Загребаев Методы матпрограммирования 2007

Из рис. 3.1 следует, что чем больше объем, тем меньше себестоимость единицы продукции.

Наконец, задана матрица транспортных расходов cij , элемен-

тами которой являются стоимости перевозок единицы продукции из i-го пункта производства в j-й пункт потребления.

Требуется найти такие объемы перевозок xij из i-го в j-й пункт и

n

такие объемы производства xi = ∑xi j , которые обеспечивают по-

j=1

требности по всем продуктам в j -м пункте назначения

m

j) и минимизируют суммарные расходы.

i=1

Врезультате возникает следующая задача нелинейного про-

граммирования с ограничениями: найтиb = ∑x

при ограничениях

Как видно, последние соотношения, описывающие поставленную задачу, представляют собой совокупность нелинейной целевой функции и линейных ограничений.

3.1.1. Минимизация функции одной переменной

Минимизация функции одной переменной является, как правило, необходимым элементом большинства методов минимизации многомерных функций.

161

На первый взгляд кажется, что задача минимизации функции одной переменной является, довольно, элементарной. В самом деле, если функция f(x), которую нужно минимизировать на отрезке [a, b], дифференцируема, то достаточно найти нули производной, присоединить к ним концы отрезка, выделить из этих точек локальные минимумы и, наконец, среди последних найти ту точку, в которой достигается абсолютный (глобальный) минимум. Этот метод является классическим методом. Он основан на дифференциальном исчислении и довольно подробно описан в литературе.

Однако для широкого класса функций эта задача не так уж проста, и классический метод имеет весьма ограниченное применение, поскольку задача решения уравнения f ′(x) = 0 может оказаться

весьма сложной. К тому же в практических задачах часто неизвестно, является ли f (x) дифференцируемой функцией. Кроме того, во

многих практических задачах часто невозможно найти явную зависимость f (x) . Поэтому существенное значение приобретают мето-

ды минимизации, не требующие вычисления производной. Существование локальных минимумов функции f (x) , почти

всегда затрудняет поиск глобального минимума. Поэтому многие приближенные методы минимизации применимы только тогда, когда любой локальный минимум функции f (x) является одновре-

менно и глобальным. Это дает гарантию сходимости методов. Если же такие сведения о функции не известны, то методы применять можно, но без гарантии сходимости.

Одним из классов функций, удовлетворяющих указанному условию, является класс унимодальных функций.

Определение. Функция f (x) называется унимодальной на от-

резке [a, b], если она непрерывна на [a, b] и существуют такие числа α и β (a ≤ α ≤ β ≤ b) , что:

1)на отрезке [a, α] при a < α, функция f (x) монотонно убывает;

2)на отрезке [β, b] при β < b, функция f (x) монотонно возрас-

тает;

3) f ( x) = f * = min f ( x) при x [α, β], т.е. данная функция

[ a ,b ]

имеет минимум.

Далее приведены некоторые варианты унимодальных функций.

162

ся возрастающие по величине шаги до тех пор, пока не будет пройдена точка минимума функции f (x) .

Алгоритм.

1.Положить k =1.

2.Выбрать точку x0 и определить направление убывания функции f(x).

Для этого положить шаг h > 0 и вычислить значение функции

3.Удвоить шаг, т.е. положить h = 2h и вычислить xk+1 = xk + h.

4.Вычислить f(xk+1).

Если f(xk+1) < f(xk), то положить k = k + 1 и перейти к п. 3.

Если f(xk+1) ≥ f(xk), то поиск прекратить и в качестве отрезка, содержащего точку минимума, выбрать отрезок [xk-1, xk+1].

3.2. Методы одномерной минимизации

Рассмотрим с общих позиций ряд методов, позволяющих найти минимум функции f (x) при ограничениях x [a, b] .

164

3.2.1. Методы нахождения глобального минимума унимодальных функций

3.2.1.1. Прямые методы минимизации

Данные методы основаны на вычислении значений функции f (x) в некоторых точках; они не используют значений производ-

ных оптимизируемой функции.

Метод перебора – простейший, но редко используемый в серь-

функции в этих точках, и путем сравнения определяется точка минимума xm :

f (xm ) = min f (xi ).

0≤i≤n

В качестве точки экстремума полагается: x* ≈ xm , f * ≈ f (xm ) . При этом погрешность ε в определении точки минимума x* , оче-

видно, равна отрезку деления, т.е. ε = b − a .

n

Метод перебора, предполагающий предварительный выбор точек xi , называется также пассивной стратегией поиска точки ми-

нимума x* . На практике точки xi выбираются заранее, когда удобно провести (n +1) независимый эксперимент по измерению значений функции f (x) , а последовательное измерение этих значений

трудоемко или невозможно по каким-либо причинам. Использование информации о функции f (x) для выбора оче-

редной точки xi измерения (вычисления) функции f (x) уже полученной в предыдущих экспериментах, однако, приводит к более

эффективному поиску точки x* .

Методы минимизации, в которых точки xi определяются в процессе поиска с помощью найденных ранее значений f (x) , называ-

165

ются последовательными методами. Практически все рассматриваемые ниже методы относятся к этому классу.

Метод золотого сечения. Метод состоит в том, что исходный отрезок [a, b] уменьшается по определенному закону, постепенно

стягиваясь к точке минимума (рис. 3.2). Сокращение отрезка происходит за счет его деления и отбрасывания частей, не содержащих экстремальной точки. Отрезок делится в отношении «золотого сечения» (отсюда название).

