KПРФ KОРФ KЧРФ.
Таким образом, класс ЧРФ – самый богатый из построенных классов вычислимых функций и имеет место следующее включение:
KЧРФ КВФ,
где КВФ – класс вычислимых функций.
Тезис Черча–Клини представляет гипотезу, из которой следует обратное включение, т.е.
КВФ KЧРФ.
Таким образом, класс алгоритмически вычислимых функций совпадает с классом частично рекурсивных функций. Как уже отмечались, это утверждение не может быть доказанным, так как в нем участвует понятие вычислимой функции. Тем не менее можно привести следующие два довода в пользу тезиса Черча – Клини:
•достаточно богатый набор примеров арифметических функций, интуитивно алгоритмически вычислимых и являющихся частично рекурсивными;
•эквивалентность различных по форме уточнений понятий алгоритма.
Контрольные вопросы
1.Перечислите основные элементарные функции и их свойства.
2.Что такое операция подстановки и какими свойствами она обладает?
3.Охарактеризуйте операцию примитивной рекурсии и ее возможные случае?
4.Какие производные операции вы знайте?
5.Что такое примитивно рекурсивная функция и какими свойствами она обладает?
6.Приведите пример примитивно рекурсивной функции относительно заданной совокупности функций?
7.Приведите пример применения операции конечного суммирования и конечного произведения над функциями?
8.Что такое предикат, какими свойствами он обладает?
35
9.Показать, что логические операции над предикатами сохраняют свойство примитивной рекурсивности?
10.Что такое представляющая функция предиката?
11.Доказать, что операции навешивания кванторов существования и общности над предикатами сохраняют свойство примитивной рекурсивности?
12.Приведите пример о кусочно заданной функции относительно совокупности функций и предикатов, обладающих свойством примитивной рекурсивности?
13.Доказать, что операция ограниченной минимизации сохраняет свойство примитивной рекурсивности функций?
14.Что такое ЧРФ и какими свойствами она обладает?
15.Каково отличие между ПРФ и ЧРФ. Приведите примеры, выражающие их отличительные черты?
Практические задания
I.Докажите, что следующие функции являются примитивно рекурсивны:
1)f (x) = x + 4;
2)f (x) = x + n;
3)f (x) = 2x +1;
4)f (x, y) = 2x + 3y;
5)f (x, y) = kx + ny;
6)f (x) = 2 x ;
7)f (x, y) = x y ;
8)f (x) = x x ;
9)f (x, y) = (x + y) xy ;
10)f (x, y) = (kx + y)nxy ; , k, n N
11)f (x) = 3x2 +1;
12)f (x) = x2 + 3x + 2.
36
II. Какая функция получается из функции g(x) и h(x, y, z) с помощью операции
примитивной рекурсии:
1)g(x)= x; h(x, y, z)= z x .
2)g(x)= x; h(x, y, z)= x z .
3)g(x)=1; h(x, y, z)= z (x +1).
4)g(x)= x ; h(x, y, z)= x y + f (x,0).
5)g(x, y)= x −& y ; h(x, y, z, t)= 2 (x + y) f (x, y, z).
III. Докажите, что следующие функции являются примитивно рекурсивны:
1)f (x) = 3x − 5
2)f (x) = 6x2 + 2x −8
3) |
|
x, |
если x ≥ y |
f (x, y)= max(x, y) = |
если x < y |
||
|
|
y, |
|
4) |
|
x, |
если x < y |
f (x, y)= min(x, y) = |
если x > y |
||
|
|
y, |
|
5) |
1, |
если x = 0 |
|
f (x)= x!= |
|
|
|
|
1 ... x, если x > 0 |
||
() x − y, если x ≥ y
6)f x, y = x − y =
x − y, если x < y
7)f (x, y) = 2 x (2 y +1) −& 1
8)f (x) = 5x!+8
9) |
sg(x)= 0, |
если |
x = 0 |
||
|
|
|
1, |
если |
x > 0 |
10) |
|
|
(x)= 1, |
если |
x = 0 |
sg |
|||||
|
|
|
0, |
если |
x > 0 |
IV. Напишите примитивно рекурсивное описание функций:
37
1)f (x)= x + 7;
2)f (x)= 5x +19;
3)f (x, y)= 5x + 3y;
4)f (x, y)= 5 sg(x)+ x y;
5)f (x, y)= 2x −& y;
6)f (x), удовлетворяющей условию:
f (x,0)= x ;
f (x, y +1)= f (x, y)−& 1.
V. Напишите примитивно рекурсивное описание функции относительно совокупности
{+, ,−&}:
1) f (x, y, z)= x y + z + 5; 2) f (x, y)= 3x2 + x y + 4; 3) f (x, y)= x2 − y 2 ;
4) f (x), удовлетворяющей условию: f (x,0)= x ;
f (x, y +1)= x y + f (x, y).
5) f (x), удовлетворяющей условию: f (x,0)=1;
f (x, y +1)= y f (x, y).
6)f (x, y, z), удовлетворяющей условию:
f (x, y,0)= x −& y ;
f (x, y, z +1)= 2 (x y)f (x, y, z).
VI. Напишите примитивно рекурсивное описание функции относительно совокупности {ψ1 , ψ2 , ψ3 }:
1) ϕ(x, y)= ψ1 (ψ2 (x, ψ3 (y,2y)));
38
2)ϕ(x, y, z)= ψ3 (x, ψ2 (y, ψ1 (x)),2);
3)ϕ(x1 , x2 , x3 , x4 )= ψ1 (ψ3 (x1 , x2 , x3 ), ψ2 (x4 , x1 ));
4)ϕ(x1 , x2 , x3 )= ψ1 (3, ψ3 (x3 , ψ3 (x2 ,0)));
5)ϕ(x, y)= ψ3 (x, y, y);
6)ϕ(x)= ψ2 (3, ψ1 (x,2x +1)).
|
VII. Докажите, что следующие функции примитивно рекурсивны: |
1) |
f (x, y)= rest(x, y)= остатокот деления x на y, если y ≠ 0; |
|
x, если y = 0. |
2) |
τ(x)= числоделителейчисла x; |
|
0, если x = 0. |
3) |
σ(x)= сумма делителейчисла x; |
|
0, если x = 0. |
4) |
π(x)−число простых чисел, не превосходящих x. |
5) |
lh(x)= числопростых делителейчисла x; |
|
0, если x = 0. |
VIII. Докажите примитивную рекурсивность предикатов:
1)p(x, y)= (3x < 2 y) ;
2)p(x, y)= (3x + 2 y = 0) ;
3)p(x, y)= (y = x + 5) ;
4)p(x, y, z)= (x + y = z) ;
5)p(x, y, z)= (x y = z) ;
6)p(x, y)= (4x = 3x y) ;
7)p(x, y)= (12x − y = 0) ;
39