Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

10.3. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППОВОГО КОДА

Предлагается следующая процедура построения кода. Пусть требуемый объем кода Q равен необходимому числу передавае-

мых сообщений. Из соотношения

2k 1 Q

определяется число информационных символов k . Каждой из

2k 1 ненулевых кодовых комбинаций k -разрядного неизбыточного кода ставится в соответствие комбинация из n символов. Значение символов в проверочных разрядах, число которых n k , устанавливается в зависимости от суммы по модулю 2 определенных информационных разрядов.

Множество 2k k -разрядных комбинаций информационных разрядов образует подгруппу группы, состоящей из 2n n -

разрядных кодов. Множество 2k n -разрядных комбинаций, состоящих из n k проверочных символов и k информационных разрядов, носит название разрешенных кодовых комбинаций и

также представляет собой подгруппу группы 2n n -разрядных кодов.

Множество разрешенных кодовых комбинаций и будет группо-

вым кодом (n, k) .

Разложим группу G n -разрядных чисел на смежные классы по подгруппе A разрешенных кодовых комбинаций. В этом разложе-

нии будет 2n k классов. Элементы каждого класса представляют собой сумму по модулю 2 образующих элементов данного класса и разрешенных кодов:

x A .

Образующие Разрешенные элементы коды

За образующие элементы классов возьмем наиболее вероятные для данного канала вектора ошибок Ei , которые должны исправляться:

221

В приведенном соотношении указывается теоретический минимальный предел числа возможных символов, который далеко не всегда достижим на практике.

Рассмотрим пример. Допустим, что надо закодировать Q 15

команд, которые передаются по каналу, в котором наиболее вероятны одиночные ошибки. Число информационных разрядов вы-

числяется из соотношения 2k 1 15. Поскольку оно удовлетворяется при k 4 , выбираем наименьшее k 4 . Для исправления

одиночных ошибок необходимо, чтобы 2n 4 1 n . Следовательно, наименьшая длина n 7 .

Соотношение 2n k 1 n , которое справедливо для устранения всех одиночных ошибок, позволяет составить табл. 10.1 параметров группового кода .

Итак, строим групповой код (7,4). Число разрядов кода n 7 , число ошибок, подлежащих исправлению, тоже 7. Три избыточных разряда n k 3 позволяют использовать в качестве опознавателей трехразрядные числа:

При таком сопоставлении каждый опознаватель представляет собой двоичное число, указывающее номер разряда, в котором

223

произошла ошибка. Коды, в которых используется такой принцип сопоставления, известны как групповые коды Хэмминга.

Таблица 10.1

Каждый разряд опознавателя определяется на приемном конце в результате проверки справедливости некоторых равенств. Проверочные символы подбираются так, чтобы сумма по модулю 2 всех символов, включая проверочные, входящие в каждое такое равенство, равнялась 0. Поэтому операцию определения символов опознавателя называют проверками на четность.

Предположим, что в результате первой проверки на четность для первого разряда опознавателя будет получена "1". Это может быть следствием ошибки в одном из разрядов, опознаватели которых в первом разряде имеют "1":

1р x1 x3 x5 x7 0 .

Опознавателя

Единица во втором разряде опознавателя может быть следствием ошибки в разрядах, опознаватели которых во втором разряде име-

ют "1":

2р x2 x3 x6 x7 0 .

Опознавателя

Аналогично, находим и третье равенство:

3р x4 x5 x6 x7 0 .

Опознавателя

Чтобы эти равенства удовлетворялись при отсутствии ошибок для любых значений информационных символов, в нашем распоряжении имеются три проверочных разряда. Мы должны так выбрать номера этих проверочных разрядов, чтобы каждый из них входил только в одно из равенств. Это обеспечит однозначное определение значений символов в проверочных разрядах при кодировании. Указанному условию удовлетворяют разряды, опознава-

224

тели которых имеют по одной единице: x1 , x2 , x4 . Тогда правила кодирования для кода (7,4) принимают вид

x1 x3 x5 x7 , x2 x3 x6 x7 ,

x4 x5 x6 x7 .

Таким образом, информационные разряды: 3, 5, 6, 7. Контрольные: 1, 2, 4. Таблицу разрешенных кодовых комбинаций группового кода (7,4) можно представить в виде:

При больших n и k таблица оказывается слишком громоздкой.

Для полного определения группового кода достаточно записать

только линейно независимые строки. Среди 2k 1 ненулевых кодов линейно независимых строк всего k . Следовательно, образующая матрица кода (n, k) может быть представлена следую-

где Bn k ,k – проверочная матрица.

Суммируя строки единичной матрицы в различных сочетаниях можно получить все 2k 1 ненулевые комбинации k -разрядного

225

неизбыточного кода. Нулевая комбинация получается при суммировании любой строки с самой собой.

Для группового кода (7,4) образующая матрица имеет вид

1000 :111

Пример аппаратной реализации группового кода (7,4) приведен на рис. 10.8. Логическая схема кодирующего и декодирующего устройств выделена пунктиром. Простота реализации является одним из существенных факторов построения корректирующих кодов Хемминга.

Канал

Рис. 10.8. Кодер и декодер группового кода (7,4)

226

10.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ К ЦИКЛИЧЕСКИМ КОДАМ

Среди многообразия алгебраических кодов выделяется класс кодов, образованных аналогично групповым, но на образующую матрицу которых наложено дополнительное условие цикличности (все строки матрицы получаются в результате циклического сдвига некоторой кодовой комбинации) и используется алгебраическая структура – кольцо.

