Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

Особенностью алгоритма БПФ с прореживанием по времени является требуемый им неестественный порядок отсчетов входного сигнала, обусловленный его многократными разбиениями на четные и нечетные подпоследовательности ( n = 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7 для N 8 ). Такой порядок следования называют двоичноинверсным. Это приводит к необходимости предварительной перестановки отсчетов исходной последовательности до начала вычислений. Для этого естественные номера отсчетов последовательности x(n) представляются в L - разрядном двоичном коде, коды эти

прочитываются в обратном порядке, т.е. справа налево и преобразуются затем снова в десятичную форму, соответствующую номеру отсчета переставленной последовательности.

ЗАДАЧИ

4.1.Для сигнала, представленного на рис. 2.19, найти и обосновать практическую ширину спектра.

4.2.Для сигнала, представленного на рис. 2.19, вычислить величину интервала дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова.

4.3.Для экспоненциального сигнала отобразить координатные детерминированные функции времени, входящие в ряд Котельникова.

4.4.Определить интервал частот, в пределах которого сосредоточена вся полезная информация спектра амплитуд дискретного периодического сигнала.

111

5.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА

ИСТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Следует отметить, что общая схема передачи информации, представленная во введении, соответствует случаю, когда информация вводится в начале канала связи, т.е. непосредственно в передатчике. Несколько иначе обстоит дело, например, в радиолокационном канале, где информация о цели вводится в результате отражения радиоволны от цели в свободном пространстве.

Проблема оптимального приема состоит в рациональном использовании избыточности, а также имеющихся сведений о свойствах полезного сигнала, помехи и канала для увеличения вероятности правильного приема.

При этом рассматриваются следующие задачи:

1.Обнаружение сигнала, когда требуется только дать ответ, имеется ли в принятом колебании полезный сигнал или оно обусловлено одним шумом.

2.Оценка параметров, когда требуется с наибольшей точностью определить значение одного или нескольких параметров полезного сигнала.

3.Различение сигналов, когда на входе возможно присутствие нескольких сигналов, и нужно указать, какие именно сигналы присутствуют.

4.Воспроизведение первоначальной формы сигнала, искаженной действием шумов.

5.Предсказание сигнала, когда следует, располагая историей

сигнала, предсказать его наиболее вероятные значения в будущем.

Результатом воздействия помех является частичная или полная потеря информации, переносимой полезным сигналом. Приемное устройство, осуществляя обработку входного сигнала, должно обеспечить извлечение из принятого сигнала возможно большего количества необходимой информации.

Вследствие того, что на вход приемника поступает сумма полезного сигнала и помехи, вероятность правильного приема будет определяться отношением полезного сигнала к помехе. Для повышения вероятности правильного приема должна быть произведена

112

инятого сигнала по схеме, представленной на рис. 5.1. Фильтр обеспечивает улучшение отношения

выполняет главные функции приема (обнаружение, различение или восстановление сигналов).

Рис. 5.1. Блок-схема предварительной обработки принятого сигнала

Рассмотрим основные задачи оптимального приема и статистических решений.

5.1. МЕТОДЫ ФИЛЬТРАЦИИ

Известны следующие методы фильтрации, обеспечивающие улучшение отношения сигнал/помеха:

–частотная фильтрация;

–метод накопления;

–корреляционный метод;

–согласованная фильтрация.

Все эти методы основаны на использовании различных свойств полезного сигнала и помехи.

5.1.1. Частотная фильтрация

Идея частотной фильтрации основана на отличии спектров полезного сигнала и помехи. При этом используются линейные частотные фильтры, позволяющие подавлять помеху и улучшать тем самым отношение сигнал/помеха.

113

Параметры фильтра определяются спектральными характеристиками сигнала и помехи. На практике наиболее часто встречаются следующие случаи (рис. 5.2):

а) на вход приемного устройства поступает узкополосный сигнал и широкополосная помеха. В этом случае в тракт приемного устройства включается узкополосный фильтр с полосой пропускания X ;

б) на вход приемника поступает широкополосный сигнал и узкополосная помеха. В таких случаях в тракт приемника включается фильтр, обеспечивающий подавление помехи в полосе .

S X ( )

Рис. 5.2. Иллюстрация частотной фильтрации:

а– узкополосный сигнал и широкополосная помеха; б – широкополосный сигнал

иузкополосная помеха

5.1.2. Метод накопления

Метод применим в том случае, если полезный сигнал в течение времени приема постоянен.

