Дегтяренко Свойства дефектов и их ансамблей, радиационная 2011
.pdfРАЗДЕЛ O
ОПИСАНИЕ ДЕФЕКТОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ В РАМКАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
=
Рассматриваются задачиI= в которых концентрация дефектов= считается малойI= т.еK= можно предполагатьI= что дефекты образуют в= матрице слабый раствор и их взаимодействие малоK= Для ряда задач= удобно воспользоваться моделью сплошной среды и пренебречь= деталями кристаллического строения изучаемого твердого телаK= В= этом случае решение можно искать в рамках теории упругости K = Теория упругости не является полным эквивалентом= = задач= математической физикиK=Она строится для малых смещений среды и= является линейным приближением уравнения состояния среды =по этим смещениямK= Вследствие этогоI= в частностиI= возможна= постановка граничных условий на невозмущенных границах образца= для ряда задачK=
=
O.1. Основные положения механики сплошной среды
=
O.1.1. Определения
При континуальном описании кристалла исходным понятием=
служат векторы абсолютных |
смещенийI= определяемых в каждой= |
||||
r |
|
|
|
r |
r |
точке среды= r (x, y, z ) в некоторый момент времени=tW= r |
(r,t ).= При= |
||||
этом= rk= –= координаты |
смещений |
по |
соответствующим= |
||
координатным осямK= |
|
|
|
|
|
При деформации координата==точки среды=xM перемещается в= |
|||||
координату== |
|
|
|
|
|
æ |
Dx ö |
I======================EOKNF=) |
|||
x = xM çN + |
|
÷ = xM (N + exx |
|||
|
|||||
è |
xM ø |
|
|
||
где= Dx / xM º exx есть относительная линейная деформация средыK==
SN=
=
При деформации малый элемент среды объемом= sM = xM yM zM = в линейном приближении преобразуется в объем==
s = sM + Ds = (xM + Dx) ×(yM + Dy) ×(zM + Dz) =
= x |
|
y |
|
z |
N + e |
|
N + e |
N + e |
» s |
é |
|
|
e |
|
+ e |
|
+ e |
ù I=EOKOF= |
||
M |
M |
xx |
N + |
( |
xx |
yy |
zz )û |
|||||||||||||
|
|
|
M ( |
|
() |
yy ( |
) |
zz ) |
M ë |
|
|
|
|
|||||||
где================= q = ell |
= exx |
+ eyy + ezz ========================= |
|
|
|
|||||||||||||||
=–= локальная |
объемная |
относительная |
деформация= EдилатацияFK= |
|||||||||||||||||
СледовательноI==
Ds º sM × q =K=========================EOKPF=
Определение: Основной геометрической характеристикой= деформированного состояния среды является симметричный тензор=
относительной деформации= eik |
|
N |
æ |
¶ri |
|
¶r k |
ö |
|
= |
ç |
+ |
÷ K== |
|||||
|
|
¶xi |
||||||
|
|
O è |
¶xk |
ø |
||||
Этот тензор имеет шесть различных компонентовI= которыеI= из-за тогоI= что среда сплошнаяI= зависимы между собойK= Условие= связности среды может быть записано как условие Сен-ВенанаW=
eilm ×ekpn ×Ñl ×Ñpemn = M I=
где= ekpn =J=единичный тензорK=
ОчевидноI= что= ppeik º err º q K= СледовательноI= изменение= всего объема кристалла составляет величину==
Dscrii = åDs = òppeik ds K================EOKQF=
ОпределениеW= Пусть в среде задана система координат= =
(рисKOKNFK==
Пусть= ci = –= силаI= приложенная в точке АI= принадлежащей= единичной площадкеI== ориентированной в соответствии с нормалью=
r
n M I=которая и задает ориентацию площадкиK=Тензор напряжений= sik =
связывает |
|
ориентацию |
площадки |
с |
компонентами= |
си |
||
c = s |
ik |
nM |
K= |
Распределение |
напряжений |
в |
бесконечно малом= |
|
i |
k |
|
|
|
|
|
|
|
элементе объема показано на рисKOKOK=
SO=
=
|
В случае если твердое тело подвержено гидростатическому= |
||||
давлениюI= напряжения |
равны= |
sik |
= - pM dik K= Поэтому |
величину= |
|
гидростатического |
давления |
можно |
определить= |
||
|
pM = -N/ P×sll K= (dii = P)K= |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
