Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

суммы бесконечно малых слагаемых 1 S( ) 2 d , соответствующих

бесконечно малым участкам частотного спектра. Более того, выражение 1 S( ) 2 d представляет собой энергию, содержащуюся

в спектральных составляющих сигнала, расположенных в полосе частот d в окрестности частоты (рис. 2.12).

1 S ( ) 2

dЭ 1 S ( ) 2 d

d

Рис. 2.12. Распределение энергии по частотному спектру

Между выражениями (2.6) и (2.7) имеется существенное различие. Сначала речь шла о средней мощности периодического колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка колебания за один период на величину T . В случае же непериодического колебания конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль, и, следовательно, средняя мощность такого колебания равна нулю.

2.7. ПРАКТИЧЕСКАЯ ШИРИНА СПЕКТРА СИГНАЛА

Каждый реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает бесконечным частотным спектром. Практически все каналы связи имеют ограниченную полосу пропускания. В результате при передаче сигнала через реальный канал связи может быть передана лишь часть его частотного спектра. Поэтому приходится беспокоиться о том, чтобы обеспечить пропускание через канал связи наиболее существенной части спектра. В связи с этим введено понятие практической ширины спектра сигнала.

За практическую ширину спектра сигнала принимают диапазон частот, в пределах которого находится наиболее существенная

61

часть спектра сигнала. Выбор количественной меры практической ширины спектра сигнала, как правило, осуществляется с помощью энергетического критерия.

С энергетической точки зрения, практическая ширина спектра определяется как область частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала.

В качестве примера рассмотрим одиночный прямоугольный импульс длительностью и величиной h . Энергия сигнала, со-

средоточенная в полосе частот от 0 до 1 , выражается функцией

Относительная величина энергии одиночного импульса, сосредоточенная в полосе частот от 0 до 1 , равна

ного импульса.

График функции ( 1 ) , называемой интегральной кривой распределения энергии сигнала в спектре, приведен на рис. 2.13. Как видно из рисунка, в полосе частот от 0 до 1 2 / сосредо-

точено более 90 % всей энергии сигнала, и данный диапазон частот может быть взят в качестве практической ширины спектра одиночного прямоугольного импульса. При этом дальнейшее увеличение практической ширины спектра ведет к незначительному увеличе-

нию энергии в данном диапазоне частот, так как при 1 2 / кривая ( 1 ) довольно пологая.

Аналогично определяется практическая ширина спектра непериодических сигналов любой другой формы.

62

( 1 ) 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

1

2 4 6

Рис. 2.13. Интегральная кривая распределения энергии

Из рис. 2.14 видно, что спектры сигналов обладают бесконечной протяженностью и имеют тенденцию к затуханию с увеличением частоты. Форма и характер его затухания зависят от формы импульсов и его длительности. Следовательно, форма и ширина импульса влияют на действительную ширину спектра.

Наиболее экономичным с этой точки зрения является колокольный импульс, который требует наименьшей полосы частот при заданной длительности.

t

Рис. 2.14. Спектры одиночных импульсов

63

2.8. СПЕКТР ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ

Под дельта-функцией понимают сигнал, представленный на рис. 2.15. Дельта-функцию можно трактовать как предел прямо-

Сдвиг импульса в сторону запаздывания можно учесть следующим образом:

S2 ( j ) S1 ( j )e j t0 , где S1 ( j ) h sinc 2 .

Тогда, приняв амплитуду импульса равной h 1/ , получим

На рис. 2.17 представлены модуль и фаза спектральной плотности дельта-функции.

Прямое и обратное преобразование Фурье для дельта-функции можно представить в виде

Данные выражения полностью проясняют смысл известного свой-

ства дельта-функции (t t0 ) f (t)dt f (t0 ) .

64

S( ) 1

1

( ) t0

Рис. 2.17. Спектр дельта-функции

ЗАДАЧИ

2.1. Найти спектральную плотность одиночного импульса высокочастотных колебаний (рис. 2.18)

x(t)

h

t

Рис. 2.18. Одиночный импульс высокочастотных колебаний

2.2. Найти спектральную плотность одиночного экспоненциального импульса (рис. 2.19)

65

x(t)

h

t t 0

Рис. 2.19. Экспоненциальный импульс

2.3. Вывести формулы модуля S( ) и аргумента ( ) спектральной плотности сигнала включения (рис. 2.20)

x(t)

h

t

Рис. 2.20. Сигнал включения

2.4. Найти реакцию фильтра нижних частот с граничной частотой с на дельта-импульс амплитудой h (рис. 2.21) при условии,

Рис. 2.21. Дельта-импульс

66

2.5.Для дельта-функции (рис. 2.22) доказать равенство

(t t0 ) 2 e j ( t t0 ) d .

x(t)

t

t0

Рис. 2.22. Дельта-функция

2.6. На вход цепи (рис. 2.23) поступает сигнал (рис. 2.24)

Определить выходной сигнал x* (t) .

Рис. 2.23. Интегрирующая цепочка

x(t)

t

T0

Рис. 2.24. Входной сигнал

2.7. Найти спектральную плотность импульса (рис. 2.25)

67

Рис. 2.25. Одиночный импульс

68

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны с некоторой вероятностью. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный.

До приема сообщения сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

На рис. 3.1 приведены несколько характерных случайных процессов.

В реальных условиях все сигналы имеют случайный характер. Вследствие этого получателю заранее неизвестно, каким будет сигнал.

Однако нельзя также утверждать, что приемная сторона не располагает абсолютно никакими предварительными (априорными) данными о сигналах. Во-первых, обычно предварительно известно все множество, весь ансамбль возможных сигналов. Во-вторых, как правило, имеются сведения об ожидаемой вероятности тех или иных сигналов из общего ансамбля сигналов.

Таким образом, предварительные сведения о сигналах, которыми мы располагаем, носят статистический характер. Поэтому для исследования прохождения сигналов через информационные системы следует применять статистические методы. Целесообразность применения статистических методов обусловлена еще и тем, что на сигнал воздействуют помехи, представляющие, как правило, неизвестную функцию времени.

Основным содержанием задачи приема сигналов на фоне помех является наиболее полное извлечение информации из сигнала. Успешного решения этой задачи можно достичь только на основе использования статистических методов приема.

Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется

69

статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:

–закон распределения вероятностей;

–спектральное распределение средней мощности сигнала.

X (t)

– сигнал в виде постоянного напря-

жения случайного уровня;

t

X (t)

Рис. 3.1. Примеры совокупностей функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности

3.1. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Конкретный вид, принимаемый случайным процессом X (t) в результате опыта, называется реализацией процесса xk (t) . От-

дельные наблюдения над случайным процессом, протекающим в однотипных системах при одинаковых условиях опыта, дадут раз-

личные реализации случайного процесса x1 (t), x2 (t),..., xk (t),....

Вид функции xk (t) случайным образом меняется от одного опыта

к другому (рис. 3.2). Совокупность реализаций случайного процесса, полученных в результате опытов, называется ансамблем реали-

70