Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

.pdf

Скачиваний:

1364

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

3.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 329 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

sin(l k)

Al Ak

0 2

e jk 0 .

(l k) 0

4 l k

Так как

, то дробь

sin(l k) 0

при l k 0;

при l k 0.

(l k) 0 2

Следовательно,

1 A k Ak e jk 0 1 Ak

2 e jk 0

KXXдп ( )

4 k

cos k 0 .

2 k 1

Как видно из полученного выражения, автокорреляционная функция K XXдп ( ) периодического сигнала с периодом T представляет собой периодическую функцию аргумента с тем же периодом T . Амплитуда гармоники корреляционной функции K XXдп ( )

равна половине квадрата амплитуды соответствующей гармоники x(t) .

Более того, при 0 в чистом виде получаем распределение

средней мощности по частотному спектру
	A	2	1		2
KXXдп (0)	0			Ak		,
KXXдп (0)				Ak		,
	2		2 k 1

что согласуется с результатом, полученным в подразделе 2.6 настоящего пособия.

3.6. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

При изучении детерминированных сигналов весьма удобным оказался гармонический анализ. В связи с этим желательно ис-

пользовать аппарат преобразований Фурье к случайным процессам.

Однако необходимо иметь в виду, что реализациям, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.

Тем не менее, можно ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник.

Выделим из ансамбля какую-либо реализацию xk (t) случайного процесса X (t) и ограничим ее длительность конечным интер-

валом T (рис. 3.6). Для такой функции справедливо преобразование Фурье

T / 2

Sk' ( j )

xk'

(t)e j t dt .

T / 2

X (t)

(t),

;

xk (t)

xk'

(t)

T / 2

Рис. 3.6. Реализация xk (t) случайного процесса X (t)

Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы Парсеваля

	T / 2
Эk'	xk' (t) 2 dt	1	Sk' ( j )	2 d .

		2
	T / 2

Разделив эту энергию на T , получим среднюю мощность k - й реализации на отрезке T

Sk'

( j )

Gk' ( )d ,

где Gk' ( )

S '

( j )

представляет собой спектральную плотность

k -й реализации на отрезке

средней мощности рассматриваемой

T .

должна быть усреднена по

В общем случае величина Gk'

( )

множеству реализаций:

m[Gk ( )]

Sk (

j )

m Sk

( j )Sk (

j )

/ 2

T / 2

xk' (t1 )e

t1 dt1

xk' (t2 )e j

t 2 dt 2

T / 2

m xk' (t1 ) xk' (t2 ) e j ( t1 t 2 ) dt1dt 2 .

Так как m xk'

T / 2 T / 2

(t1)xk' (t2 ) KXX (t1,t2 ) KXX ( ) , то

T / 2

m[Gk' ( )]

K XX ( )e j d

dt 2

K XX ( )e j d .

T / 2

Наконец, переходя к пределу при T , окончательно получим

( ) cos d . (3.1)

( ) lim m[G '

( )]

( )e j d 2

Таким образом, спектральная плотность мощности G XX ( ) ,

являющаяся усредненной характеристикой совокупности реализаций случайного процесса, представляет собой прямое преобразование Фурье для корреляционной функции. Тогда обратное преобразование Фурье будет иметь вид

	1		1		(3.2)
K XX ( )		G XX ( )e j d		G XX ( ) cos d .
	2
				0
Преобразования (3.1) и (3.2), связывающие функции G XX ( ) и
K XX ( ) , носят название преобразований Хинчина–Винера.
Для выяснения физического смысла функции G XX ( )					примем в
		83

(3.2) 0 . Так как KXX (0) GXX ( )d выражает среднюю

мощность сигнала, то GXX ( ) дает усредненную энергетическую картину распределения мощности сигнала по частотному спектру,

а элементарная составляющая 1 GXX ( )d представляет собой долю средней мощности, приходящуюся на диапазон частот d .

3.7. БЕЛЫЙ ШУМ

Случайный процесс, имеющий равномерный на всех частотах спектр, называют белым шумом (рис. 3.7,а).

а)				, при 0;
	GXX ( )		б)	, при 0;
	GXX ( )		б)	K XX ( )	0, при 0

		G0


Рис. 3.7. Спектральные характеристики белого шума:
а – спектральная плотность мощности;	б – автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция белого шума может быть определена следующим образом (рис. 3.7,б)

K XX ( ) 21 G0 e j d G0 ( ) ,

так как интеграл	1		является обратным преобразованием
		e j d
	2

Фурье для дельта-функции ( ) .

Очевидно, что белый шум X (t) характеризуется тем, что зна-

чения в любые два (сколь угодно близкие) момента времени некоррелированы. Такой процесс называют абсолютно случайным.

Необходимо подчеркнуть, что понятие белый шум основано на спектральном свойстве случайного процесса и совершенно не связано с законами распределения вероятностей. В частности, если

белый шум имеет нормальный закон распределения, то его называют нормальным белым шумом или Гауссовым шумом.

Белый шум в точном смысле является идеализацией, никогда не встречающейся в реальных условиях, хотя бы потому, что достаточно близкие значения случайной функции практически всегда зависимы, а также и потому, что реальные процессы имеют конечную мощность, а для белого шума полная мощность процесса бесконечна. Однако подобная идеализация во многих важных практических случаях значительно упрощает математический анализ и не вносит сколько-нибудь существенных погрешностей.

Спектры реальных процессов практически ограничены полосой частот вследствие ограниченности полосы пропускания реальных систем.

