Следствие: Всякая примитивно рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу.

Доказательство: Утверждение следует (в виду определения примитивно рекурсивной функции) из вычислимости по Тьюрингу простейших функций и свойств сохранения такой вычислимости операторами суперпозиции и примитивной рекурсии.

II.9 Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций

Теорема. Если функция f(x,y) правильно вычислима на машине Тьюринга, то и функция φ(x)=μy[f(x,y)=0], получающаяся с помощью оператора минимизации из функции f(x,y), также правильно вычислима на машине Тьюринга.

Доказательство: Обозначим F – машину Тьюринга, правильно вычисляющую функцию f(x,y). Используя ее, сконструируем такую машину Тьюринга, которая для заданного значения x вычисляет последовательно значения f(x,0), f(x,1), f(x,2), … до тех пор, пока в первый раз получится f(x,i)=0. После этого машина должна выдать на ленту число i, представляющее собой значение функции φ(x)=i. Если же для всех i будет иметь место f(x,i)>0,то машина должна будет работать вечно, и это будет означать, что функция φ не определена в точке x. начальная конфигурация на конструируемой машине такова: q101x0. Будем мыслить ее следующим образом q101x010 и начнем с применения к ней машины “копирование” К2. Получим конфигурацию 01x010q101x010. Теперь вычислим значение f(x,0), применив машину

F:01x010qα01f(x,o).

Далее подбираем команды, которые при условии f(x,i)>0 преобразовывают конфигурацию 01x01iq01f(x,i) в конфигурацию 01x01i+1q01f(x,i+1):

66

Последняя команда зацикливает программу, и машина от конфигурации 01x011 qα 01f(x,1) переходит к конфигурации 01x012 qα 01f(x,2) , затем к конфигурации 01x013 qα 01f(x,3) и т.д. Допустим, что на некотором шаге машина домтагла конфигурации 01x01i qα 01f(x,i), при которой f(x,i)=0. Это значит, что φ(x)=i и машина должна выдать этот результат. Число i yнакоплено в «счетчике» 01i. Поэтому поступаем следующим образом. Уже имеющаяся команда qα0→ qα+10П приведет машину к конфигурации 01x01i 0qα+10. Следующие команды выдают на ленту необходимую конфигурацию q001i, т.е. q001φ(x):

Следствие . Всякая частично рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу. Доказательство: Оператор минимизации сохраняет свойство вычислимости по Тьюрингу, простейшие функции вычислимы по Тьюрингу, а всякая частично рекурсивная функция получается из простейших с помощью применения конечного числа из трех указанных операторов, то всякая частично рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу.

ЧАСТИЧНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ВЫЧИСЛИМЫХ ПО ТЬЮРИНГУ.

Вычислимы по Тьюрингу лишь частично рекурсивные функции, т.е. если функция вычислима по Тьюрингу, то она частично рекурсивна. Точнее сказать,

67