4.

Пусть дана функция g(x)

и

ϕ(x)= g(x, x), то говорят, что функция ϕ

получена из функции g с помощью операции отождествленной переменной.

Действительно, функцию ϕ можно представить следующим образом:

ϕ = g(I11 , I11 ),

т.е. ϕ(x)= S(g; I11 , I11 ).

5.

Пусть заданы функции g, h1 , h2 ,..., hk ,

где hi , i =1,2,...k – некоторые функции

различного количества переменных. Если

ϕ = g(h1 , h2 ,..., hk ),

то

говорят,

что

функция

ϕ получена из функции

g

с

помощью

операции

произвольной

подстановки (суперпозиции).

Например, пусть имеются функции

g(x1 , x2 , x3 ),

h1

(x)

h2

(x, y)

и

h3

(x, y, z)

ϕ(x, y, z)= g(h1 (x), h2 (x, y), h3 (x, y, z)).

Тогда функция ϕ является ПРФ относительно совокупности {g, h1, h2 , h3}.

Покажем, что данная операция справедлива.

Функции ϕ можно представить

следующим образом.

3 (x, y, z)), h

(I

(x, y, z)), h

(I

(x, y, z))).

ϕ(x, y, z)= g(h (I

2

3 (x, y, z), I 3

3 (x, y, z), I 3

(x, y, z), I 3

1

1

1

2

3

1

2

3

Введем следующие обозначения:

(I 3

(x, y, z))

h* (x, y, z)

= h

1

1

1

h2* (x, y, z)= h2

(I13 (x, y, z), I 23 (x, y, z))

(x, y, z))

h* (x, y, z)

= h

(I 3

(x, y, z), I 3 (x, y, z), I 3

3

3

1

2

3

Как видим, что функции

h* , h*

получены из функции

h , h

2

соответственно

1

2

1

операцией

введения

фиктивных

переменных.

Поэтому

h* ,

является

ПРФ

относительно совокупности {h }

1

{h

}.

и

h* – ПРФ относительно совокупности

2

1

2

Определение. Говорят,

что функция

σ(x1,K, xn , z) получена

из функции

g(x1,K, xn , y) с применением операции конечного суммирования, если для любого

набора переменных (x1 ,K, xn , z) выполняется следующее равенство:

σ(x1,K, xn , z)= g(x1 ,K, xn ,0)

+ g(x1 ,K, xn ,1)+K+ g(x1 ,K, xn , z)=

z

(1)

= ∑g(x1,K, xn , t)

t=0

Определение. Говорят,

что функция

δ(x1,K, xn , z) получена

из функции

g(x1,K, xn , y) с применением операции конечного произведения, если для любого

набора переменных (x1,K, xn , z) выполняется следующее равенство:

δ(x1 ,K, xn , z)= g(x1 ,K, xn ,0) g(x1 ,K, xn ,1) K g(x1 ,K, xn , z)=

z

(2)

= ∏g(x1 ,K, xn , t)

Пусть σ(x1 ,K, xn , z)= ∑z

g(x1 ,K, xn , t),

тогда по определению операции

t=0

примитивной рекурсии получим:

σ(x1,K, xn ,0)= g(x1,K, xn ,0)

σ(x1,K, xn , z +1)= ∑z

g(x1,K, xn ,t)+ g(x1 ,K, xn , z +1)

t=0

Таким образом, функция σ получается по операцией примитивной рекурсии из

функции

′

′

g

и h(x1,K, xn , z,u), т.е. σ = R(g , h).

x

y ≠ 0

Пример.

целойчастиот делениячисла x на число y, если

.

=

y

x, если y = 0

q =

x

=

x

(y t − x)−1

sg

∑

& &

(3)

y

t=0

.

2) Пусть y=0. В этом случае, функция

x

– может быть получена из функции

y