Если белый шум пропустить через идеальный фильтр низких частот с граничными частотами (0, c ) , то на выходе получим

шум с ограниченным спектром (рис. 3.8,а). Автокорреляционная функция такого сигнала принимает вид (рис. 3.8,б)

cG0

sin c .

K XX ( )

cos d

sin

а)

GXX

( )

б)

K XX ( )

cG0

Рис. 3.8. Спектральные характеристики практического белого шума:

а – спектральная плотность мощности;

б – автокорреляционная функция

3.8. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Отметим некоторые

свойства функции G XX ( ) :

1. Из определения

( ) lim

S '

( j )

следует, что

спектральная плотность мощности является неотрицательной функцией.

2. Дисперсия стационарного случайного процесса X (t) с нуле-

вым математическим ожиданием равна интегралу от его спектральной плотности мощности во всем диапазоне частот

D[ X (t)]	1	GXX ( )d . Это утверждение следует из известного
D[ X (t)]		GXX ( )d . Это утверждение следует из известного
	2
свойства	D[X (t)] K XX		(0) .
3. Спектральная плотность мощности G XX ( )				является четной
функцией	G XX ( ) G XX ( ) . Доказательством			этого свойства

является соотношение			GXX ( ) 2 K XX ( ) cos d .
			0

Таким образом, функция G XX ( ) описывает распределение

средней мощности по частотам, в связи с чем она носит название энергетического спектра или спектральной плотности мощности случайного сигнала.

Для случайных сигналов, реализации которых изображены на рис. 3.9, показаны характер корреляционной функции и энергети-

ческого спектра. Функции x2 (t) и x3 (t) при одинаковых матема-

тических ожиданиях и дисперсиях характеризуются различной степенью статистической связи в соседних сечениях. При сильной

статистической связи x3 (t) корреляционная функция затухает

медленнее, а соответствующая ей кривая энергетического спектра спадает быстрее.

Функции x1 (t) и x4 (t) представляют собой предельные случаи:

– полностью коррелированного сигнала x1 (t) , т.е. детермини-

рованного сигнала;

– совершенно не коррелированного сигнала x4 (t) , называемого

белым шумом.

В первом случае корреляционная функция постоянна, а спектральная плотность мощности вырождается в дельта-функцию на нулевой частоте.

Во втором случае корреляционная функция отлична от нуля

только при 0 , а спектральная плотность мощности имеет равномерный характер и неограниченную полосу.

X (t)	1 x1 (t)

2 x2 (t)

3 x3 (t)

4 x4 (t)

	K XX ( )
2	4	1
2		3

		GXX ( )
		2
	1	4
	1	3
		3

Рис. 3.9. Спектральные характеристики случайных процессов:

1 – постоянный уровень; 2 – слабо коррелированный стационарный процесс; 3 – сильно коррелированный стационарный процесс; 4 – белый шум

3.9. ИНТЕРВАЛ КОРРЕЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ШИРИНА СПЕКТРА СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Нормированная автокорреляционная функция r XX ( ) ста-

ционарного случайного процесса показывает, как изменяется статистическая зависимость между двумя сечениями процесса при

изменении расстояния между ними. Из рис. 3.10 видно, что корреляционная связь между сечениями процесса, расположенными очень близко друг к другу, практически равна единице. По мере

увеличения расстояния между сечениями, r XX ( ) проявляет тен-

денцию к убыванию. Различные процессы имеют различные скорости убывания.

r XX ( )

Рис. 3.10. Способ определения интервала корреляции k

Для стационарного случайного процесса можно найти такое

минимальное значение аргумента k функции r XX ( ) , начиная с которого статистической зависимостью между сечениями можно

пренебречь, т.е. считать r XX ( ) 0 при всех k . Такое значе-

ние аргумента называют интервалом корреляции. Чем меньше интервал корреляции случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная связь между сечениями.

Способ определения k основан на построении прямоугольника единичной высоты с площадью, равной половине площади под графиком модуля rXX ( ) . Интервал корреляции k определяется как основание такого прямоугольника:

	1	rXX			rXX

k			( )	d		( )	d .
	2			0
	2			0

Кроме k – числовой характеристики r XX ( ) , пользуются чи-

словыми характеристиками спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса.

Одной из таких характеристик является эффективная ширина спектра. Эффективной шириной спектра называют отношение площади под спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса к удвоенному максимуму спектральной плотности мощности


GXX ( )d	GXX ( )d
	0	.
2GXX ( m )	GXX ( m )	.
2GXX ( m )	GXX ( m )

Способ определения основан на построении прямоуголь-

ника (рис. 3.11) площадью GXX ( )d , высота которого равна

максимуму спектральной плотности мощности GXX ( m ) на часто-

те m .	GXX ( )
	GXX ( )
	GXX ( m )

Рис. 3.11. Способ определения эффективной ширины спектра

3.10.ЗАДАЧИ

3.1.Найти корреляционную функцию детерминированного периодического сигнала, представленного на рис. 3.12.

3.2.Найти корреляционную функцию периодического колебания произвольной формы, представленного на рис. 3.13.

3.3.Найти спектральную плотность средней мощности стационарного случайного процесса с корреляционной функцией, представленной на рис. 3.14.

x(t) h sin 0t

Рис. 3.12. Периодический сигнал

x(t)

Рис. 3.13. Периодическое колебание

K XX ( ) Ae	,	0

Рис. 3.14. Корреляционная функция

3.4. Найти спектральную плотность средней мощности стационарного случайного процесса с корреляционной функцией, представленной на рис. 3.15.

K XX ( ) G0 ( )

Рис. 3.15. Функция K XX ( )

3.5. Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса со спектральной плотностью мощности, представленной на рис. 3.16.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 329 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]