uur |
|
|
|
|
|
nM |
|
|
r |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
ur |
|
|
|
|
|
c |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
РисK= OKN= = Единичная |
площадкаI= = ориентированная =в |
|||
|
|
rM |
ci = – =силаI =приложенная в точке= А= |
||
соответствии с нормалью= n I= |
|||||
площадки=
=
В любом тензоре напряжений можно выделить его гидростаJ тическую частьW= N / Psll dik K= Тогда оставшийся тензор есть тензорJ
девиатор= sik¢ = sik - Nslldik K= Тензор-девиатор характеризует сдвигоJ P
вые напряжения в кристалле=EрисKOKPKFK=
SP=
=
z
|
|
σPP |
|
σNP |
σ2P |
|
|
|
|
σPN |
σP2 |
|
σ22 |
|
σNN |
σ2N |
σN2 |
y
x
=
РисKOKOK= Распределение напряжений в бесконечно малом элементе= объема=
y
u1
φ1
φ2 |
|
|
u2 |
||
M |
|
x |
|
= |
|
РисK=OKPK=Сдвиговая деформация плоской фигуры=
=
SQ=
=
|
O.1.O. Закон Гука |
|
||
|
ОбщепринятоI= что закон Гука связывает |
малые упругие Jде |
||
формации и возникающие напряжения в |
кристаллеK= В полном= Eно= |
|||
еще |
не в обобщенном |
F=видезакон |
Гука |
записывается W=как |
sik |
= likjl e jl K= |
|
|
|
|
Определение: Тензор= likjl называется |
тензором упругих= |
||
модулейK=Общее количество компонентов тензора= {likjl } = PQ = 8N K= |
||||
|
Рассмотрим кубический |
кристаллK= Хотя он не изотропенI= в= |
||
нем есть три эквивалентных направленияK= Поэтому количество разJ |
||||
личных компонентов тензора упругих модулей также равно тремW= |
||||
|
= |
|
|
|
|
lN = lNNNN = lOOOO = lPPPP , =========================EOKRF= |
|||
|
lO = lNNOO = lNNPP = lOOPP , |
|
||
|
d = lNONO |
= lNPNP = lOPOP = |
|
|
все остальные коэффициенты равны нулюK==
В литературе принято пары индексов обозначать одной цифJ ройK=В таблице ниже приведены стандартные обозначенияK=
=
ТаблKOKNK=Обозначения свертки индексов=
NN= |
OO= |
PP= |
OP= |
PN= |
NO= |
PO= |
NP= |
|
|
|
|
|
|
|
|
N= |
O= |
P= |
Q= |
R= |
S= |
T= |
8= |
|
|
|
|
|
|
|
|
=
В=изотропной=конденсированной среде между тремя упругиJ ми модулями существует связьW= lN - lO - Od = M K=СледовательноI=
для описания изотропной среды нужно всего два индексаW= l = lO I= dK=Эти индексы также носят название индексов ЛамэK=
SR=
=
Выражение для компонент тензора упругих модулей= изоJ
тропной= среды |
можно |
записать |
в |
общемW= |
liklm = ldik dlm + d Edil dkm |
+ dimdkl F K= |
|
|
|
Закон Гука для изотропной среды примет видW= |
|
|||
|
ésik |
= Odeik Ii ¹ k |
==========================EOKSF=== |
|
|
ê |
==Pheii I i = k= I |
||
|
ësii = |
|
|
|
где коэффициент= h = l + O L Pd |
носит название модуля |
объемного= |
||
сжатияI= коэффициент= d= – =модуль сдвигаK =Ниже приведены соотноJ шения между наиболее часто встречающимися упругими константаJ ми для изотропной средыW=
b = |
d(Pl + Od) |
= |
|
Vdh |
|
= Od N + n ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
d + l |
Ph + d |
( |
|
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n = |
Ph - Od |
= |
|
|
l |
= |
b - Od |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
O(Ph + d) O(d + l) |
|
|
Od |
|
||||||||||||
d º m = |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
O(N + n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l = |
|
|
|
nb |
= |
Ond |
|
;=======B º h |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
N + n |
(N - On) |
N - On |
|
|||||||||||||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
==========EOKTF= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
O.1.P. Закон Гука в обобщенном виде
NK=Сначала рассмотрим следующие условияW= J=температура постоянная и однородная по образцуX= J=среда изотропнаяX=
J=внутренних дефектов в среде нетK=
