Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

1.3. Найти спектр периодической последовательности прямо-

x(t)

h

t

-T/2 T/2

Рис. 1.19. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

1.4. Построить обобщенный ряд Фурье для последовательности униполярных треугольных импульсов (рис. 1.20)

t

Рис. 1.20. Периодическая последовательность униполярных треугольных импульсов

1.5. Построить обобщенный ряд Фурье периодического колебания пилообразной формы (рис. 1.21)

1.8.Определить, какая часть средней мощности сосредоточена в пределах практической ширины спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 1.19), учитывающей первые пять гармоник.

1.9.Определить практическую ширину спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов при длительности

импульсов T2 , если требуется учесть все гармонические со-

ставляющие сигнала, амплитуды которых не менее 0,1 от амплитуды первой гармоники.

1.10.Провести графическое суммирование составляющих спектра меандра (см. рис. 1.18) до трех гармоник включительно.

1.11.Найти спектр детерминированного периодического сигна-

ла (рис. 1.24)

x(t)

2h

t

T / 2

Рис. 1.24. Периодическое колебание

43

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Непериодическим сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется условие

x(t) x(t kT ), k 1, 2,... . Как правило, непериодический сиг-

нал ограничен по времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся импульсы, пачки импульсов, “обрывки” гармонических колебаний и т. д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно они преимущественно используются на практике.

Основой математической модели непериодического, как и периодического, сигнала является его спектральная характеристика. Однако структура спектра непериодического сигнала имеет некоторые особенности, которые будут подробно рассмотрены ниже.

2.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Гармонический анализ периодических колебаний можно распространить на непериодические колебания. Пусть такое колебание x(t) задано в виде некоторой функции, отличной от нуля в

промежутке (t1 , t2 ) (рис. 2.1). Выделив произвольный отрезок времени T, включающий в себя промежуток (t1 , t2 ) , можно пред-

ставить заданное колебание в виде ряда Фурье, предположив его периодичность,

x(t)

Вне отрезка [0,T ] ряд (2.1) определяет функцию x(t) x(t kT) , где k – целое число, т.е. периодическую функцию, полученную

быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок T , выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты Ak . Устремляя T к

бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию x(t) , заданную в интервале

t1 t t2 . Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при T

основная частота 0 2 0 .

T

Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте 0 , становится бесконечно малым, а спектр сплошным.

Поэтому можно в выражении (2.2) заменить 0 на d , k 0 на

текущую частоту , а операцию суммирования – операцией интегрирования

45

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

t2

S( j ) x(t)e j t dt

t1

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции x(t) .

Выражения (2.4) и (2.5) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Спектральная плотность S( j ) обладает всеми основными

A( ) jB( ) S ( j ) e j ( ) S ( )e j ( ) .

Модуль и аргумент (фазовая характеристика) спектральной плотности определяются выражениями:

S ( ) [ A( )]2 [B( )]2 ,

Эти понятия не следует путать с амплитудно-частотной (АЧХ) и

46

фазочастотной характеристиками (ФЧХ), которые относятся к электрическим цепям, а не к сигналам.

частоты .

Интегральное преобразование (2.5) можно привести к тригонометрической форме

Из четности модуля спектральной плотности и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором – нечетной относительно . Следовательно, второй интеграл равен нулю, и окончательно

Переход от комплексной формы к тригонометрической обычно целесообразен в конце анализа. Все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить в комплексной форме.

Из сопоставления комплексных выражений

x(t) 1 Ak e jk 0 t ,

2 k

x(t) 21 S ( j )e j t d

Соответственно, из сопоставления тригонометрических выра-

амплитуды Ak (бесконечно малой) гармонической составляющей

частоты 2 f .

Из этих сопоставлений становится ясным смысл термина "спектральная плотность": 2S( ) есть амплитуда колебания, приходя-

щаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя рассматриваемую частоту 2 f .

2.2.СОПОСТАВЛЕНИЕ СПЕКТРОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

ИСООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим периодический сигнал xk (t) с периодом T и непе-

риодический сигнал x(t) , который в интервале t1 ,t1 T совпада-

ет с периодическим сигналом, а вне этого интервала равен нулю

(рис. 2.2).

xk (t) T

t

t

Рис. 2.2. Периодический и соответствующий непериодический сигналы

48

Комплексная амплитуда гармоник периодического и спектральная плотность непериодического сигналов соответственно равны

Из сравнения этих выражений можно заключить, что для каждой частоты спектра периодического сигнала справедливы равенства

Отсюда следует, что спектр непериодического сигнала, заданного в интервале t1 ,t1 T , с точностью до постоянного множителя

совпадает с огибающей спектра периодического сигнала, в интервале t1 ,t1 T описываемого функцией такого же вида, что и непе-

риодический сигнал (рис. 2.3).

0 3 0 5 0

Рис. 2.3. Сопоставление спектров сигналов

Таким образом, спектр непериодического сигнала может быть определен по известному спектру соответствующего периодического сигнала и, наоборот, спектр периодического сигнала может

49

быть найден по известному спектру соответствующего непериодического сигнала.

2.3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Между колебанием x(t) и спектром S( j ) существует одно-

значное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

2.3.1. Сдвиг колебания во времени

Пусть колебание x1 (t) произвольной формы существует на интервале времени от t1 до t2 и обладает спектральной плотностью S1 ( j ) . При задержке этого колебания на величину t0 (при сохра-

x(t)

Спектральная плотность колебания x2 (t) имеет вид

Вводя новую переменную t t0 , получаем

50