Методички / Н.Н. Демидова Применение законов сохранения для определения момента инерции стержня

1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №203

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СТЕРЖНЯ

1.Цель работы:

а) изучение основных кинематических и динамических характеристик и законов вращательного движения; б) ознакомление с методом определения момента инерции тела, ос-

нованным на применении законов сохранения момента импульса и механической энергии.

2.Оборудование:

стержень, насаженный на горизонтальную неподвижную ось, стальной шарик, магнитный пускатель, секундомер, штангенциркуль, измерительная линейка.

3. Подготовка к лабораторной работе:

прочитать в [1] §§16-19 , [2] §§5.1-5.3. Ответить на вопросы в конце методических указаний.

4. Теоретическая часть

Основными динамическими характеристикамиrвращающегося

тела являются момент инерции I и момент импульса L .

Момент инерции тела I - это мера инертности тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы тела относительно оси вращения. Всякое тело имеет бесчисленное множество моментов инерции, так как существует бесчисленное множество возможных осей вращения.

Моментом инерции материальной точки Ii относительно оси называется произведение массы точки mi на квадрат её расстояния от оси вращения ri:

Момент инерции тела относительно оси складывается из моментов инерции всех материальных точек, на которые оно может быть разбито:

n

I =∑miri2 .

i=1

2

Если масса тела распределена по объёму непрерывно, то суммирование удобно заменять интегрированием:

J =∫dmr2 =∫ρr2dV ,

где dV - бесконечно малый объём с массой dm (рис.1); r - расстояние от объёма dV до оси вращения; ρ - плотность вещества в том месте, где взят объём.

O`

dv r

dm

O

Рис. 1

В случае однородного прямоугольного стержня (рис.2) для оси, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно двум боковым граням, интегрирование даёт следующее выражение:

О’

l2

l1

О

Рис.2

3

Моментом импульса Lr материальной точки массой mi относительно оси, движущейся со скоростью Vi (рис.3) называется векторное

где Lri - аксиальный вектор, направленный вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта.

В случаеr абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростьюω, суммирование приводит к выражению

О′

r

О

Рис.3

В данной работе для экспериментального определения момента инерции стержня используется взаимодействие горизонтально расположенного тела с падающим с высоты h металлическим шариком массой m (рис.4). Перед ударом скорость V шарика равна

5

В нашем случае момент внешних сил – это момент силы тяжести шарика относительно оси вращения и момент сил трения в подшипниках оси вращения. Так как время ∆t соударения со стержнем

мало (порядка 10 −3 с), то правую часть уравнения (8) можно считать примерно равной нулю, т.е. полагать, что система тел “шарик – стержень” квазизамкнута и для неё выполняется закон сохранения момента импульса

В этом уравнении две неизвестные величины: J и V′.

Обсудим возможность применения в нашей системе тел закона сохранения механической энергии (ЗСМЭ). Известно, что закон применим только для замкнутых консервативных систем. Как было показано выше, малое значение времени удара ∆t позволяет считать систему квазизамкнутой. Действительно, за малое время ∆t работа внешних сил достаточно мала по сравнению со значением полной

6

механической энергии системы, чтобы можно было ею пренебречь. Консервативность системы следует из того, что удар шарика о стержень рассматривается как абсолютно упругий (упругие силы – консервативные).

Итак, на основании ЗСМЭ можно записать

где mV2 2 - кинетическая энергия шарика перед ударом;

Jω02 - кинетическая энергия вращающегося стержня после удара;

2

mV2 ′2 - кинетическая энергия шарика после удара.

Решая совместно уравнения (12) и (13), получим выражение для момента инерции стержня:

Данные эксперимента позволяют найти и момент силы трения в подшипниках оси вращения, используя основное уравнение

7

Вращение стержня после удара происходит в условиях действияr r на него единственного момента сил - момента сил трения М=Мтр. С учетом этого выражение (16) в скалярной форме запишется в виде

5. Практическая часть

5.1. Описание экспериментальной установки.

