Загребаев Методы матпрограммирования 2007

6. Пусть

система линейных уравнений в скалярном виде, тогда Ax = b – система уравнений в матричной форме, где A – матрица коэффи-

циентов aij (i =1, K, m; j =1, K, n), b – m -мерный вектор.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Пусть r – ранг матрицы и представляет собой наибольший порядок отличного от нуля определителя матрицы A (число линейно независимых столбцов матрицы A ).

r ( A) = r ( Ab ) – необходимое и достаточное условие совместно-

сти системы линейных уравнений, т.е. ранг матрицы A должен быть равен рангу распределенной матрицы системы.

Ранг не превосходит числа неизвестных n , r ≤ n . Тогда:

если r = n , то решение системы единственно;

если r < n , то система имеет бесчисленное множество решений.

7. a0 + a1 x1 +K+ an xn ≥ 0 – линейное неравенство. Совокупность точек пространства, координаты которых удовле-

творяют этому неравенству, представляют собой полупространство; совокупность нескольких линейных неравенств определяет область решения, представляющую собой выпуклый многогранник.

8. Общая задача математического программирования формули-

При этом:

функция f (x) называется целевой функцией;

система неравенств (В.1) и условия неотрицательности переменных (В.2) называются системой ограничений задачи;

всякое решение задачи с учетом системы ограничений, т.е. совокупность значений переменных x1 , K, xn , удовлетворяющих ус-

ловиям (В.1) и (В.2), называется допустимым решением; совокупность точек n -мерного пространства, удовлетворяющих

системе ограничений, образует так называемую допустимую область;

допустимое решение, максимизирующее (минимизирующее) целевую функцию, называется оптимальным.

Итак, задача математического программирования заключается в нахождении оптимального решения, обеспечивающего максимальное (минимальное) значение целевой функции с учетом системы ограничений на переменные.

Замечания. Постановка задачи математического программирования является достаточно общей. Если какая-то практическая задача на первый взгляд кажется иной, то, как правило, с помощью простых математических преобразований её можно свести к задаче рассматриваемого вида.

1. Если требуется найти минимум функции f (x) , то это эквивалентно поиску максимума функции − f (x) , т.е. min f (x) = −max[− f (x)].

xx

2.Если заданны неравенства вида

g(x) ≥ b ,

то простой переменой знака можно прийти к виду (В.1), а именно

−g(x) ≤ −b .

3.Если на переменные x j не наложено условие неотрицательности, а заданно ограничение

x j ≥ x j _ min ,

то, вводя замену переменных

x′j = x j − x j _ min ,

получаем для новой переменной условие (В.1), т.е. x′j ≥ 0 .

4. Функции f (x) может иметь несколько экстремумов, а именно: локальный и глобальный экстремумы (пусть это будет максимум);

12

функция f (x) , определенная на области D, достигает на ней глобального мак-

симума в точке x 0 D , если неравенство f (x) ≤ f (x 0 ) справедливо для любой точки x D ;

функция f (x) достигает локального максимума в точке x 0 D , если нера-

венство f (x) ≤ f (x 0 ) справедливо для любой точки x из некоторой окрестности

точки x0 .

5. В математическом анализе для нахождения экстремума функций используются производные. Эти методы называются классическими методами оптимизации.

Различают задачи безусловного и условного экстремумов.

Задача на безусловный экстремум – задача максимизации функции f (x) при

отсутствии ограничений. Необходимые условия экстремума в этом случае записываются в виде системы уравнений:

∂f (x1, K, xn ) = 0 , j =1, n .

∂x j

Решая данную систему уравнений, находят стационарные точки, а затем после их анализа – оптимальную точку.

Задача на условный экстремум предусматривает ограничения в виде равенств: т.е. минимизировать f (x) при ограничениях g(x) = b.

В векторной форме g и b – m -мерные векторы.

Эта задача сводится к задаче на безусловный экстремум с помощью множителей Лагранжа. С этой целью образуют функцию Лагранжа:

L(x, λ) = f (x) + ∑m λi [bi − gi (x)], i=1

где λi – множители Лагранжа.

Функция L(x, λ) зависит от m + n переменных, на которые наложены огра-

ничения.

Оптимальную точку находят в результате решения и последующего анализа системы уравнений:

6. Классические методы оптимизации применяют лишь для решения сравнительно простых задач математического программирования, так как они имеют ряд недостатков.

13

•Для использования методов нужно, чтобы функции f (x) и g(x) были не-

прерывны и имели частные производные, по крайней мере, второго порядка. Поскольку на практике функции не редко задаются не аналитически, а таблично или иными, более сложными способами, то это затрудняет вычисление и анализ производных.

•Применение классических методов связано с большим объемом вычислений. При этом, во-первых, необходимо решить систему алгебраических уравнений, которая в большинстве случаев нелинейна. Это в свою очередь достаточно сложная задача. Во-вторых, для анализа стационарных точек требуется вычислять вторые производные целевой функции, что часто затруднительно из-за громоздкости выражений.

•С помощью классических методов можно найти экстремум функции только внутри области.

Если оптимальная точка находится на границе области, то методы эти бессильны.

Итак, поскольку классические методы оптимизации не всегда приводят к желаемому результату, необходимы принципиально новые методы, составляющие предмет математического программирования.

14

Г л а в а 1

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1.Задача линейного программирования

иее геометрический смысл

Постановка задачи. Найти максимум функции f (x) =< c, x > +c0

при ограничениях

Суть задачи состоит в том, что необходимо найти неотрицательные значения компонентов вектора x , удовлетворяющие системе линейных неравенств, при которых линейная целевая функция достигает максимума.

Рассмотрим упрощенные модели некоторых прикладных задач, приводящих к задачам линейного программирования.

Пример 1. Пусть некоторая фирма выпускает n видов продукции и использует при этом m видов сырья. Причем ресурсы сырья ограничены: i -го вида сырья не более bi единиц. На изготовление

сырья должно выполняться условие:

n

∑aij x j ≤bi , i =1, m .

j=1

15