Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

Рис. 4.6. Спектр амплитуд дискретного периодического сигнала

Рассмотрим непериодический аналоговый сигнал x(t) , заданный на интервале T0 . Спектр сигнала x(t) получается в результате прямого преобразования Фурье

S ( j ) x (t )e j t dt .

Сам сигнал по его спектру вычисляется с помощью обратного преобразования Фурье

ленный при n 0,1,2,..., N 1 и равный нулю вне интервала

[0, N 1] , получен дискретизацией непрерывного сигнала x(t) с интервалом T (рис. 4.7).

103

x(nT )

x(0)

x(T)

x(2T)

x(nT)

x[(N-1)T]

t 0 T 2T … nT … (N-1)T

NT

Рис. 4.7. Дискретный непериодический сигнал

Пара преобразований Фурье для дискретного сигнала имеет вид

смещенных по оси частот на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретизации D 2 / T .

S(e j T ) является периодической функцией по частоте с периодом, равным частоте дискретизации D 2 / T . Действительно,

104

ности спектра распространяется также на его модуль S(e j T ) и аргумент arg S(e j T ) .

Предположим, что спектр S( j ) непрерывного сигнала огра-

ничен частотой c . Тогда, для того чтобы спектр дискретизированного сигнала содержал наибольшее количество информации об исходном сигнале x(t) , необходимо выполнить соотношение

с T ,

т.е. условие теоремы Котельникова. В этом случае спектр S(e j T ) повторяет по форме спектр исходного сигнала (рис. 4.8),

только в отличие от последнего он имеет периодическую структуру.

S( j )

Рис. 4.8. Спектр дискретного непериодического сигнала

Если же с T , происходит искажение x(t) вследствие вза-

105

имного наложения спектральных составляющих соседних участков

(рис. 4.9).

S( j )

S(e j T )

Рис. 4.9. Взаимное наложение спектральных составляющих

Таким образом, приступая к анализу, следует предварительно выбрать интервал дискретизации T в соответствии с критерием Котельникова.

Если сравнить спектр конечного дискретного сигнала, выражаемый формулой S(e j T ) , с ДПФ этого сигнала, то увидим, что ДПФ представляет собой N отсчетов спектра, взятых на периоде с интервалом дискретизации по частоте, равным NT2 . Из этого

следует, что свойства ДПФ аналогичны свойствам спектров. Следовательно, дискретное преобразование Фурье может быть

использовано и для представления последовательности x(nT ) конечной длины N , определенной при n 0,1,2,..., N 1 и равной нулю вне интервала [0, N 1] . Действительно, такую последова-

тельность можно рассматривать как один период соответствующей периодической последовательности и использовать преобразова-

ния ДПФ; следует только считать, что вне интервала [0, N 1] Ak и x(nT ) равны нулю.

106

Преобразования (4.13) и (4.14) в большей степени носят исключительно теоретический интерес.

4.4. БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Для ДПФ (4.12), в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров.

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложе-

ния и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений дос-

тигается при использовании быстрого преобразования Фурье

(БПФ).

БПФ базируется на том, что при вычислениях среди множителей (синусов и косинусов) есть много периодически повторяющихся значений (в силу периодичности функций). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ даже точнее стандартного, так как сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.

Алгоритмы БПФ основываются на свойствах комплексной экспоненты e j(2 / N )kn WNkn : ее симметрии WNkn WN ( N k )n WN ( N n)k

период N / p , где p – целые числа, на которые делится N . Ис-

пользование данных свойств в алгоритмах БПФ исключает большое число повторяющихся при вычислении ДПФ операций.

Алгоритм БПФ заключается в разбиении ДПФ исходной последовательности на ДПФ подпоследовательностей меньшей длины,

107

вплоть до минимально возможной (равной основанию БПФ), через которые и вычисляется ДПФ исходной последовательности.

Разбиение означает прореживание последовательностей во временной или в частотной области. В связи с этим различают БПФ с прореживанием по времени и БПФ с прореживанием по частоте.

В отличие от ДПФ, БПФ может вычисляться только по определенному числу точек N mL , соответствующему целой степени L его основания m . Целая степень L определяет число этапов прореживания. К наиболее используемым относятся БПФ по основаниям m 2,4,8.

В качестве примера рассмотрим алгоритм БПФ с прореживани-

вычислений.

Решение этой задачи в данном алгоритме БПФ находится сле-

Это соответствует первому прореживанию сигнала по времени. x(nT )

Рис. 4.10. Иллюстрация прореживания сигнала по времени

108

Выражения (4.15) и (4.16) определяют базовую операцию БПФ (операцию объединения):

X ( jk) X1 ( jk) WNk X 2 ( jk),

Входящий в (4.17) множитель WNk , равный по модулю единице,

называют поворачивающим. Вычисления в соответствии с (4.17) включают одно комплексное умножение и пару сложения – вычитания. Базовую операцию представляют графически с помощью сигнального графа (бабочки БПФ) (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Сигнальный граф базовой операции БПФ

109

На нем узел означает операцию сложения (верхний выход) и вычитания (нижний выход), а стрелка соответствует умноже-

нию на поворачивающий множитель WNk .

Дальше каждую из последовательностей x1 (n) и x2 (n) можно разбить еще на две подпоследовательности вдвое меньшей длины:

x11 (n), x12 (n) и x21 (n), x22 (n) (четную и нечетную) и повторить вышеприведенные операции объединения их ДПФ с помощью базовых операций.

Такое прореживание выполняем L раз до получения N / 2 двухточечных последовательностей, ДПФ которых вычисляется в соответствии с базовой операцией (4.17).

На рис. 4.12 в качестве примера приведен полный граф БПФ для N 8 . В соответствии с графом на каждом из L этапов вычисле-

ния – объединения ДПФ выполняются N / 2 базовых операций, а общий объем вычислений для комплексных операций умножения и сложения – вычитания составляет

K умн (NL) / 2 (N log2 N ) / 2,

Kслож NL N log2 N.