Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

соответствующий целой части, должен делиться на g(x) , никаких

оснований нет.

Таким образом, многочлен g(x) должен быть делителем

xn 1, чтобы породить идеал или циклический код: xn 1 0 mod g(x) .

Поскольку для кольца справедливы все свойства группы, а для идеала – подгруппы, то R можно разложить на смежные классы, которые в данном случае называются классами вычетов по идеа-

лу.

Рассмотрим пример. Пусть имеется кольцо многочленов R со степенью меньше или равной 2, соответствующее кольцу трехраз-

рядных двоичных чисел (табл. 10.2). Делителями P0 (x) x3 1

являются x 1 и x2 x 1, так что в качестве порождающего многочлена можно выбрать

g1 (x) x 1,

g2 (x) x2 x 1.

Проведем теперь разложение кольца многочленов R по идеа-

Первую строку разложения образует идеал, причем нулевой элемент располагается крайним слева. В качестве образующего

231

первого класса вычетов можно выбрать любой многочлен, не принадлежащий идеалу. Остальные элементы данного класса вычетов образуются путем суммирования образующего многочлена с каждым многочленом идеала.

Разложение R по идеалу с g1 (x) дает два класса вычетов:

Разложение R по идеалу с g2 (x) дает четыре класса вычетов:

В общем случае число элементов идеала, порожденного многочленом g(x) степени n k , равно 2k , а число классов вычетов по

этому идеалу равно 2n 2n k .

2k

Корректирующая способность циклического кода будет тем выше, чем больше остатков будет образовано при делении кодо-

вых многочленов на многочлен g(x) .

Наибольшее число остатков, число классов вычетов по идеалу,

равное 2n k 1, исключая нулевой многочлен, может обеспечить только неприводимый многочлен с deg g(x) n k .

10.5.ЦИКЛИЧЕСКИЙ КОД, ОБНАРУЖИВАЮЩИЙ

ИИСПРАВЛЯЮЩИЙ ОШИБКИ

Любая принятая по каналу связи кодовая комбинация G'j (x) ,

возможно, содержащая ошибку (рис. 10.9), может быть представлена в виде суммы по модулю 2 неискаженной комбинации цикли-

ческого кода Gj (x) и вектора ошибки E j (x) :

G'j (x) G j (x) E j (x) .

При делении G'j (x) на образующий многочлен g(x) остаток,

232

указывающий на наличие ошибки, будет обнаружен только в том

Рис. 10.9. Канал с шумом

По заданному объему кода однозначно определяется число информационных разрядов k . Далее необходимо найти наименьшее n , обеспечивающее обнаружение или исправление ошибок заданной кратности. В случае циклического кода эта проблема сводится к нахождению нужного многочлена g(x) .

Начнем рассмотрение с простейшего циклического кода, обнаруживающего все одиночные ошибки.

10.5.1. Циклический код, обнаруживающий одиночные ошибки

Вектор единичной ошибки будет иметь 1 в искаженном разряде и 0 во всех остальных разрядах. Следовательно, вектору единичной

нов в разложении xn 1 минимальная степень у многочлена x 1. Остаток от деления на x 1 равен 0 или 1. В этом случае кольцо разбивается на два смежных класса: идеал с порождающим многочленом и класс вычетов. Таким образом, при любом k необходим только один проверочный разряд и n k 1.

Значение символа в этом контрольном разряде обеспечивает четность числа единиц в любой разрешенной кодовой комбинации, а, следовательно, и делимость ее многочлена на x 1. Полученный циклический код способен обнаруживать не только все одиночные ошибки, но и ошибки в любом нечетном числе разрядов.

Например, при n 4 и k 3 образующая матрица циклического кода имеет вид

233

10.5.2.Циклический код, исправляющий одиночные ошибки

иобнаруживающий двойные

Ошибку можно исправить, если каждой единичной ошибке в любом разряде сопоставить свой класс вычетов и свой опознаватель. В циклическом коде опознаватель – это остаток от деления

многочлена E j (x) на g(x) . Поэтому g(x) должен обеспечить

требуемое число различных остатков или классов вычетов. Наибольшее число остатков дает неприводимый многочлен степени n k . В этом случае число смежных классов, исключая идеал,

равно 2n k 1.

Необходимое условие исправления любой одиночной ошибки есть 2n k 1 n . Отсюда находится deg g(x) n k log2 (n 1) . Несколько значений n, k сведены в табл. 10.3, учитывающие усло-

вие xn 1 0 mod g(x) .

Таблица 10.3

Можно показать, что любой двучлен xn 1 x2m 1 1 может быть представлен произведением всех без исключения неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа m , от 1 до m включительно.

Так для n 15, k 11, m 4 двучлен x15 1 можно записать в

виде произведения всех неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа m 4 , т.е. 1, 2, 4. Существует таблица неприводимых многочленов. В ней находим один много-

член первой степени x 1, один второй x2 x 1, три четвертой: x4 x 1, x4 x3 1, x4 x3 x2 x 1. Таким образом,

234

x15 1 (x 1)(x2 x 1)(x4 x 1)(x4 x3 1)(x4 x3 x2 x 1) .

Один из этих сомножителей может быть принят за образующий многочлен кода (порождающий многочлен идеала). Возьмем

x4 x3 1 11001. Необходимо убедиться, что каждому вектору одиночных ошибок соответствует свой остаток. Проще всего найти все остатки от деления на g(x) , если взять код 1000…00 и начать

делить его на 11001, выписывая все промежуточные остатки:

При последующем делении остатки повторяются.

