-механическим свойствам. Точность решения МКР определяется густотой конечно- разностной сетки и не может быть повышена другими способами. Поэтому

128

МКР получил меньшее распространение при решении задач механики грунтов, по сравнению с МКЭ.

10.3. Метод конечных элементов. Сущность метода. Процедура расчета

Метод конечных элементов является мощным средством решения широкого круга задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

При решении задач МКЭ расчетная область (грунтовый массив, система "сооружение-основание" и др.) разбивается на некоторое число подобластей, называемых конечными элементами. Элементы могут быть одномерными, плоскими или пространственными фигурами, как правило, простой формы. В элементах выделяются точки, называемые узловыми или узлами. Узлы могут располагаться как на вершинах элементов, так на сторонах и внутри элементов.

Пусть имеется некоторая плоская расчетная область 1-3-9-7 (рис. 77) и требуется определить некоторую функцию φ(x, y), непрерывно меняющуюся в пределах этой области. МКЭ позволяет найти приближенные значения этой функции в узлах, образуемых при разбивке на элементы расчетной области (конечно-элементной дискретизации), в данном случае с использованием простейших треугольных элементов. Таким образом, искомая функция φ(x, y) заменяется дискретной моделью – значениями в узловых точках Ф1-Ф9.

Закон изменения между узлами в пределах элементов можно задать в различном виде. Для этого непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом некоторой степени (функцией элемента), определяемым через значения этой величины в узлах элемента. Тогда окончательной аппроксимацией непрерывной функции φ(x, y) будет служить совокупность плоских фигур, определенных на каждом элементе.

Наибольшее приближение к точному решению достигается минимизацией некоторого функционала, приводящей формулировку задачи к

129

системе линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет определить приближенные значения искомой функции в узлах. Точность решения повышается за счет, как сгущения сетки конечных элементов, так и использования боле сложных функций элементов.

Количество уравнений в системе зависит от количества узлов и может достигать сотен и тысяч.

Рис. 77. Схема к построению конечно-элементных соотношений

Граничные условия назначаются с учетом особенностей решаемой задачи. На участках свободных границ расчетной области могут быть заданы внешние силовые воздействия. На внутреннем контуре, который "вырезает" расчетную область из полупространства, граничные условия обычно

вводятся в виде фиксированных значений одной или двух компонент перемещений (часто равных нулю). После задания граничных условий

система уравнений становится определенной и решается методами линейной алгебры относительно неизвестных компонент перемещений. Далее через перемещения узлов определяются относительные деформации и напряжения. В случае неоднородной среды сетку разбивки назначают так, чтобы в пределах одного элемента среда была однородной.