1) Пусть n =1, тогда из определения ПРО следует, что ϕ1является элементарной

функцией, следовательно, она всюду определена.

2) Предположим, что для некоторого i < n , все функции ϕk , 1 ≤ k ≤ i являются

всюду определенными.

3) Докажем, что ϕk +1 –всюду определена. В этом случае функция ϕk +1 , является

либо элементарной функцией, либо получается из предшествующих ей функций в этой последовательности с помощью одной из операций подстановки или примитивной рекурсии. По предположению индукции все функции последовательности ϕ1 ,..., ϕk , являются всюду определенными и операции

подстановки и примитивной рекурсии сохраняют свойство всюду определенности, следовательно ϕk +1 –всюду определенная функция. Таким образом, метод

математический индукции позволяет сделать вывод, что все функции из последовательности ϕ1 ,..., ϕn составляют ПРО функции f , следовательно, ϕn = f

всюду определенная функция. Ч.т.д..

20. Если функция f получена из примитивно рекурсивных функций с

применением операций подстановки или примитивной рекурсии, то она является ПРФ.

Например, функция f (x, y)= x y получается из f (x, y)= x + y с применением

операции примитивной рекурсии, т.е.

x y = R(C01 , I13 (x, y, z)+ I33 (x, y, z)).

Так как, f (x, y)= x + y является ПРФ, то получаемая функция тоже является

ПРФ.

30. Всякая ПРФ, является алгоритмически вычислимы.

Доказательство. Это свойство доказывается так же, как и первое свойство ПРФ. Действительно, поскольку все элементарные функции алгоритмически вычислимы и операции подстановки и примитивной рекурсии сохраняют свойство алгоритмической вычислимости функций, то все функции, составляющие ПРО для примитивной рекурсивной функции f , являются алгоритмически вычислимыми,

следовательно, f – алгоритмически вычислимая функция.

I.2. Примитивно рекурсивные функции относительно совокупности функций. Основные свойства.

Пусть задана последовательность функций Ψ ={Ψ1 , Ψ2 ,K, Ψn }. Определение. Примитивно рекурсивное описание (ПРО) функции f

относительно совокупности Ψ называется конечная последовательность функций вида ϕ1 ,..., ϕn , удовлетворяющая следующим условиям:

1.ϕn = f .

2.Для любого i =1,K, n , ϕi – есть либо элементарная функция, либо принадлежит совокупности Ψ, либо получается из предшествующих ей функций в этой

12

последовательности с помощью одной из операций примитивной рекурсии или подстановки.

принадлежит данной последовательности функций, либо не принадлежит. В рассматриваемом ПРО, если функция ψ j не встречается, то это ПРО оставляем без

совокупности Ψ, встречается функция ψ j , то перед первым ее появлением в ПРО

функция из Ψ есть ПРФ относительно Г , то f является ПРФ относительно Г .

13

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству свойства 20. Рассмотрим ПРО функции f относительно совокупности Ψ, т.е. ϕ1 ,K, ϕk . Каждая

функция ϕi , где i =1,2,..., k принадлежит совокупности Ψ. Так как каждая функция

совокупности Ψ является ПРФ, то некоторые из них заменим на ПРО относительно Г . Таким образом, образуем ПРО функции f относительно Г . Следовательно

функция f –ПРФ относительно совокупности Г .

40. Если f – ПРФ относительно совокупности Ψ ={Ψ1, Ψ2 ,K, Ψn }, и каждая функция из совокупности Ψ, есть ПРФ, то f тоже является ПРФ. (Доказательство самостоятельно.)

I.3. Производные операции над функциями

Кроме операции подстановки и примитивной рекурсии, которые являются основными, используются и другие операции, которые сохраняют свойства примитивной рекурсивности функций, их называют производными и они

относительно совокупности Ψ. Рассмотрим несколько примеров.

1.Пусть задана некоторая функция g(x, y) и функция ϕ(x, y, z)= g(x, y) .

Вэтом случае говорят, что функция ϕ получена из функции g с помощью операции

введения фиктивной переменной, именно, введением фиктивной переменной z. При этом функция ϕ(x, y, z) является ПРФ относительно совокупности {g}.

Действительно, ϕ можно представить следующим образом:

ϕ(x, y, z)= g ( I13 (x, y, z), I 23 (x, y, z)).

Как видим, функция ϕ получена из функции g и I13 , I23 операцией подстановки, т.е.

ϕ= S(g; I13 , I 23 ).

2.Пусть задана функция g(x, y, z) и если ϕ(x, y)= g(x, y, a), то говорят, что

функция ϕ получена из функции g с помощью операции замены константы. Действительно ϕ(x, y) можно представить следующим образом:

ϕ(x, y)= S(g; I12 , I 22 , Ca2 )

иназывается операция замены константы.

3.Пусть задана функция g(x, y) и ϕ(x, y)= g(y, x), то говорят, что функция ϕ

получена из функции g с применением операции перестановки переменных. Действительно функцию ϕ(x, y) можно представить следующим образом:

ϕ(x, y) = S(g; I 22 , I12 ).

14