Пусть в течение времени передачи TX сигнал постоянен и равен a . На сигнал воздействует аддитивная помеха с m[ (t)] 0 . Предположим, что в течение TX (т.е. на интервале, равном дли-

тельности передаваемого импульса) осуществляется многократное его измерение (рис. 5.3). Покажем, что суммирование этих отсче-

Рассмотрим случай, когда указанные отсчеты не коррелированны, т.е. берутся через интервалы времени t k , где k – интервал корреляции.

114

На выходе накопителя будет сигнал

где n – количество отсчетов.

Рис. 5.3. Метод накопления

Отношение мощностей сигнала и помехи на выходе накопителя

i 1

n

где D[ i ] – дисперсия помехи на выходе накопителя.

i1

Впредположении, что значения i некоррелированы и помеха

представляет собой стационарный случайный процесс, дисперсия суммы отсчетов i равна сумме дисперсий отсчетов

n n

D[ i ] D[ i ] nD[ ] .

i 1 i 1

Следовательно,

Таким образом, в результате n - кратного отсчета, отношение мощностей сигнала и помехи увеличивается в n раз.

115

5.1.3. Корреляционный метод

Сущность метода заключается в использовании различия между корреляционными функциями сигнала и помехи. Метод эффективен лишь в случае приема периодических сигналов.

Пусть полезный сигнал является периодическим, а помеха – типа гауссова шума.

В приемном устройстве определяется корреляционная функция

KXX ( ) KX ( ) K X ( ) K ( ) .

Вполученном выражении K X ( ) и K X ( ) есть взаимные

корреляционные функции сигнала и помехи, а K XX ( ) и K ( ) –

автокорреляционные функции сигнала и помехи соответственно. Поскольку передаваемый сигнал и помеха статистически неза-

висимы, то K X ( ) K X ( ) 0 . Следовательно,

KYY ( ) K XX ( ) K ( ) .

Как известно, корреляционная функция K XX ( ) периодическо-

го сигнала является периодической функцией аргумента с тем же периодом.

Функция K ( ) с увеличением стремится к нулю и при

k практически равно нулю (рис. 5.4).

Следовательно, выбирая такое время , при котором значением K ( ) можно пренебречь, мы обеспечим тем самым получение

функции KYY ( ) K XX ( ) , отображающей полезный сигнал, т.е.

выделение полезного сигнала из смеси полезного сигнала с помехой.

116

x (t) y( ) (t )d B [x( ) ( )]x(TX t )d

B x( )x(TX t )d B ( )x(TX t )d .

x(t)

(t)

Рис. 5.6. Импульсная переходная функция

Полученные два интеграла представляют собой с точностью до постоянного множителя B корреляционные функции

x (t) B[K XX (TX t) K X (TX t)].

Таким образом, выходная реакция фильтра совпадает с выходным сигналом корреляционного фильтра, но при согласованной фильтрации нет необходимости использования устройства перемножения (рис. 5.7).

(t) Bx(TX t)

Рис. 5.7. Схема согласованной фильтрации

5.2. СУЩНОСТЬ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ПРИЕМА СИГНАЛОВ

Основная задача приема сигналов фактически представляет собой процесс распознавания. Процесс распознавания состоит в классификации явлений по имеющейся информации путем отнесе-

118

ния воспринимаемой совокупности признаков X (x1 , x2 ,..., xm ) к области, характеризующей одно из состояний ai источника ин-

формации [2].

С этой целью m - пространство признаков разбивается по како- му-либо критерию на n областей X1 , X 2 ,..., X n , соответствующих

точкам n - пространства состояний A (a1 , a2 ,..., an ) источника информации (рис. 5.8).

X n , an

x2

Рис. 5.8. Двумерное m - пространство признаков

Если разбиение производится на две области, распознавание становится двухальтернативным и представляет собой обнаруже-

ние некоторого явления. Векторы X в m -пространстве признаков носят название векторов-реализаций, а области разбиения образуют множество классов.

В общем случае зависимость реализаций X от состояний ai

источника носит вероятностный характер. Можно выделить три характерных случая этих зависимостей (для простоты на рис. 5.9 изображены одномерные распределения):

1. В первом случае возможно безошибочное распознавание. Для этого области X1 , X 2 ,..., X n в m - пространстве признаков должны

быть выбраны так, чтобы каждая из них включала все возможные значения только одного соответствующего ей признака. При этом

вероятность p(ai / X i ) правильного распознавания i -го состояния при условии X X i , которую можно подсчитать по формуле Байеса

119