Стержень, момент инерции которого надо определить, укреплен на неподвижной горизонтальной оси, проходящей через центр масс стержня. Стальной шарик удерживается электромагнитом над одним из концов стержня на высоте h. При включении электромагнита шарик, свободно падая с высоты h, приобретает скорость V и упруго ударяется о горизонтально расположенный стержень в точке, отстоящей от оси вращения на расстоянии r (рис. 4). Место удара определяют по небольшой вмятине в тонком слое пластилина, предварительно нанесенном на стержень. Число оборотов N, которое сделает стержень до полной остановки, определяют по насаженному на ось картонному кругу, разделенному на 10 частей.

5.2.Выполнение работы.

Задание 1. Тщательно изучите теоретическую часть работы

(п. 4) и теоретический материал (п. 3).

Задание 2. Определите кинематические характеристики шарика и стержня:

V - линейную скорость шарика перед ударом;

ω0 - начальную угловую скорость стержня после удара;

ε- угловое ускорение стержня.

Продумайте порядок измерения необходимых величин. Опыты по измерению времени вращения и числа оборотов стержня повторите не менее пяти раз. Найдите среднее значение этих величин и по ним рассчитайте искомые характеристики. Данные занесите в таблицу.

Задание 3. Определите динамические характеристики шарика и стержня:

а) Lш- момент импульса шарика относительно оси перед ударом; б) Jэ- экспериментальное значение момента инерции стержня отно-

сительно оси вращения (формула 14).

Значение массы шарика m приведено в паспорте установки. Сделайте проверку размерностей по формуле (14);

в) Jт- теоретическое значение момента инерции стержня относи-

тельно оси вращения (формула 1). Значение массы стержня mст приведено в паспорте установки. Линейные размеры стержня ℓ1 и ℓ2 измерьте с помощью линейки и штангенциркуля.

Сравните экспериментальное Jэ и теоретическое Jт значения момента инерции стержня и рассчитайте относительное расхождение между ними в процентах:

ε= Jт −Jэ 100%;

Jт

г) Lст- начальный момент импульса стержня относительно оси вращения. Сравните значения Lши Lст. Какое значение больше и почему?

д) W1ш - кинетическую энергию шарика перед ударом;

е) W1ст- начальную кинетическую энергию стержня после удара. Сравните W1ш и W1ст, какое значение больше и почему?

Задание 4. Определите момент сил трения в оси вращения (формула 17). Значение J принять равным экспериментальному значению момента инерции стержняJэ.

9

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1.Дайте определение кинематических характеристик вращательного движения твердого тела – угловой скорости и углового ускорения. Как определяется направление этих величин?

2.Как рассчитать моменты инерции материальной точки и тела относительно оси и каков их физический смысл?

3.Что такое момент импульса материальной точки относительно точки, как определяется его направление?

4.Как рассчитывается момент импульса абсолютно твердого тела относительно оси?

5.Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы тел. Приведите обоснования возможности его применения для системы “шарик-стержень”.

6.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии системы тел. Приведите обоснования возможности его применения для системы “шарик-стержень”.

7.Почему в выражение (13) не входит потенциальная энергия тел системы “шарик-стержень”? Какой горизонтальный уровень принят за нулевой для отсчета потенциальной энергии тел в поле сил тяжести земли?

ТЕМЫ ДЛЯ УИРС

1.Разработать метод определения момента инерции стержня для случая неупругого соударения шарика со стержнем. Вывести рабочую формулу.

2.Исследовать зависимость кинематических и динамических характеристик вращательного движения стержня (ω, ε, Lст, W1ст ) от расстояния между местом соударения шарика со стержнем и осью вращения.

ЛИТЕРАТУРА.

1.Трофимова Т. И. Курс физики. –М.: Высш. шк., 1997. –542 с.

2.Детлаф А. А. , Курс физики/ А. А. Детлаф, Б. М. Яворский . –

М.: Высш. шк., 1989. –697 с.