4.2 Колебания в механизмах

4.3.1 Понятие о колебательных явлениях

Основой механических колебаний является знако­переменное движение динамических систем. Под динамической системой подразумевают совокупность тел, обладаю­щих массой и способных совершать отно­сительное движение.

Большая часть повреждений в маши­нах и их деталях происходит в результате возникновения в них колебаний. Конструк­тор должен предусмотреть возможность регулирования колебательных процессов как в деталях, так и в механизмах. Коле­бания возбуждаются периодическими или внезапно приложенными силами, действу­ющими как самостоятельно, так и в со­четании с термическими, статическими и другими факторами.

Под воздействием периодически изме­няющихся сил или моментов детали и ме­ханизмы совершают вынужденные упругие колебания, которые становятся особенно сильными при возникновении резонансов, когда часто­ты возмущающих сил или моментов со­впадают с частотами собственных колеба­ний системы. Вероятность возникновения резонансных режимов возрастает с увели­чением быстроходности машин.

Улучшение показателей машин приво­дит к увеличению их быстроходности, по­вышению энергонапряженности, усложне­нию рабочих процессов и конструктивных схем. Вследствие этого в современных машинах усложняется характер колеба­ний и увеличиваются нагрузки от них на детали.

Анализ знакопеременного движения динамических систем и сил, связанных с этим движением, важен для определения их влияния на характеристики и надеж­ность рассматриваемых систем. Известны­ми методами расчета могут быть решены практические задачи, связанные с колеба­ниями основных деталей механизмов и ма­шин. Сочетание теоретических методов расчета с экспериментальными исследова­ниями позволяют установить наиболее удачные конструктивные формы деталей, обеспечивающих работу механизмов и ма­шин в условиях отсутствия резонансных режимов.

Задача исследования колебательных процессов в машинах и механизмах в тео­ретическом и экспериментальном опреде­лении частот и форм собственных колеба­ний, в анализе вынужденных колебаний и их устойчивости, в установлении воз­можности уменьшения амплитуд при резо-нансах, в выборе эффективных методов борьбы с ними в рабочем диапазоне часто­ты вращения машины, а также в анализе возможных методов оценок степени опас­ности колебаний.

4.3.2 Основные понятия и определения

Колебания уп­ругой системы могут быть вызваны мгно­венным импульсом или внезапным прило­жением и последующим устранением внешних силы или момента.

Колебания, которые поддерживаются только силой упругости детали (или ма­шины на подвеске), к которой приложен внешний импульс (сила или момент), на­зываются свободными или собственными. Эти колебания описываются однородными дифференциальными уравнениями. Если колебания системы будут недемпфируемые, то система называется консерватив­ной. При демпфировании система называ­ется неконсервативной.

Вынужденными колебаниями называ­ются такие, когда колебания упругой системы происходят под действием пере­менных во времени внешних сил или мо­ментов. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний являются неод­нородными, причем член в правой части является функцией времени.

Простейшей формой колебательного движения является гармоническое колеба­ние, изменяющееся по закону синуса или косинуса. Всякое гармоническое движение есть движение периодическое, но не всякое периодическое движение является движе­нием гармоническим. Если колеблющаяся деталь находится под воздействием двух гармонических движений, частоты кото­рых (ω₁ и ω₂) близки между собой (разли­чие частот на 1-2%), то может возникнуть биение с частотой и большой амплитудой.

Основным отличительным признаком колебаний системы является число степе­ней свободы.

Если конфигурация колеблющейся системы определяется только одной коор­динатой, то такая система называется системой с одной степенью свободы, двумя – с дву­мя степенями свободы и т.д. Простейшее уравнение гармонического колебания име­ет вид

где х₀ — амплитуда колебаний;

ω — угло­вая, круговая или циклическая частота собственных колебаний, рад/с;

t — время, с;

ωt — фаза колебаний.

Полный цикл колебаний завершается при изменении ωt за 2π. В этом случае промежуток времени t равен периоду коле­баний (с)

Обратная периоду величина

называется частотой колебаний.

Например, для одномассовой крутиль­ной системы, состоящей из закрепленного одним концом вала с насаженным на сво­бодный конец диском с моментом инерции J, дифференциальное уравнение собствен­ных колебаний имеет вид

,

где .

Величину ω_с называют круговой часто­той собственных колебаний (частота собственных колебаний ). Через С обозначают крутильную жесткость, т.е. крутящий момент, потребный для за­крутки вала на угол в один радиан.

Если колебания одномассовой систе­мы протекают с затуханием, то диффе­ренциальное уравнение колебаний прини­мает вид

где ξ — коэффициент демпфирования. При этом амплитуда колебаний со временем уменьшается до нуля.