Для описания циклических кодов удобна запись любого двоичного числа в виде многочлена от фиктивной переменной x :

100101 Gj (x) 1 x5 0 x4 0 x3 1 x2 0 x1 1 x0 x5 x2 1.

В этом случае действия над кодами сводятся к операциям над многочленами. В множестве n - разрядных чисел или в множестве

многочленов Gj (x) , степень которых не превышает n 1, введем

операции сложения по модулю 2 и символического умножения. Операция символического умножения выполняется обычным образом, как в алгебре для многочленов, но с приведением подобных членов суммированием по модулю 2:

G1 (x) x3 x 1 1011, G2 (x) x 1 0011,

G1 (x)G2 (x) x4 x3 x2 x x 1 x4 x3 x2 1 11101.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.6. Кольцом R называется множество элементов, если для каждой его пары определены операции сложения

иумножения, а также выполняются следующие аксиомы:

1)относительно сложения R является абелевой группой;

2)замкнутость a,b R ab R ;

3)закон ассоциативности a,b,c R (ab)c a(bc) ;

4)закон дистрибутивности a,b, c R (a b)c ac bc .

Сложение в кольце всегда коммутативно, а умножение не обязательно должно быть коммутативным. Коммутативное кольцо – это кольцо, в котором умножение коммутативно, т.е. ab ba для всех a,b R .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.7. Полем F называется множество элементов, если для каждой его пары определены операции сложения и умножения, а также выполняются следующие аксиомы:

227

1)множество F образует абелеву группу по сложению;

2)множество ненулевых элементов F образует абелеву группу по умножению (нейтральный элемент 1 a a , обратный элемент a 1 a 1);

3)закон дистрибутивности a,b,c R (a b)c aс bc .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.8. Поле, состоящее из конечного числа элементов q , называют конечным или полем Галуа и обозначают

GF(q) {0,1,..., q 1}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.9. Пусть F – некоторое поле. Подмножество F0 F называется подполем, если оно само является полем

относительно наследуемых из F операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле F называется расширением F0 .

Итак, двоичные кодовые комбинации an 1... a1a0 представляются в виде многочленов степени не более n 1 от переменной x с

Уточним операцию символического умножения. Если произведение двух многочленов G1 (x)G2 (x) имеет степень большую или

равную n , то условие замкнутости относительно введенной операции символического умножения нарушается. Поэтому специаль-

но подбирают некоторый многочлен P0 (x) степени n и результатом операции символического умножения считают остаток от де-

Для того чтобы найти вид многочлена P0 (x) , произведем умножение, например, многочлена степени n 1 на x :

G j (x) (xn 1 xn 2 ... x 1) x xn xn 1 ... x2 x .

Чтобы результат умножения соответствовал кодовой комбинации n - разрядного числа, необходимо заменить xn на 1, т.е.

228

xn xn 1 ... x2 x xn 1 ... x2 x 1. Такая замена эквива-

При заданных операциях поразрядного суммирования и символического умножения все множество n - разрядных чисел или

многочленов степени не более n 1 образует коммутативное кольцо R .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.10. Кольцо многочленов по модулю P(x) является полем GF(2m ) тогда и только тогда, когда P(x) – не-

приводимый многочлен (простой) и deg P(x) m .

Например, поле GF(22 ) состоит из элементов {0,1, x, x 1} для неприводимого многочлена P(x) x2 x 1 и является расширением поля GF(2) , а GF(2) , в свою очередь, подполем

GF(22 ) .

Следует отметить, что при выбранных нами операциях сложения и умножения образованное кольцо R одновременно является конечным полем, так как оно содержит единичный элемент по умножению и обратные элементы.

Все множество n - разрядных кодовых комбинаций при выбранных операциях может также рассматриваться как алгебра мно-

гочленов над полем GF(2) по модулю xn 1.

Выделим в R подмножество таких многочленов, которые кратны некоторому многочлену – g(x) R , т.е. делятся на него без

остатка: Gi (x) 0 mod g(x) . Такое подмножество многочленов называют идеалом, а g(x) именуют порождающим многочленом

идеала.

Количество различных элементов в идеале определяется видом

229

порождающего многочлена. Если g(x) 0 , то весь идеал пуст;

тов идеала равно 2k .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.11. Циклический код – идеал в кольце многочленов R , образованный неприводимым порождающим многочленом g(x) степени n k .

Остается только выбрать g(x) , способный породить код с за-

данными свойствами. Все многочлены циклического кода, соответствующие его кодовым комбинациям, должны делиться на g(x) без остатка. Для этого достаточно, чтобы на g(x) без остат-

ка делились все многочлены, составляющие образующую матрицу циклического кода. Многочлены Gi (x) кода получаются циклическим сдвигом, что соответствует последовательному умножению g(x) на x с приведением по модулю xn 1:

Gi (x) g(x) xi .xn 1

Например, образующая матрица циклического кода (7,4), образованного порождающим многочленом g(x) x3 x 1, имеет вид

деления, для которого справедливы следующие выражения:

Gi (x) g(x) xi mod(xn 1),

g(x) xi Ai (x) (xn 1) Gi (x).

Следовательно, все многочлены матрицы, т.е. все многочлены кода, будут делиться без остатка на g(x) , если на g(x) будет де-

литься без остатка xn 1. Предполагать, что многочлен Ai (x) ,

230