I.5. Предикат, логическая функция. Логические операции с предикатами.

Предикат – логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n–местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x1 ,..., xn ) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое

p(x1 ,..., xn ). В этом случае p называется n–местным предикатом на множестве M.

Из курса математической логики, нам известно, что высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 («истина») или 0 («ложь»). Исходя из этого, можно дать определение предиката для различной местности.

Пусть задано произвольное множество М≠ .

Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется

Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): «x–простое число».

18

Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо

значение 1 («истина») либо значение 0 («ложь»). Действительно, при значениях x = 2,3,5,7,... , функция p(x)=1 и в случае, когда x = 4,6,8,9,... p(x)= 0.

В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято «простое число», и это свойство обозначено через p.

Пусть, на множестве действительных чисел задан двуместный предикат

p(x, y), означающие «x меньше y».

Этот предикат становится истинным или ложным высказыванием, если x и y заменить действительными числами: «2 меньше 10», «3 меньше 5», «1,9 меньше 0,9» и т.д. Как видим, в этом случае рассматривается отношения между элементами в множестве R.. Тогда через p в данном случае обозначено отношение между объектами, где в качестве объектов взяты x и y.

Таким образом, другими словами, одноместный предикат отражает наличие или отсутствие того или иного свойства у объекта, а предикат от нескольких переменных выражает отношение между объектами в рассматриваемом множестве.

Пусть задано множество Μ –область определения предиката p(x1 ,..., xn ), (где

M ≠ –произвольная множества).

Определение. Подмножество множества Μ , состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат преврашается в истинностное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается следующим образом:

(8)

Операции с предикатами.

Пусть на множестве Μ ≠ заданы предикаты p(x) и q(x).

Определение. Конъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется бинарный предикат, обозначаемый r(x)= p(x) q(x), который принимает значение «истина» для тех и только тех значений x M , при которых оба исходных предиката p(x) и q(x) превращаются в истинное высказывание.

Определение. Дизъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется новый

предикат, обозначаемый s(x)= p(x) q(x), который принимает значение «истинна»

называется предикат с той же областью определения, обозначаемый p(x), который

19

предикат, обозначаемый z(x)= p(x)→ q(x), который принимает значение «ложь» для тех и только тех значений x M , при которых предикат p(x) является истинным высказыванием, а q(x)–ложным.

Множество истинности предиката z(x) является множества

I.6. Операции навешивания кванторов. Операции навешивания кванторов относительно двуместных предикатов

В логике предикатов кроме операций отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалентности, рассматриваются и операция навешивания квантора всеобщности и квантора существования.

Пусть на множестве Μ ≠ задан одноместный предикат p(x). Определение. Будем говорить, что выражение вида xp(x) на множестве M

представляет собой истинное высказывание, тогда и только тогда, когда p(x)

истинно для любого элемента x M .

Из определение следует, что если p(x) истинно на множестве M , то высказывание xp(x) тоже истинно на этом множестве;

и в случае, когда p(x) ложно на множестве M , то высказывание xp(x) -тоже

является ложным на данном множестве;

Определение. Будем говорить, что выражение xp(x) на множестве M

20

Для проверки на истинность предиката, поступим следующим образом. Берем произвольный элемент y0 из множество M, подставляя в данный предикат, получим

одноместный предикат: p(x)=(x<y0 ).

Тогда выражение х (x<y0) – является истинным высказыванием, так как во множестве действительных чисел всегда для произвольного элемента из этого же множества, найдется элемент меньше его.

I.7. Примитивно рекурсивный предикат

Как нам известно, предикатом называют логическую функцию определенную на заданном множестве объектов. Будем рассматривать в качестве области определения предиката конечный набор, состоящий из натуральных чисел. Таким образом, рассматриваемые предикаты представляют логические функции вида:

p : N n →{0,1}.

В качестве примера предикатов можно привести следующие логические функции:

r(x)= (x − простоечисло);

q(x, y)= (x = y) ; p(x, y)= (x ≤ y)

и т.д.

Определение. Функция ϕ(x1 ,..., xn ) называется представляющей функцией для предиката p(x1 ,..., xn ), если выполняются следующие условия:

1)Dϕ = D p = D , т.е. их область определения совпадают;

2)для любого набора (x1 ,..., xn ) из области определения D

21

Определение. Предикат р(х) называется примитивно рекурсивным, если его представляющая функция является примитивно рекурсивной функцией.

является ПРФ. Покажем, что данная функция –ПРФ.

По определения операции примитивной рекурсии получаем, что sg(0)= g(0)= 0 = C00

sg(x +1)= h(x, sg(x))= C12

Следовательно, ПРО данной функции является последовательность функций

Покажем, что эти функции являются ПРФ. 1) Рассмотрим функцию (20).

По определения операции примитивной рекурсии получаем, что

f (0)= g(0)= 0 = C00

f (x +1)= (x +1)−& 1 = x = h(x, f (x))= I12 (x, f (x)).

Следовательно, ПРО для данной функции является последовательность функций:

C00 , I12 , R(C00 , I12 ), x −& 1.

22

функцией в первом случае, следовательно, в качестве ПРО данной функции можно взять последовательность функций:

I11 , ι(f (x, y)), R(I11 , ι(f (x, y))), x −& y .

Исходя из последнего примера, функцию (19), будем представлять следующим образом:

f (x, y)= x − y = (x −& y)+ (y −& x).

Очевидно, данная функция является ПРФ. (покажите самостоятельно) Теперь можно говорить, что выбранная представляющая функция (18), т.е.

ϕ1 (x, y)= sg x − y

совокупности функций и предикатов ψ ={ϕ1 ,..., ϕm , p1 ,..., pk }, если представляющая

функция предиката p является примитивно рекурсивной относительно совокупности функций ϕ1 ,..., ϕm , ψ1 ,..., ψk , где ψi 1 ≤ i ≤ k - представляющая функция предиката

pi .

Теорема 2. Логические операции над предикатами сохраняют свойства примитивной рекурсивности предикатов.

Доказательство. Приведем в виде таблицы, истинностные значений логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания.

23