по функциональной схеме машины Тьюринга, вычисляющей функцию, можно построить рекурсивное описание этой функции. Эта теорема впервые была доказана Тьюрингом.
Теорема 2. Если функция вычислима по Тьюрингу, то она частично рекурсивна.
Теорема 3. Функция вычислима по Тьюрингу тогда и только тогда, когда она частично рекурсивна.
Класс функций, вычислимых по Тьюрингу совпадает с классом частично рекурсивных функций. Совпадение этих двух классов вычислимых функций, в основе построения которых лежали совершенно разные подходы к формализации понятия вычислимости функции, говорит о том, что эти подходы оказались весьма состоятельными, и служит косвенным подтверждением того, что как тезис Тьюринга, так и тезис Черча не только не безосновательны, но и имеют все права на признание.
Контрольные вопросы
1.Охарактеризуйте машину Тьюринга. В чем отличие свойств МТ от реальной вычислительной машины.
2.Какие операции существуют для машины Тьюринга?
3.Покажите на примере реализацию операций композиции и ветвления с помощью машины Тьюринга.
4.Какими свойствами обладает операция композиции?
5.Что такое конфигурации машины Тьюринга и какие виды конфигураций существуют?
6.Какие элементарные машины Тьюринга существуют ?
7.Охарактеризуйте каждую элементарную машину.
8.Постройте копирующую машину Km с помощью остальных
элементарных машин.
9.Постройте выбирающую машину Tm с помощью остальных
элементарных машин.
10.Определите правильную вычислимость функции по Тьюрингу.
11.Докажите, что каждая элементарная функция правильно вычислима по Тьюрингу.
68
12.Докажите, что операции подстановки, примитивной рекурсии и минимизации сохраняют свойство правильной вычислимости функции по Тьюрингу.
13.Докажите, что всякая ПРФ, всякая ЧРФ – правильно вычислима по
Тьюрингу.
14.Объясните эквивалентность двух уточнений алгоритма.
15.Чем отличаются уточнения понятия алгоритма в виде рекурсивной функции от машины Тьюринга?
Практические задания
I.Постройте программы машин Тьюринга вычисляющие следующие функции:
1.f (x)= x + 3;
2.f (x)= 4 x ;
3.f (x)= 2 −& x ;
4.f (x)= 5 −& x ;
5.f (x)= x −& 3 ;
6.f (x)= x − 3 ;
7.f (x)= k x − 3 ;
8.f (x)= 2 x + 3 .
69
II. |
Используя базис элементарных машин и |
машины |
M1 , M 2 , M 3 , |
|||
вычисляющие соответственно функции f (x)= 2 x; |
f (x, y)= x + y ; |
|||||
f (x, y)= x −& y , с помощью операций композиции, ветвления и |
зацикливания |
|||||
постройте машины, вычисляющие функции: |
|
|
||||
1. |
f (x, y)= x y ; |
|
|
|
||
2. |
f (x, y)= 2 (x −& y) ; |
|
|
|||
3. |
f (x, y)= 2 x + y ; |
|
|
|||
4. |
f (x, y)= |
x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
||
5. |
rest(x, y)= остатокот деления x на y, если |
y > 0 |
|
|||
|
|
0, если y = 0 |
|
|
||
6.f (x)= 2 x + 5 ;
7.f (x)= x −& 13 ;
8.f (x, y)= 2(x + y)−& (x −& y);
9. |
f (x,0)= 2 |
x |
|
; |
f (x, y), удовлетворяющей условию: |
|
f (x, y) |
||
|
f (x, y +1)= x −& |
|
||
10. |
f (x)= μy[(x + y)−& 5 = 0] . |
|
|
|
III. Из машин, составляющих базис элементарных машин, путем операций композиции, ветвления, зацикливания постройте машины, правильно вычисляющие следующие функции:
1.f (x)= x + 5;
2.f (x)= 3 x + 5 ;
3.f (x)= x −& 1;
1. |
|
1, |
x > 0 |
; |
|
Sgx = |
x = 0 |
|
|||
|
|
0, |
|
|
|
2. |
|
0, |
x > 0 |
; |
|
|
|||||
Sgx = |
x = |
0 |
|||
|
|
1, |
|
||
70