С тем же успехом можно использовать многочлен x4 x 1.

Многочлен же x4 x3 x2 x 1 использовать нельзя, так как при проверке числа различных остатков обнаруживается, что их у него не 15, а только 5:

1000011111

11110

...

235

Этот факт объясняется тем, что многочлен x4 x3 x2 x 1 входит не только в разложение x15 1 , но и в разложение x5 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) .

Поэтому целесообразно выбирать такой многочлен g(x) , который, являясь делителем xn 1, не входит ни в одно разложение ни

одного двучлена xr 1, для которого r n . Другими словами, многочлен g(x) должен быть не только неприводимым, но еще и

примитивным. Если g(x) неприводим и примитивен, то говорят,

что он принадлежит максимальному показателю e 2n k 1 : xe 1 0 mod g(x) .

В табл. 10.4 приведены основные характеристики некоторых циклических кодов Хэмминга, способных исправлять одиночные ошибки или обнаруживать все одиночные и двойные ошибки.

Многочлен, соответствующий вектору двойной ошибки, имеет

не делится на g(x) , что и позволяет обнаружить двойные ошибки.

10.5.3. Обнаружение ошибок высокой кратности

Для определения порождающего многочлена циклического кода, который обнаруживает ошибки более высокой кратности, мож-

но воспользоваться правилом Хэмминга. Если gs 1 (x) – порождающий многочлен кода, обнаруживающего ошибки кратности

236

s 1, то порождающий многочлен кода, обнаруживающего ошибки кратности s , равен gs (x) gs 1 (x)(x 1) .

Умножение gs 1 (x) на x 1 равносильно введению дополни-

тельной проверки на четность. При этом число символов в комбинациях кода за счет добавления еще одного проверочного символа увеличивается до n 1.

10.5.4. Исправление ошибок высокой кратности

Процедуру отыскания порождающего многочлена кода, исправляющего s - кратные ошибки, можно представить как итеративный процесс:

1. По заданному числу информационных символов k1 подбирается n1 , т.е. определяются параметры (n1 , k1 ) кода, исправляющего одиночные ошибки;

2.Полученное значение n1 интерпретируется как новое значение k2 , и п.1 повторяется;

3.Повторяя п.1 и п.2 s раз, получим длину кодовой комбинации ns циклического кода, исправляющего ошибки кратности до

sвключительно;

4.По заданному значению k1 и значению ns можно определить

степень порождающего многочлена m ns k1 , а по таблице не-

приводимых и примитивных многочленов выбрать подходящий gs (x) .

информационных разрядах k1 . Это не всегда приемлемо.

10.5.5. Обнаружение пакетов ошибок

Любой циклический код, образованный с помощью полинома степени n k , обнаруживает любой пакет ошибок длиной

237

l n k .

Пакет ошибок в n k разрядов описывается многочленом степени xi (xn k 1 xn k 2 ... 1) . Многочлен же степени n k 1 на многочлен степени n k не делится.

10.5.6. Параметры некоторых циклических кодов

Циклический код длиной n 2n k 1, порождаемый неприводимым многочленом степени n k , исправляет однократные ошибки и называется циклическим кодом Хэмминга. Таблица примитивных многочленов различной степени частично приводилась.

Наилучшими из известных циклических кодов для исправления независимых ошибок произвольной кратности являются коды Бо- уза–Чоудхури–Хоквингема (БЧХ) [7]. В этих кодах число прове-

рочных разрядов n k deg g(x) mt при длине кода n 2m 1 ,

где t количество независимых исправляемых ошибок, а m любое целое число.

Образующий полином кода БЧХ является наименьшим общим кратным (НОК) так называемых минимальных многочленов Fi (x) ,

максимальный порядок которых равен d 2 :

g(x) НОК{F1 (x),..., Fi (x),..., F (x)}, где d 2t 1, а i 1,3,5,..., .

мому многочлену P(z) степени n , и – элемент GF(Q) . Тогда

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.13. Примитивный элемент поля GF(Q) –

это такой элемент поля, все элементы которого, за исключением нуля, могут быть представлены в виде степени элемента .

238

В табл. 10.5 задано представление поля GF(24 ) как расширение поля GF(2) , построенное по примитивному многочлену P(z) z4 z 1 . Очевидно, что таблица сформирована для случая, когда m 4 . В нее включены также минимальные многочлены над GF(2) для всех элементов из поля

239

информационных разрядов) неизвестно, пока не найден порождающий многочлен кода g(x) .

жащий для исправления трехкратных ошибок t 3 , имеет вид g(x) НОК{F1 (x) 10011, F3 (x) 11111, F5 (x) 111}

x10 x8 x5 x4 x2 x 1.

Циклический код БЧХ (15,5) имеет k 5 информационных разрядов и полностью определяется порождающей матрицей:

00001 : 0100110111

00010 : 1001101110 M15,5 00100 : 0111101011 .

01000 : 1111010110

10000 : 1010011011

Циклические коды Файра позволяют исправить одиночную вспышку (пакет) ошибок. Порождающий многочлен этих кодов

имеет вид g(x) p(x)(xc 1) , где p(x) – неприводимый много-

240