2 Кинематический анализ механизмов

Движение звеньев механизма происходит в пространстве и во времени. Это движение можно исследовать с разных позиций. В кинематике изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. Важнейшими характеристиками движений являются траектории, скорости и ускорения точек и зве­ньев механизма, которые связаны с изменением времени. Если движение рассмат­ривается в функции движения начальных звеньев, которым приписывают обобщен­ные координаты, то вводят кинематические передаточные функции, которые не зависят от времени, а являются важнейшей геометрической характеристикой механи­зма. В данном разделе рассматриваются методы расчета параметров кинематических характеристик механизма, которые играют важную роль при расчетах на стадии проектирования машин разного назначения.

2.1 Задачи и методы исследования дви­жения звеньев

Основные задачи кинема­тического анализа механизма состоят в определении параметров (перемещений, скоростей и ускорений) движения его звеньев по заданному закону движения входного (ведущего) звена.

Если движение механизма происходит под действием переменных во времени сил и также является переменным, то на первой стадии анализа эти силы не учи­тывают (ввиду сложности решения пол­ной задачи). Из анализа положений звеньев и траекторий их точек можно определить правильность действия меха­низма и соответствие траекторий точек рабочего органа технологическому про­цессу, а также найти пространство, тре­буемое для размещения механизма.

Скорости (угловые и линейные) звеньев используют для определения ки­нетической энергии механизма при реше­нии в последующем задач динамики и для оценки условий, при которых про­исходит рабочий процесс в машине.

По значениям ускорений (угловых и линейных) находят также инерционные нагрузки на звенья, которые используют далее для оценки прочностной надежно­сти звеньев.

Кинематические характеристики необ­ходимы инженеру для оценки работоспо­собности механизмов не только на стадии проектирования, но и в эксплуатации (в особенности при модернизации машин).

Анализ выполняют по кинематической схеме, которая в отличие от структурной схемы содержит размеры звеньев, необхо­димые для расчета.

Для определения параметров движе­ния звеньев механизма используют ана­литические, графические и эксперимен­тальные методы.

Аналитические методы ос­новываются на различных методах математического анализа и отличаются высо­кой точностью определения параметров в каждый момент времени работы механиз­ма. Среди аналитиче­ских методов наиболее распространены методы аналитической геометрии и тензорно-матричных операций.

Графические методы основаны на не­посредственном графическом построении (методы засечек и шаблонов) траекторий движения характерных точек звеньев механизма. Они менее точны и эффективны только для плоских механизмов. Их используют преимущественно в учебных задачах (благодаря наглядности).

Экспериментальные методы использу­ют преимущественно для оценки точности расчетных моделей и методов.

2.2 Кинематический анализ плоских рычажных механизмов

Аналитический метод кинематического анализа был рассмотрен в разделе «Теоретическая механика». Остановимся на графическом методе анализа. При графическом ме­тоде кинематического анализа механиз­мов длины звеньев, перемещения точек, скорости и ускорения изображают в мас­штабах (μ_l , μ_s , μ_v , μ_a).

Построение плана положе­ний механизма. Планом положений механизма называется графическое изо­бражение взаимного расположения звень­ев, соответствующее выбранному моменту времени. С помощью планов механизма можно наглядно проследить за движением его звеньев и точек.

Рассмотрим в качест­ве примера кривошипно-шатунный меха­низм (рис. 20), где 1 – кривошип; 2 – шатун; 3 – ползун. Положение точ­ки С на шатуне определяется длинами отрезков АС и СВ. Для построения траектории точек А, В и С необходимо постро­ить ряд планов (последовательных поло­жений) механизма. Плавная линия, прове­денная через все одноименные точки, будет искомой траекторией точки звена.

Рис. 20. Планы механизма и траектории его точек

Иногда изготовляют шаблон механиз­ма и с его помощью определяют траекто­рии точек звеньев. Если конструктивная форма звеньев известна, то шаблон до­лжен полностью ее копировать. Только в этом случае можно выяснить, не заденет ли какое-либо звено механизма при его движении за другие (в том числе и за неподвижное звено – корпус). Положе­ние звена, из которого начинается отсчет его движения в одном направлении, на­зывают начальным или крайним. Положе­ние, в котором кривошип 1 и ша­тун 2 располагаются на одной прямой, называют мертвым.

Построение планов скоро­стей и ускорений. Метод основан на графическом решении векторных урав­нений движения. Для построения планов скоростей и ускорений механизма должна быть известна его кинематическая схема и задан закон движения ведущего звена.

В качестве примера рассмотрим дви­жение кривошипно-ползунного механизма (рис.21,а). Для заданного положения механизма известны угловые скорость ω₁ и ускорение ε₁ ведущего звена. Требуется найти линейные скорости и ускорения то­чек А, В и С, а также угловые скорость и ускорение звена 3.