Пусть=c=–=свободная энергия средыK=По определениюI=напряJ жения в среде есть=
|
¶c |
|
sik º |
|
K========================================EOK8F= |
|
||
|
¶eik |
|
ОказываетсяI= что закон Гука можно получитьI= исходя из обJ щего выражения для свободной энергии=c кристаллаK=Действительно=
SS=
=
c==–=величина скалярнаяK=Каким образом можно составить скаляр из= тензора деформации?=При этом надо учестьI=что энергия=–=величина= квадратичная по деформации=ErZ=kxOFK==ОтметимI=что любой тензор= относительной деформации можноI= как и тензор напряженийI= предJ ставить в виде суммы гидростатической и девиантной частейW=
|
|
N |
|
æ |
|
N |
ö |
|
eik |
= |
|
elldik |
+ çeik |
- |
|
dikell ÷ K==================EOKVF= |
|
P |
P |
|||||||
|
|
|
è |
|
ø |
Разложим добавку к свободной энергииI= обусловленную деJ формациейI= по малым смещениямI= точнее по квадратам гидростатиJ ческой и девиантной частей тензора относительной деформации==
|
( |
|
|
h |
O |
|
æ |
|
|
|
N |
|
|
öO |
|
||
Dc |
q ,s |
= |
|
e |
ll |
+ d |
ç |
e |
ik |
- |
|
d |
ik |
e |
ll ÷ |
I= |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
) |
O |
|
|
|
P |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
||||
где коэффициенты= d и= h== –= коэффициенты разложенияK= В дальнейJ шем мы их будем называть=d=–=модулем сдвигаI=h=–=модулем объемJ ного сжатияK= = Рассмотрим приращение свободной энергии= cI= обуJ словленное изменением деформацийW=
|
|
|
|
|
æ |
|
|
N |
ö |
æ |
|
N |
ö |
|
dc |
= hell dell |
+ Od çeik |
- |
|
elldik ÷d çeik |
- |
|
ell dik ÷K= |
||||||
|
P |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
P |
ø |
è |
|
ø |
||
æ |
|
N |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку= çeik |
- |
|
ell dik ÷ |
×dik |
= M I=то== |
|
|
|
|
|
||||
P |
|
|
|
|
|
|||||||||
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
æ |
|
N |
öù |
K= |
|
dc = êhell dik |
+ Od çeik |
- |
|
ell dik ÷údeik |
||
|
||||||
ë |
è |
|
P |
øû |
|
|
Таким образомI=получаем отсюда закон ГукаW== |
|
|
||||
|
|
æ |
|
N |
ö |
|
sik |
= hell dik |
+ Od çeik |
- |
|
dikell ÷K================EOKNMF= |
|
P |
||||||
|
|
è |
|
ø |
OK=Поскольку для описания реальных кристаллов с дефектами= предполагается использовать теорию упругостиI= то естественным= образом возникает вопросI= как использовать сплошную средуI= не= имеющую никакой атомной структурыI= для описания точечных деJ фектов?=
ST=
=
Закон Гука утверждаетI =что если в кристалле возникла деJ формацияI= то возникает и соответствующее ей напряжениеK= Однако= есть случаиI=когда деформация не связана с напряжениемK=Возможны=
также ситуацииI= когда в |
кристалле возникают |
напряженияI= не свяJ |
||||||
занные с деформациейK= |
|
|
|
|
|
|
||
В |
представленном |
виде |
закона |
Гука |
не |
учитывается= |
||
возможность возникновения=свободной деформацииI=не приводящей= |
||||||||
к появлению |
напряженияK= |
Таким примером |
является |
свободное= |
||||
термическое расширениеK== |
|
|
|
|
|
|||
Будем |
считать |
недеформированным |
состояние |
тела = при |
||||
отсутствии внешних сил при некоторой температуре= qMK= Если тело= |
||||||||
находится при температуре= q ¹ qM I=то даже в отсутствие внешних= |
||||||||
сил оно будет деформировано в связи |
с наличием теплового= |
|||||||
расширенияK= Поэтому в |
разложение свободной |
энергии= cEqF= будут= |
||||||
входить не только квадратичныеI= но и линейные по тензору= |
||||||||
деформации |
|
членыK= Из |
компонентов |
тензора |
второго |
ранга= eik = |
||
можно составить всего только одну линейную скалярную величину=–= сумму его диагональных элементов= eii K==ДалееI=будем предполагатьI=
