Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

Рис. 3.16. Функция GXX ( )

3.6.Необходимо найти дисперсию стационарного случайного процесса по заданной на рис. 3.16 спектральной плотности мощности.

3.7.Найти среднеквадратическое значение для случайного про-

цесса со спектральной плотностью средней мощности в видефункции (рис. 3.17).

GXX ( ) G0 ( )

Рис. 3.17. Спектральная плотность средней мощности

3.8. Для стационарного случайного процесса со спектральной плотностью средней мощности (рис. 3.18) определить математиче-

ское ожидание m[ X ] и дисперсию D[ X ] .

GXX ( )

G0

Рис. 3.18. Спектральная плотность GXX ( )

91

3.9. Белый шум подается на вход электрической цепи, представленной на рис. 3.19. Найти спектральные характеристики выходного сигнала.

R2 L

92

4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

При передаче непрерывных сигналов в информационных системах весьма широкое применение получила кодоимпульсная модуляция сигналов (КИМ). КИМ складывается из трех операций:

–дискретизация по времени;

–квантование по уровню;

–кодирование.

Дискретизация по времени заключается в замене непрерывного во времени сигнала x(t) дискретным сигналом xд (t) , значения

которого для дискретных моментов времени t0 , t1 ,..., tn совпадают

с мгновенными значениями непрерывного сигнала (рис. 4.1). Квантование по уровню заключается в замене непрерывного

множества значений сигнала xд (t) множеством дискретных значе-

ний. При этом шкала возможных значений сигнала разбивается на определенное количество интервалов, и непрерывное значение сигнала заменяется ближайшим дискретным.

Полученные дискретные значения затем кодируются (обычно двоичным кодом). КИМ обеспечивает существенное повышение помехоустойчивости передачи данных. Кроме того, дискретизация позволяет использовать одни и те же устройства для большого числа различных сигналов.

При КИМ весьма важным является правильный выбор способа дискретизации сигналов по времени и квантования по уровню. Рассмотрим некоторые вопросы теории дискретизации непрерывных функций по времени.

4.1. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ В.А. КОТЕЛЬНИКОВА

Итак, при дискретизации по времени непрерывная по аргументу функция x(t) преобразуется в функцию xд (t) дискретного аргу-

мента. Такое преобразование может быть выполнено путем взятия отсчетов функции x(t) в определенные дискретные моменты вре-

93

мени. В результате функция x(t) заменяется совокупностью мгновенных значений x(ti ), i 0,n 1.

x(t)

t

xд (t) t0 t1 t2 t3 t4

t

xдк (t)

t

код

t

Рис. 4.1. Кодоимпульсная модуляция

Временной интервал t ti ti 1, i 1, n 1 между двумя сосед-

ними фиксированными моментами времени, в которых задается дискретная функция, называется интервалом дискретизации.

Величина fд 1t называется частотой дискретизации. Устрой-

ства, с помощью которых проводится дискретизация сигналов, носят название дискретизаторов (рис. 4.2).

ИИ Прерыватель

ГИ

Дискретизатор

УУ

Рис. 4.2. Структура дискретизатора

94

Частота дискретизации должна выбираться таким образом, чтобы по отсчетным значениям x(ti ) можно было бы с заданной точностью получить исходную функцию.

Известно несколько критериев выбора частоты fд дискретиза-

ции по времени. Рассмотрим частотный критерий В.А. Котельникова. Данный критерий, который получил название теоремы Котельникова, основывается на следующей модели сигналов:

–сигнал представляет собой стационарный случайный процесс;

–спектр реализации сигнала сплошной и ограничен некоторой частотой, за пределами которой он тождественно равен нулю.

ТЕОРЕМА 4.1 (теорема Котельникова). Если непрерывная

функция x(t) удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена, ку- сочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов), и ее

спектр ограничен некоторой частотой fc 2 c , то она полностью определяется последовательностью своих значений в точках, от-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сигнал, описываемый непрерывной функцией времени x(t) , имеет ограниченный спектр с (рис. 4.3),

S( j )

Рис. 4.3. Спектральная плотность

95

Сравнивая (4.1) и (4.3), замечаем, что они совпадают с точно-

стью до постоянного множителя , если принять t k .

c

Следовательно, Ck x( k t) . Подставив найденное выра-

c

жение для Ck в (4.2), получаем

После подстановки (4.4) в (4.1), замены знака при k (так как суммирование производится по всем положительным и отрицательным значениям k ) и перестановки операций суммирования и интегрирования получим

Вычислим интеграл

96

c e j (t k t )d c cos[ (t k t)]d j c sin[ (t k t)]d

2sin[ c (t k t)] t k t

с учетом равенства нулю второго интеграла разложения. После подстановки (4.6) в (4.5) окончательно имеем

Этим, собственно, и доказывается теорема отсчетов.