Построение плана скоростей начина­ется с определения скорости точки А кри­вошипа

Вектор скорости v_А направлен перпен­дикулярно кривошипу ОА в направлении его вращения (угловой скорости).

Рис.21. Построение планов скоростей и ускорений для кривошипно-ползунного механизма

Точка В, принадлежащая звену 2, рассматривается в относительном движении вокруг точки

А. Скорость точ­ки В можно представить как векторную сумму скоростей переносного и относи­тельного движений. Переносным движе­нием будем считать вращательную ско­рость точки А, а относительным – вра­щательное движение звена 2 вокруг точ­ки А. Обозначая последнюю через v_ВА, получаем следующее уравнение для скорости точки В:

где и.

Для определения указанных неизвест­ных величин строим план скоростей в вы­бранном масштабе скорости μ_v. Из про­извольного полюса p_v (рис.21,б) про­водим вектор , перпендикуляр­ный кривошипуОА, соответствующий на плане скоростей абсолютной скорости v_А. Из конца вектора (точкаа) прово­дим линию в направлении относитель-ной скорости, перпендикулярную АВ, а из полюса р_v – линию в направлении скоро­сти v_b, параллельную ОВ. В пересечении указанных линий находим точку B. Век­тор изображает скоростьv_b точки В, а вектор – скоростьv_ВА. Значения действительных скоростей находим по формулам

;

.

Для определения скорости точ­ки С шатуна можно воспользоваться теоремой подобия для скоростей, согласно ко­торой отрезки прямых линий, соединя­ющие точки на схеме звена механизма, и отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов относительных скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и одинаково расположенные фигуры. Фигура на плане скоростей по­вернута относительно фигуры схемы зве­на на 90°.

Вектор скорости точкиС находим построением на отрезке ab треугольни­ка аbс, подобного треугольнику ABC, по­вернутому на 90°. Для этого из точки а плана скоростей проводим линию, перпен­дикулярную АС, а через точку b – пер­пендикулярную ВС. В пересечении этих линий находим точку С. Значение скоро­сти в этой точке вычисляем по формуле

Угловая скорость звена 2

Направление ω₂ находится по вектору скорости v_bа.

Планы скоростей механизмов позво­ляют охарактеризовать движение меха­низма:

векторы, выходящие из полюса плана скоростей (p_v), представляют собой абсо­лютные скорости;

вектор, соединяющий концы абсолют­ных скоростей, представляет собой отно­сительную скорость; он направлен к той точке, которая стоит первой в индексе скорости;

концы векторов абсолютных скоростей точек механизма, жестко связанных меж­ду собой или принадлежащих одному зве­ну на плане скоростей, образуют фигуры, подобные, одинаково расположенные, но повернутые на угол 90° в сторону враще­ния относительно фигур, образованных этими точками на схеме механизма;

план скоростей дает возможность на­ходить касательные к траекториям то­чек механизма, не выстраивая этих тра­екторий;

Построение плана ускорений начина­ется с построения абсолютного ускоре­ния точки А кривошипа, складывающе­гося геометрически из суммы нормаль­ной () и тангенциальной () составляющих;

Выбрав масштаб плана ускорений μ_a, из произвольной точки р_a (рис. 21,б), называемой полюсом, откладываем уско­рение в виде вектора, а из точкиа' проводим вектор ускорения (вектор), направление которого связано с на­правлением углового ускоренияε₁. Соеди­няя полюс р_а с точкой а, находим пол­ное ускорение точки А (отрезок р_а a)

Ускорение точки В находим из урав­нения

Значение нормальной составляющей относительного ускорения определяется по формуле

Вектор направлен поАВ к центру вращения (точке А) и откладывается из точки а плана. Направление тангенциальной составляющей вектора будет проходить через конец вектораи перпендикулярно ему. Направление абсолютного ускорения точкиВ известно () и соответствующая линия прохо­дит через полюср_а. Пересечение этих двух линий действий определит положе­ние точки b на плане, а следовательно, величину ускорения . Вектор изображает полное относительное ускоре­ниеа_ВА. Угловое ускорение звена 2 находим из уравнения

Перенеся вектор ускорения в точ­ку В и рассматривая движение точ­киВ относительно точки А, находим на­правление ε₂.

Ускорение а_С определяется из векто­рных уравнений

и ,

где ;;

; .

Проводя аналогичные рассуждения, определяем .

План ускорений имеет следующие ха­рактеристики:

векторы, идущие из полюса р_а плана ускорений, представляют собой абсолют­ные ускорения соответствующих точек механизма;

отрезки, расположенные между конца­ми абсолютных ускорений, соответствуют полным относительным ускорениям;

их векторы направлены к той точке, которая стоит первой в индексе ускоре­ния;

концы векторов абсолютных ускоре­ний точек механизма, жестко связанных между собой или принадлежащих одному звену, на плане ускорений образуют по­добные фигуры;

планы ускорений дают возможность находить также угловые ускорения звеньев.