- •ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
- •Введение
- •Таким образом, получили убывающую последовательность натуральных чисел
- •I.1. Примитивно рекурсивные функции. Базис элементарных функций. Операции подстановки и примитивной рекурсии. Основные свойства
- •I.2. Примитивно рекурсивные функции относительно совокупности функций. Основные свойства.
- •I.3. Производные операции над функциями
- •I.4. Операции конечного суммирования и конечного произведения
- •Действительно
- •Очевидно, что
- •I.5. Предикат, логическая функция. Логические операции с предикатами.
- •I.6. Операции навешивания кванторов. Операции навешивания кванторов относительно двуместных предикатов
- •I.7. Примитивно рекурсивный предикат
- •I.8. Операция навешивания ограниченного квантора над предикатами
- •I.9. Кусочное задание функции
- •I.10. Операция ограниченной минимизации
- •I.11. Частично рекурсивные функции
- •Тогда
- •Контрольные вопросы
- •Практические задания
- •II.Уточнение понятия алгоритма через абстрактную математическую машину Тьюринга
- •II.1 Определение машины Тьюринга
- •II.2 Применение машин Тьюринга к словам
- •II.3 Вычислимые по Тьюрингу функции
- •II.5 Композиция машин Тьюринга
- •II.6 Тезис Тьюринга (основная гипотеза теории алгоритмов)
- •II.7 Машины Тьюринга и современные электронно-вычислительные машины
- •II.8 Вычислимость по Тьюрингу примитивно рекурсивных функций
- •II.9 Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций
- •Контрольные вопросы
- •Практические задания
- •III.1. Уточнение понятие алгоритма через машину с неограниченными регистрами
- •Практические задания
- •IV. Марковские подстановки
- •IV.1. Нормальные алгоритмы Маркова
- •IV.2. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова
- •IV.3. Совпадение класса всех нормально вычислимых функций с классом всех функций, вычислимых по Тьюрингу
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I2 |
|
S(1) |
|
|
|
|
|
I3 |
|
S(3) |
|
|
|
|
|
I4 |
|
J(1,1,1) |
|
|
|
Таб.3.8. |
|
Заданный алгоритм вычисляет функцию x + y. |
|||||||
|
|||||||
|
|
Пример |
3. |
Докажите |
МНР-вычислимость |
функции |
|
f |
(x)= x −1 = |
0, если x ≤1 |
|
|
|
||
|
& |
|
|
|
|
||
|
|
|
x −1, если x >1 |
|
|
||
Решение. Составим алгоритм для начальной конфигурации x, 0, 0, ... .
Типичной конфигурацией в процессе вычисления является:
R1 |
R2 |
R3 |
R4 |
R5 |
... |
X |
K |
k + 1 |
0 |
0 |
... |
Таб.3.9.
Следующий алгоритм МНР-вычисляет функцию.
I1 |
J(1, 2, 6) |
I2 |
S(2) |
I3 |
J(1, 2, 6) |
I4 |
S(3) |
I5 |
J(1, 1, 2) |
I6 |
T(3, 1) |
Таб.3.10.
Практические задания
а) Составьте алгоритмы МНР– вычисляющие функции:
1.f (x)= x + 5;
2.f (x)= 3 x + 5 ;
3.f (x)= x −& 1;
4. |
|
|
1, |
x > 0 |
; |
|
Sgx = |
x = 0 |
|
||||
|
|
|
0, |
|
|
|
5. |
|
|
0, |
x > 0 |
; |
|
|
|
|||||
|
Sgx = |
x = 0 |
||||
|
|
|
1, |
|
||
6.f (x)= C51 (x) ;
7.f (x, y)= I 22 (x, y)+1;
8.f (x, y, z)= I 23 (x, y, z)−& 1 ;
75
9. f (x, y)= max(x, y)= x, x > y ;
y, x ≤ y
10.f (x)= x!.
б) Покажите, что для каждой команды переадресации существует программа без команд переадресации, которая на всякой конфигурации МНР дает тот же результат, что и T(m, n). Это означает, что команды переадресации на самом деле избыточны в нашем определении МНР. Тем не менее, представляется естественным и удобным иметь такие команды, облегчающие построение алгоритмов.
в) Докажите разрешимость следующих предикатов на множестве натуральных чисел:
1.p(x, y)= (x ≠ y) ;
2.p(x, y)= (x ≠ y) ;
3.p(x, y)= (x < y) ;
1.p(x)= (x − четноечисло);
2.p(x, y)= (3x + 2 y = 0).
76