что коэффициент при= eii пропорционален разности= EqJqMFK =В этих= предположениях для свободной энергии системы получимW=
|
æ |
|
N |
öO |
|
h |
O |
- ha(q - qM |
ell)I= |
|
c = cM |
+ d ç eik |
- |
|
dikell ÷ |
+ |
|
ell |
|||
P |
O |
|||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
здесь=cM=–=свободная энергия без напряжений и нагреваK==ДифференJ цируя=c= по= eik I=получим тензор напряженийW=
|
|
|
¶c |
|
( |
|
d |
|
|
d |
|
+ Od |
æ |
|
|
|
N |
|
|
öK===EOKNNF= |
|
s |
ik |
º |
|
= -ha |
q - q |
+ h e |
ll |
ik |
ç |
e |
ik |
- |
|
d |
ik |
e |
ll ÷ |
||||
|
|
¶eik |
|
M |
)ik |
|
|
|
|
|
P |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|||
Первое слагаемое представляет собой напряженияI= связанные с изменением температуры бодном тепловом расширении тела=приE отсутствии внутренние напряжения должны отсутствоватьI=т.еK=
sik º M ® ell = a (q - qM )I=
дополнительные= телаK= При своJ внешних силF=
т.еK= a есть не что иноеI= как коэффициент термического расширения= телаK=
S8=
=
НапомнимI= что== с точки зрения дискретной теории твердого= |
||||
телаI= тепловое |
расширение |
связано |
с |
несимметричностью= |
потенциальной энергии атомов в решетке относительно =точки
равновесия= |
Eангармонизм |
|
колебанийFK= |
|
При этом |
очевидноI= |
что= |
|||||||||||||||
каждая ячейка решетки изменяет свои линейные параметрыK= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
PK=Определенный вид точечных дефектов кристалла такжеI=по= |
||||||||||||||||||||
сутиI= является внутренними |
центрами |
дилатации= EрасширенияFI= но= |
||||||||||||||||||||
локализованнымиK= При |
однородном |
пространственном распределеJ |
||||||||||||||||||||
нии таких точечных дилатационных дефектов эффект их воздейJ |
||||||||||||||||||||||
ствия на тело может рассматриваться по аналогии с тепловым расJ |
||||||||||||||||||||||
ширением иI= следовательноI= под действием дефектов тело также деJ |
||||||||||||||||||||||
формируется без возникновения напряженийK= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Свободная деформация возникает также и при введении= |
||||||||||||||||||||
точечных |
дефектов |
в |
|
|
твердое |
|
W=телоs¢ik |
= sik - h wnd dik I= |
т.еK= |
|||||||||||||
¢ |
= -ha(q -q d) + he |
|
|
|
+ Od |
æ |
|
|
|
|
N |
|
|
ö |
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
|
e |
|
- d |
|
e |
|
- hwn d , |
|
|||||||||||
s |
ik |
ll |
ik |
ç |
ik |
ik |
ll ÷ |
|
||||||||||||||
|
|
M |
ik |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
d ik |
|
||||||||
где= nd = –= |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
===EOKNOF=== |
|||||
концентрация |
|
дефектовI= |
w= –= |
дилатационный объем= |
||||||||||||||||||
дефектовK=ОтметимI=что это уравнение справедливо для характерных=
расстояний= iI много больших расстояний между отдельными= дефектами=nJNLPK=
=
O.1.4.Общий вид уравнений в абсолютных смещениях
Рассмотрим уравнение теории упругости с учетом действия= дефектов на расстояниях меньшихI= чем среднее расстояние между= отдельными дефектами= nJNLPK= = Запишем общее= EволновоеF= уравнение= движения средыW==
rr&&i = Ñ k ski + fi I=
здесь вектор= fi описывает плотность действующих на кристалл объJ емных силI=а тензор= sik связан с деформациями законом ГукаK=Под=fi==
понимаются внешние силыI= действующие внутри средыI= в частноJ стиI= это могут быть силыI= действующие со стороны отдельных деJ фектовI=выражение для которых пока нам неизвестноK==
В условиях статического равновесия выполняется равенство= rr&&i = M I=следовательно=
SV=
=
M = Ñk ski + fi K=
