1.5.5 Зависимость проницаемости от пористости
Теоретически доказано, что для хорошо отсортированного, окатанного, однородного материала (например, кварцевый мономиктовый песок, представленный на 90 % одним минералом) проницаемость не зависит от пористости.
Для реальных коллекторов в общем случае более пористые породы являются и более проницаемыми.
Зависимость проницаемости от размера пор для фильтрации через капиллярные поры идеальной пористой среды можно оценить из соотношений законов Пуазейля и Дарси.
Уравнение Пуазейля описывает объёмную скорость течения жидкости через пористую среду, которая представляется в виде системы прямых трубок одинакового сечения длиной (L), равной длине пористой среды:
,
(1.25)
где r – радиус порового канала;
L – длина порового канала;
n – число пор, приходящихся на единицу площади фильтрации;
F – площадь фильтрации;
– вязкость жидкости;
Р – перепад давления.
Коэффициент пористости среды, через которую проходит фильтрация, можно представить следующим образом:
.
(1.26)
С учетом (1.26), уравнение (1.25) можно переписать следующим образом:
,
(1.27)
и
сравнить его с уравнением Дарси (
).
Приравняв правые части уравнений, после сокращения подобных членов получим выражение для взаимосвязи проницаемости, пористости и радиуса порового канала:
.
(1.28)
Выражение (1.28) используется при проведении прогнозных и модельных расчетов коэффициента проницаемости для образцов кернового материала с известной пористостью. Измерения показали, что радиусы пор, по которым в основном происходит движение жидкостей, находится в пределах от 5 до 30 мкм.
Из уравнения (1.28) следует, что радиус (размер) порового канала можно оценить:
.
(1.29)
Если выразить проницаемость в мкм2, то радиус поровых каналов (в мкм) будет рассчитываться по выражению
.
(1.30)
Уравнения (1.28) – (1.30) характеризуют взаимосвязь между пористостью, проницаемостью и радиусом порового канала и справедливы только для идеальной пористой среды, например, для кварцевого песка.
Для реальных коллекторов оценка радиуса порового канала производится с учётом структурных особенностей порового пространства пород. Обобщенным выражением для этих целей является эмпирическое уравнение Ф.И. Котяхова:
,
(1.31)
где r – радиус пор;
– структурный коэффициент, учитывающий извилистость порового пространства.
Значение оценивают для модельных сред путём измерения электрического сопротивления пород. Для керамических, пористых сред при изменении пористости от 0,39 до 0,28, по экспериментальным данным, изменяется от 1,7 до 2,6. Структурный коэффициент для зернистых пород можно приблизительно оценить по эмпирической формуле
.
(1.32)
Для оценки взаимосвязи коэффициента проницаемости от радиуса порового канала при фильтрации жидкости только через каналы, капилляры (поры круглого сечения) используются соотношения уравнений Пуазейля и Дарси:
и
.
(1.33)
Причем, пористая среда представляет собой систему трубок одинакового диаметра. Общая площадь пор, через которые идет фильтрация флюидов, оценивается как: F = π·r2. Величину π можно представить как → π = F/r2. Подставив эту величину в уравнение Пуазейля (1.33, левое выражение) и сократив одинаковые параметры в выражениях (1.33, левом и правом) получим корреляционную взаимосвязь между коэффициентом проницаемости породы от радиуса порового канала:
.
(1.34)
Если r измеряется в см, а коэффициент проницаемости в Д (1Д ≈ 1,02·10–8 см2), то вводится соответствующий коэффициент пересчета 9,869·10–9. Тогда, коэффициент проницаемости при фильтрации жидкости через капилляр оценивается эмпирическим выражением:
kпр = r2/(8·9,869·10–9) = 12,5 · 106 r2. (1.35)
Оценка взаимосвязи коэффициента проницаемости от высоты поровой трещины при фильтрации жидкости только через трещиноватые поры оценивается из соотношений уравнений Букингема и Дарси.
Потеря давления при течении жидкости через щель очень малой высоты оценивается уравнением Букингема:
,
(1.36)
где h – высота трещины;
v – линейная скорость фильтрации жидкости.
Выразив из уравнения Дарси величину перепада давления (∆P = v·μ·L/kпр.), приравняв правые части с (1.36) и сократив одинаковые параметры получим выражение
.
(1.37)
С учетом того, что h измеряется в см, а коэффициент проницаемости в Д, вводится соответствующий коэффициент пересчета = 9,869·10–9. Тогда коэффициент проницаемости при фильтрации жидкости через трещину оценивается:
kпр = h2/(12 · 9,869·10 –9) = 84,4 · 105·h2. (1.38)
Уравнения (1.35) и (1.38) используется для теоретической оценки коэффициентов проницаемости для конкретного вида пор.
Рассмотрим пример. Через кубик породы размером 10·10·10 см, с проницаемостью 10 мД фильтруется жидкость при линейном режиме вязкостью 1 спз, при градиенте давления (∆Р/∆L), равном 0,25 атм/м (0,0025 атм/см). Определить дебит.
Решение. Рассмотренный случай – субкапиллярной фильтрации, то есть фильтрация равномерная и проходит через всю площадь образца, имеющего субкапиллярную пористость. Дебит (Q1) составит:
=
100 · 0,01 · (0,0025 /1) = 0,0025 см3/с.
Если в этом кубике будет один канал диаметром 0,2 мм той же длины, что и кубик, то при том же градиенте давления дебит фильтрующейся жидкости через этот канал будет:
=
12,5 · 106·
(0,02 /2)2
· π · (0,02 /2)2
· 0,00025 = 0, 001 см3
/с.
Следовательно, при наличии в кубике одного канала и субкапиллярной пористости, т. е. при наличии неравномерной фильтрации суммарный дебит (Q3) фильтрующейся жидкости составит:
Q3 = Q2 + Q1 = 0,001 + 0,0025 = 0,0035 см3/с.
Суммарный дебит (Q3) имеет величину на 40 % больше чем при субкапиллярной фильтрации (Q1).
Если в кубике вместо канала имеется трещина высотой 0,2 мм и шириной 10 см, ее влияние на общий дебит жидкости, фильтрующейся через породу, будет существенным:
=
(84,4 ·105
· (0,02)2
· 0,02 · 10 · 0,0025)
/ 1 = 1,688
см3/с.
А суммарный дебит (Q5) с учетом субкапиллярной фильтрации (Q1) составит:
Q5 = Q4 + Q1 = 1,688 + 0,0025 = 1,6905 см3/с.
По сравнению с первым случаем дебит увеличится в 675 раз.
Пример свидетельствует о большом влиянии наличия каналов и особенно трещин в породе на объём фильтрующейся жидкости.
На практике проницаемость породы определяют в лабораторных условиях по керновому материалу.