Рис. 3.2. Схема разбиения отрезка поиска экстремума

Прежде всего, при реализации этого метода необходимо задать

желаемую точность ε вычисления точки x* . Количество вычислений функции заранее не задается и полностью определяется точностью ε .

Метод Фибоначчи. Этот метод почти полностью совпадает с методом золотого сечения, но есть два отличия:

1) отрезок делится с помощью чисел Фибоначчи –

γ0 = γ1 =1; γn = γn−1 + γn−2 , n ≥ 2,

в результате получаем следующую последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,K;

2) требуется до начала работы метода задать число шагов n (так

γn−1 , а величина n изменяется в обратную сторону к нулю).

γn

На практике нередко встречаются функции, нахождение значений которых в каждой точке связано с большим объемом вычислений или дорогостоящими экспериментами. В таких случаях число n, определяющее количество вычислений, может быть заранее жестко задано и превышение его недопустимо.

166

Следует отметить, что как в методе «золотого сечения» так и в методе с использованием чисел Фибоначчи, легко аналитически рассчитать, количество вычислений функции на отрезке [a, b] , ес-

ли желаемая точность вычисления x* − ε , и наоборот, какая будет точность при n вычислениях функции.

Метод золотого сечения имеет несколько меньшую скорость сходимости, чем метод Фибоначчи.

К недостаткам последних из рассмотренных методов можно отнести то, что в результате округлений в процессе решения задачи (на ЭВМ) накапливаются ошибки в вычислении точек деления отрезка. Методы очень чувствительны к этому и могут даже расходиться.

В этом отношении более предпочтительными оказываются ме-

тоды, основанные на полиномиальной аппроксимации.

Идея метода такова: если на отрезке [a, b] с внутренней точкой минимума есть основание полагать, что функция f (x) достаточно хорошо аппроксимируется многочленом (2-й, 3-й степени), то за

приближенное значение x* целесообразно взять точку минимума этого многочлена.

3.2.1.2. Методы минимизации, основанные на использовании производных функции

Во многих случаях эти методы обладают более высокой скоростью сходимости, по сравнению с прямыми методами поиска экстремума.

Метод дихотомии. При использовании этого метода вычисляется середина отрезка, в которой находится производная функции f (x) ; в зависимости от знака производной отбрасывается одна из

половин отрезка. За счет чего отрезок стягивается.

Скорость сходимости данного метода выше, чем у методов «золотого сечения» и с использованием чисел Фибоначчи.

Метод касательных. Данный метод используется только для выпуклых функций и имеет простой геометрический смысл: находят абсциссу c точки пересечения касательных к графику функции

167

f (x) , проведенных в граничных точках отрезка (рис. 3.3), для этого нужны производные в этих точках.

Рис. 3.3. Определение точки с

Рис. 3.4. Возможные наклоны касательной в точке с

Затем анализируется знак производной в этой точке с. При этом возможны следующие ситуации (рис. 3.4).

Если f ′(c) > 0 , то в качестве нового отрезка берется отрезок [c, b] , если f ′(c) < 0 , то в качестве нового отрезка берется отрезок

[a, c] .

Таким образом, отрезок уменьшается от итерации к итерации. Метод Ньютона. Данный метод использует не только первую, но и вторую производные функции. При определенных условиях он обеспечивает значительно более высокую скорость сходимости к точке минимума, чем рассмотренные выше методы минимизации. Для реализации этого метода функция f (x) должна быть вы-

пуклой, дважды дифференцируемой функцией.

Прежде всего, выбирается начальное приближение x0 и строится последовательность:

168

При неудачном выборе x0 метод может расходиться.

3.2.2. Методы поиска глобального минимума многоэкстремальных функций

Во многих практических случаях достаточно сложно, а иногда невозможно, установить является ли функция f (x) унимодальной.

В этом случае наиболее известным методом поиска глобального минимума на фоне множества локальных минимумов является метод ломаных.

Метод ломаных. Этот метод может быть использован для поиска глобального минимума функции, удовлетворяющей условию Липшица на отрезке [a, b] . Функция f (x) удовлетворяет условию

Липшица на отрезке [a, b] , если существует число L > 0 (константа Липшица), такое, что

Геометрический смысл метода ломаных состоит в построении последовательности ломаных, приближающихся к графику функ-

ции f(x) снизу и имеющих угловые коэффициенты всех звеньев

± L .

Метод ломаных невозможно реализовать без знания константы Липшица L . Ее оценку получить можно, но иногда это представляет значительные трудности.

3.2.3. Методы минимизации унимодальных функций

Рассмотрим ряд методов, широко используемых в практике поиска экстремума нелинейных функций, подробнее.

169

3.2.3.1. Метод золотого сечения

Как известно, «золотым сечением» отрезка называется деление отрезка на две неравные части такие, что выполняется соотношение:

весь отрезок = большая часть . большая часть меньшая часть

Нетрудно проверить, что золотое сечение отрезка [a, b] производится двумя точками:

x1 = a + r1 (b − a) ,

x2 = a + r2 (b − a) ,

где

r1 = 3 −2 5 = 0,381966... ,

r2 = 52−1 = 0,618033...

На рис. 3.5 изображен пример деления отрезка [a, b] в пропорции «золотого сечения».

Рис. 3.5. Пример деления отрезка [a, b] в пропорциях «золотого сечения»

Точки x1 и x2 расположены симметрично относительно середины отрезка, при этом выполняются соотношения:

Замечательно здесь то, что точка x1 , в свою очередь, производит

170