Для дальнейших преобразований воспользуемся соотношениемI=слеJ дующим из полного закона Гука для изотропной средыW==
|
¶s |
ik |
|
|
|
¶e |
ll |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ ¶e |
ik |
|
|
N |
¶e |
ll |
ö |
æ |
|
|
|
|
|
O |
ö ¶e |
ll |
|
|
|
|
¶e |
ik |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= h |
|
|
|
|
|
dik |
+ Od ç |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
dik ÷ |
= çh - |
|
d ÷ |
|
|
|
+ Od |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¶xk |
|
¶xk |
|
P ¶xk |
|
|
¶xk |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¶xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
P ø ¶xi |
|
|
|
===EOKNPF |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и определением тензора относительной деформацииW= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N æ ¶ri |
|
|
|
|
¶r |
k |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eik = |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
÷ K= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O è ¶xk |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В сферических |
координатах= r, q, j для тензора относительной деJ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формации имеемW= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶rj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
e |
|
|
= |
|
¶r |
r |
;= =e = |
|
= |
N ¶r |
|
+= |
|
r |
= e |
|
|
|
= |
|
|
|
N |
|
|
|
+ |
r |
q |
ctgq + |
r |
r |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
=q |
|
|
= r |
=; |
|
|
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶r |
|
|
|
|
|
r |
¶q |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r sin q |
|
¶j |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Oeqj |
= |
|
N |
|
( |
¶rj |
|
-rjctgq) + |
|
|
N |
|
¶rq |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
¶q |
|
r sin q ¶j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
O======e = |
¶r |
q |
- |
r |
q |
+ |
N ¶r |
r |
; |
|
|
Oe |
|
|
= |
|
|
|
|
N ¶r |
r |
+ |
¶rj |
- |
rj |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
rq |
¶r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
¶q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r sin q ¶j |
|
|
|
|
¶r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Воспользуемся известными соотношениями между упругими= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
модулямиW= d = |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
I= |
h = |
|
|
|
|
|
|
b |
|
I= здесь=d=–=модуль сдвигаI=h=–= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O (N + s |
) |
|
|
|
|
|
|
P(N |
- Os ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
модуль объемного сжатияI=b=–=модуль ЮнгаI=s=–=коэффициент ПуасJ сонаK=Тогда получимW=
|
|
|
b |
|
|
|
¶Or |
i |
|
|
|
b |
|
¶Or |
l |
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ f = M I=====EOKNQF= |
||||
|
|
( |
) |
k |
|
|
( |
)( |
|
) i |
¶x |
l |
i |
|
|||||||||
|
|
|
O N + s ¶xO |
|
|
O N + s |
N- Os ¶x |
|
|
|
|||||||||||||
здесь= ¶Or{i } |
|
r I== ¶rl |
|
|
|
|
|
r K=В итоге получим уравнение в векJ |
|||||||||||||||
|
|
= Dr |
|
|
|
|
|
= divr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¶xkO |
|
|
¶xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
торных операторах для абсолютного смещенияW== |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
N |
|
|
r |
® |
2(N+ s) |
K==============EOKNRF= |
|||||||
|
|
|
|
Dr + |
N- 2s |
gr~d=divr = - f |
|
b |
|
r |
|||||||||||||
Воспользовавшись |
соотношением= |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||
Dr = gr~d=divr -rot=rotr I= окончаJ |
|||||||||||||||||||||||
тельно получимW=
TM=
=