В случае вынужденных колебаний на колеблющийся диск одномассовой систе­мы действует возмущающий момент М₀Sinωt и дифференциальное уравнение движения принимает вид:

без затухания ;

с затуханием .

При рассмотрении вынужденных коле­баний учет собственных колебаний особен­но важен в том случае, когда числовые значения ω и ω_С близки друг к другу, т.е. когда могут возникать биения. При затухании колебаний биения постепенно исчезают, и в системе остаются установившиеся вынужденные колебания.

Эквивалентная система. Любой привод имеет сложную конструктивную форму. Как правило, в него входят силовые агрегаты, редукторы, муфты и другие де­тали. Расчеты таких систем на крутильные или изгибные колебания очень трудоемки, а иногда даже невыполнимы без упроще­ния системы. Упрощенная система должна быть эквивалентна действительной, т. е. частоты и формы ее колебаний до­лжны совпадать с частотами и формами колебаний действительной системе. Оба эти условия выполняются лишь приблизи­тельно, но с достаточной для практических расчетов точностью.

Эквивалентная система должна состо­ять из отрезков вала, обладающих жесткостью, но лишенных массы, и сосре­доточенных масс. Диаметр эквивалентного вала выбирается постоянным, а масса участков действительного вала сосредото­чивается в местах концентрации масс.

Для каждой частоты собственных кру­тильных колебаний ω_С значения относи­тельных амплитуд колебаний графически изображается по длине эквивалентного вала в виде ординат. Соединяя концы ординат между массами прямыми, полу­чим ломаную линию, называемую формой колебаний. Пересечение формы колебаний с осью эквивалентного вала называют уз­лами колебаний. Узловые точки при коле­баниях системы остаются неподвижными. В n-массовой системе число форм колеба­ний на единицу меньше числа масс. Фор­мы колебаний именуются по числу узлов

Собственные частоты форм колебаний располагаются в возрастающем порядке ω_С1 < ω_С2 <...< ω_{С n-1} ,где n – число масс.

Из общего числа форм собственных колебаний практический интерес пред­ставляют только те, которые совпадают с частотами возмущающих моментов и вы­зывают резонанс в рабочем диапазоне оборотов системы. При резонансе форма вынужденных колебаний практически со­впадает с формой собственных колебаний. При этом в валах привода возникают большие напряжения, опасные для его прочности.

Рассчитывают изгибные колебания ва­лов для определения частоты собственных колебаний. Полученные значения сопо­ставляют с частотами возбуждающих ко­лебания сил. Это позволяет оценить сте­пень возможности возникновения резонансов в пределах рабочих частот вращения.

Силы, вызывающие изгибные колеба­ния, являются следствием как рабочих процессов, происходящих в машинах, так и различного вида нарушений, к которым относятся:

конструктивные, связан­ные с конструктивным уравновешиванием вращающихся деталей;

технологиче­ские, зависящие от шлаковых включе­ний, раковин, пористости и изменения в кристаллической структуре металла;

производственные, вызванные от­клонением размеров от чертежа при изго­товлении деталей, неточностями динами­ческой балансировки, некачественной сборкой и т.д.;

эксплуатационные, связанные с износом деталей, возникнове­нием температурных и других деформа­ций, и пр.

Все перечисленное выше, а также мно­гие другие факторы способствуют по­явлению периодических сил механическо­го, электромагнитного, аэродинамического и гидравлического происхождения с широ­ким спектром частот возбуждения. При определении частоты собственных изгибных колебаний вал рассматривают как балку, нагруженную по той схеме, которая ближе всего к реальному нагружению.

Отличительным признаком колебательной системы является вид диф­ференциальных уравнений ее движения: линейные и нелинейные колебания.

Реальные колебательные системы всегда нели­нейные, однако, их часто можно описать линейными дифференциальными уравне­ниями.

По характеру возмущения, действую­щего на колебательную систему, колеба­ния делятся на:

собственные;

самовозбуж­дающиеся (автоколебания);

параметриче­ские;

вынужденные;

связанные.

Выше были даны определения собственных и вынужденных колебаний.

Автоколебаниями называются такие, когда система имеет источник энергии, не обладающий колебательными свойствами. Автоколебания описываются нели­нейными дифференциальными уравнения­ми. Примером автоколебательных систем является маятник часов.

В системах с параметрическим воз­буждением внешнее воздействие сказыва­ется в периодических изменениях одного или нескольких параметров. Коэффициен­ты в дифференциальных уравнениях за­висят от времени (как правило, периоди­чески).

Связанные колебания возникают в тех случаях, когда две или несколько колеб­лющихся систем оказывают влияние друг на друга, либо система имеет несколько степеней свободы.