Таким образом, выражение (4.7) показывает, что реализация x(t) полностью определяется совокупностью отсчетов, взятых в

моменты времени k t 2kfc и отстоящих друг от друга на величи-

ну t 21fc .

Ряд (4.7) в технической литературе получил название ряда Ко-

тельникова.

4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ПОЛОСОЙ В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА

Остается решить вопрос, каким образом восстановить функцию x(t) по ее дискретным отсчетам x(k t) , если в этом возникает

необходимость.

Из (4.7) видно, что непрерывная функция, обладающая ограниченным спектром, может быть представлена разложением в ряд, каждый член которого выражается одинаковой функцией вида sin [ c (t k t)] , но с различнымис коэффициентами x(k t) .

Другими словами, ряд Котельникова представляет собой разложение реализации случайного процесса координатными детер-

минированными функциями времени A(tk ) sinc [ c (t k t)] с

весовыми коэффициентами x(k t) равными мгновенным значениям сигнала в точках k t .

97

Как известно, функция sinс x(t) представляет собой реакцию фильтра нижних частот (ФНЧ) с граничной частотой c на дельта-

импульс.

Следовательно, если в приемном устройстве поместить такой фильтр и пропустить через него квантованный сигнал xдк (t) , пред-

ставляющий собой последовательность с частотой 2 fc c крат-

ковременных импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам исходной непрерывной функции, то, суммируя выходные сигналы ФНЧ, можно воспроизвести с высокой степенью точности исходный непрерывный сигнал (рис. 4.4).

Практически реализовать это достаточно трудно. Кроме того, на практике приходится иметь дело с сигналами, ограниченными во времени и, следовательно, обладающими бесконечно широким спектром, что противоречит основному условию теоремы Котельникова.

Однако на практике не требуется идеально точного воспроизведения передаваемого сигнала. Поэтому с целью использования теоремы для дискретизации сигналов реальный спектр сигнала, простирающийся от 0 до , условно ограничивают некоторым

диапазоном частот от 0 до c , в котором сосредоточена основная

часть энергии спектра. Энергия отсекаемой части спектра сигнала определяет погрешность

[S( )]2 d

0

возникающую за счет ограничений спектра сигнала.

Кроме того, известна математическая модель сигнала Н.А. Железнова, в которой принимается, что спектр сигнала конечной длительности отличен от нуля на всей оси частот и известна автокор-

реляционная функция K XX ( ) . В этом случае шаг дискретизации выбирается равным интервалу корреляции k .

98

x(k t)

t t0 t1 t2 t3 t4

x( t) A(t1 )

t x(2 t) A(t2 )

t

. . .

x(4 t) A(t4 )

t

x(t)

t

Рис. 4.4. Восстановление сигнала по дискретным отсчетам

Корреляционный критерий выбора отсчетов является разновидностью частотного критерия. А.А. Харкевич показал, что

t k , то есть отсчеты по теореме Котельникова представ-

c

ляют собой ближайшие некоррелированные значения сигнала. Таким образом, несмотря на то, что теорема Котельникова ба-

зируется на модели сигналов с ограниченным спектром, она имеет большую теоретическую и практическую ценность в технике преобразований сигналов, их передачи и обработки.

99

4.3. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ

При вычислении спектра на ЭВМ анализируемая функция x(t)

представляется в виде своих отсчетов в дискретные моменты времени x(nT ) , где T – интервал дискретизации по времени (ранее

обозначался t ), а n 0, 1, 2,... .

Спектральный анализ, основанный на цифровой обработке сигналов, предполагает преобразование последовательности x(nT ) в

последовательность чисел Ak A( jk ) , где – интервал дискретизации частоты, а k 0, 1, 2,... [18].

Определим спектр дискретизированной периодической функции, представленной на рис. 4.5. Положим, что ее период T0 со-

x(0)

x(T)

x(2T)

x(nT) x[(N-1)T]

Рис. 4.5. Дискретный периодический сигнал

Тогда x(t) можно разложить в ряд

x (t ) 1 Ak e jk t ,

2 k

где 2 / NT .

В моменты отсчетов nT имеем

100